Васильев А.М. Введение в статистическую физику (Васильев А.М. Введение в статистическую физику.djvu), страница 5

В виде примера ~рассмотрим распределение ш е с т и молекул в сосуде, мысленно разделенном на д в е равные части, т, е. при Ьт= = $'/2. Рассчитав биномиальные коэффициенты, можно получить результаты, графически представленные на рис. 1.6, где точками обозначены соответствующие значения вероятностей. Видно, что событие, об- ибл/ ладающее наибольшей вероятностью, состоит в том, что число и оказывается равным 3, т. е. что в половине сосуда окажется половина полного числа молекул. Отсутствие молекул (и= 0) или их полное собирание (п=б) зна- бубе чительно менее вероятны и поэтому наблюдаются гораздо реже (в 20 раз реже).

б 1 Я б б б б те Биномиальное распределение используется при решении очень многих Рис. 1.6 задач, а не только в рассмотренном выше примере. Действительно, пусть известна вероятность К того, что молекула обладает каким-то признаком (например, скоростью в диапазоне от 100 до 150 м/с или тем, что она прошла без столкновений с другими молекулами путь, больший 1 мм, и т. п.).

Спрашивается, какова вероятность того, что п молекул из общего числа М обладают этим же признаком? Если соответствующие события для различных молекул независимы и их вероятность равна/К то ответ дается биномиальным распределением (5.1). Чтобы убедиться в справедливости этого вывода, достаточно учесть, что конкретное содержание приведенной выше задачи было использовано только при нахождении значения вероятности Ж'=Лт/)т обладания определенным признаком (попаданием в /!т в момент !). Все остальные рассуждения не зависят от того, какой именно признак имеетсп в виду. % 6.

Формула Стнрлинга При решении статистических задач приходится иметь дело с громадным числом молекул, поэтому использование ряда формул, в частности биномиального распределения, оказывается неудобным из-за того, что встречаются факториалы от очень больших чисел. Так, например, при нормальных условиях в ! смз газа находится 2,69 10" молекул. Если требуется узнать, какова вероятность того, что !Ом из них находится в объеме Лт=! мм', то для ~использования формулы (5.1) необходимо вычислить 1Ом! н 2,69 1Ом! Если учесть, что при вычислении 30! илн 40! уже встречаются трудности, то ясно, что желательно иметь формулу, позволяющую быстро оцени- вать значения факториалов от больших чисел. Соответствующее выражение было получено С т н р л н н г о и.

Удобно начать с рассмотрения не М1, а натурального логарифма этого выражения Формула (6.1) дает приближенную оценку площади 5, если принять 5=5', но ее можно и уточнить. Из графика видно, что 5'(5, и гораздо лучшее приближение получится, если к 5' прибавить площади треугольников, показанных на рис. 1.7. Площадь одного треугольника, основание которого равно 1, а высота есть разность между 1п1и+1) и !пи, дается выражением — ]!и 1и+ 1) — !и (а)].

2 а 1 г Рис. 1.7 Суммируя площади всех треугольников, получаем — !и 2+ — ]1и 3 — ! и 2]+ — ]! и 4 — ! и 3]+... 1, 1 1 2 2 2 ... + — ]!иЛ' — !и 1Лà — 1)]= — 1и7«'. 1 1 2 2 Таким образом, можно приближенно написать 5 Ж !и Ф вЂ” Х + — 1и Лг+ 1 2 1иЖ!=!и!+1и2+!и3+... +1иХ=- ~~) !ил. «-1 На рис. 1.7 нанесены значения 1ип и показано, что интересуюшая нас сумма представляется заштрихованной плошадью, ограниченной ступенчатой линией и осью абсцисс. Действительно, площадь каждой ступеньки есть ее ширина, т. е. единица, умноженная на высоту, а именно на !пи, и равна поэтому 1п и.

Площадь же всей фигуры равна сумме площадей ступенек от первой, обладающей нулевой площадью !1п 1=0), до последней (1пй1): 5='у'1пп. «=! Для оценки плошади 5 на график нанесена кривая, заданная уравнением у=!их, где х — непрерывная координата оси абсцисс. На рис. 1.7 эта линия показана пунктиром. Легко вычислить площадь 5', находящуюся под пунктирной линией и ограниченную справа ординатой х=)э': 5'=~ 1ихбх=х !их], — ~ х — <1х=йГ!аЛ7 — (Ж вЂ” 1). 16.1) х 1 1 нли, так как М! =ее, Н Ы Н вЂ” Н.~- — и и 4-1 1 74Г1=е = — еЛ'не-н'г Ж.

Приводящийся в курсах анализа строгий вывод показывает, что более точный результат имеет вид 7471= р 2я йуне-и р'Ч, (6.2) т. е. получается небольшая разница в величине постоянного множителя (е=2,718..., ) 2я=2,506 ...). Формула (6.2) дает тем меньшую относительную погрешность, чем больше значение й1. Приведем два примера. При 741=4 точное значение 41 есть 24, а по формуле Стирлинга получается ),' 2я 3~ 4 44 е-4 23 7 При Й=б точное значение Ж1 есть 720, а по формуле (6.2) получается 716.

В первом примере относительная погрешность равна 1,2ьгь, а во втором — 0,55ьоь. При больших значениях й( относительная погрешность быстро уменьшается. ГЛАВА 2 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ В 7. Случайная величина В приложениях теории вероятностей к вопросам статистической физики приходится оперировать представлением о случайной величине.

Величина, которая может принимать различные числовь4е значения с определенной вероятностью, называется случайной. Фактически нам уже пришлось иметь дело с этим понятием в предыдущей главе, Действительно, число молекул в элементе объема Ьт, выделенном в сосуде объема г', представляет собой соответствующий пример, так как это число принимает значения О, 1, 2, ..., М и каждое из них реализуется с определенной вероятностью уе'(и), 4;пределяемой формулой (5.1) биномиального распределения. Таким образом, число молекул в элементе объема бт есть случайная величина.

Такая случайная величина носит название д и с к р етн о й, так как она принимает значения, отличающиеся друг от друга на конечную величину (в данном примере — целочисленные значения О, 1,2, ...,У). Встречаются и н с п р е р ы в н ы е случайные величины, которые принимают непрерывный ряд значений. Пожалуй, простейшим примером непрерывной случайной величины может служить координата молекулы А в сосуде г'. Поместим начало координат в одном из углов прямоугольного сосуда так, как это показано на рис. 2.1.

Тогда координата молекулы гл вдоль оси г может принимать любые значения в интервале от г=О до г=а, где а — размер сосуда в направлении оси г. Для непрерывной случайной величины неправильно интересоваться вероятностью данного ее значения, Правильная постановка вопроса состоит в том, чтобы выяснить, какова вероятность того, что случайная величина приняла значение, лежащее в интервале от г до г+дг. Если интервал дг бесконечно мал, то бесконечно мала и соответствующая вероятность бФ', которая, следовательно, должна быть пропорциональна интервалу бг.

Для искомой вероятности можно написать следующее выражение: бй'=тв(г) бг, 17.1) где ю1г) — некоторая функция, называемая плотностью вероятности. Ее размерность обратна размерности случайной величины г, поскольку вероятность йФ' есть величина безразмерная.

Таким образом, плотность вероятности для некоторой случайной величины, значения которой обозничены г, есть такая функция ш1г), которая, будучи умножена на дг, дает вероятность того, что значение случайной величины лежит в интервале от г до г+пг.

Если интервал йг равен нулю, то равна нулю и соответствующая вероятность, поэтому не имеет смысла интересоваться вероятностью отдельного значения непрерывной случайной величины. Для пояснения введенного понятия обратимся к примеру, в котором непрерывной случайной величиной является координата г молекулы А. Необходимо найти плотность вероятности для этой случайной величины.

Координата молекулы попадает в интервал дг, если, как это видно из рис. 2.1, сама молекула оказывается в объеме дт, ограниченном двумя плоскостями, проведенными через точки г и г+дг перпендикулярно оси г. Обозначим площадь основания сосуда 5, тогда объем дт=5йг. Поскольку объем всего сосуда Г=а5, то для вероятности получается Гт аЗ а Из последнего равенства видно, что плотность вероятности для ко- ординаты молекулы тв (г)= 1(а. Как и следовало ожидать, размерность плотности вероятности обратна длине, поскольку сама случайная величина г имеет размерность длины. То, что плотность вероятности оказалась постоянной величиной, связано с конкретными особенностями данной задачи, в которой сосуд прямоуголен н все положения молекулы А внутри сосуда считаются равновозможными.

Если бы сосуд был помещен в поле действия каких-то внешних сил 1например, учитывалось бы действие силы тяжести) или обладал не прямоугольной, а какой-то дру- 24 гой формой, то плотность вероятности не была бы постоянной величиной. Так, например, в коническом сосуде (рис. 2.2), пренебрегая действием силы тяжести, для вероятности й)р' можно найти дх п«2 а« ) (1)З) пК2Н где г — радиус кругового сечения конуса на высоте г от основания, и, следовательно, пгЧг — объем слоя конуса, заключенного между Рис 2Л Рис. 2.2 плоскостями, проходящими перпендикулярно его оси на расстоянии «и «+г(г от основания.

Поскольку из подобия треугольников СОА и СО'В следует — =, то й Н г= (Н «)2 , / 12 Н2 Если еще учесть, что объем конуса У= (')2)пР2Н, то дВ'=3 ( ) бх, Нз т, е. плотность вероятности (Н «)2 Н2 Часто приходится иметь дело со случайными векторными величинами, т. е. с векторами, имеющими различную длину и направление, которые они принимают с определенной вероятностью. Простейшим примером векторной случайной величины является радиус-вектор молекулы А, помещенной в сосуд объема )2.

Введем декартову систему координат, по осям которой отложим компоненты х„, ул, гл случайного вектора гл, н построим около точек х, у, г бесконечно малый прямоугольный объем дт=бхдуд«(рнс. 2.3). 25 Какова вероятность того, что конец вектора гл окажется внутри выделенного объема бтр Поскольку объем бесконечно мал, то вероятность бЖ' должна быть ему пропорциональна, т. е.