Васильев А.М. Введение в статистическую физику (Васильев А.М. Введение в статистическую физику.djvu), страница 2

Не все они до конца решены, хотя в целом статистическая физика выступает сейчас как наука не менее обоснованная, чем другие разделы физики. Статистическая физика — относительно молодая наука. Хотя ряд задач, например объяснение свойств газов исходя из представления о движении молекул, рассматривались Ньютоном, Бернулли, Ломоносовым и рядом других ученых еще в ХЧП1 в., но, по-видимому, более правильно отнести ее возникновение как самостоятельного раздела физики ко второй половине Х(Х в.

В 1857 г. вышла работа немецкого физика Р. Клаузиуса «О природе дви- Д. Бсрнуллн (170Π†17) М. В. Ломоносов (17! 1 — 1765) (Ъ "Фа; 4' " Р. Клауанус (1822 — 1888) , -йф~ Д. Максвелл (183! †18) Л, Больцман !1844 †19) Г, Лоренц (!883 †19) жения, которое мы называем теплом». В ней ясно указывалось, что тепловая энергия — это кинетическая энергия хаотического движения молекул.

Клаузиусу принадлежит также заслуга введения понятия длины свободного пробега. Он дал правильное молекулярно-кинетическое объяснение явлениям теплопроводности и внутреннего трения. В 1859 г. появилась работа английского физика Д, К. Максвелла, в которой он получил носящий его имя закон распределения молекул газа по скоростям.

Дальнейшее развитие молекулярно- кинетической теории газов связано с именем австрийского физика Л. Больцмана, Им получена формула, описывающая распределение молекул газа во внешнем поле (распределение Больцмана), и доказана теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы*. Больцман сумел выяснить вероятностный смысл энтропии. Наконец, одним из главных его достижений можно считать вывод кинетического уравнения (уравнения Больцмана), позволяющего описывать неравновесные состояния газов. Доказанная с помощью кинетического уравнения теорема для функции, обозначенной нм Н, позволила дать статистическое толкование второго начала термодинамики.

Взгляды Больцмана, с которыми боролись многие современные ему физики, получили признание лишь после его смерти в 1906 г. Другой подход рассматривался американским физиком Д. В. Гиббсом †современник Больцмана. В трудах Гиббса статистическая физика получила фундаментальное обоснование, пригодное для произвольных, а не только газообразных систем. Распре* Первые сведения о характере распределения кинетической энергии при поступательном движении были получены до Больцмана (см: Сиородинский )7 А, Температура.

Иэд. «Зианиеь, уйэ ! 1, М., !977). деление Гиббса рассматривается в настоящее время как фундаментальный принцип, который можно сравнить по его роли в статистической физике с той ролью, которую играют уравнен~ни Ньютона в классической механике или уравнения Максвелла в электродииамике. Книга Гиббса «Основные при~нцнпы статистической механики», вышедшая в 1902 г., сыграла в физике такую же роль, как и «Трактат» Максвелла, посвященный электрод~инамнке.

Распределение Гиббса позволило наиболее общим способом связать статистику с термодинамикой и тем самым завершить молекулярно-кинетическое обоснование этой феноменологической науки, начатое Больцманом. При этом обнаружились некоторые изъяны классической статистической физики, проявившиеся, например, в невозможности создания последовательной теории теплового излучения, в вопросе о значении энтропии (третье начало термодинамики), в необъяснимости парадокса Гиббса. Они были устранены лишь на следующем этапе развития статистической физики, связанном с появлением квантовой механики.

Теория теплового излучения, созданная М. Планком в 1900 г., явилась началом квантовой механики и успешно объяснила свойства теплового излучения, наблюдаемые на опыте. Был устранен принципиальный дефект классической теории теплового излучения («ультрафиолетовая катастрофа»). Индийский физик Д. М.

Бозе, рассматривая тепловое излучение как газ фотонов, ввел в 1924 г. представление об их неразличимости, что позволило ему получ~ить формулу Планка отличным от Планка способом. В дальнейшем Эйнштейн развил эту идею, и в результате была создана квантовая статистика, нося1цая название статистики Бозе — Эйнштейна. Другая квантовая статистика появилась в 1926 г. Она была создана Д. Гиббс (1839 — 1903) М.

Паник (1858 †19) А. Эйнштейн (!879 — 1955) итальянским физиком Э. Ферми и работавшим независимо от него английским физиком П. А. М. Дираком. В исследованиях этих ученых помимо принципа неразличимости учитывался также и принцип Паули, что привело к появлению новой квантовой статистики, названной статистикой Ферми— Днрака. Она применима к частицам с полуцелым спином и, в частности, к электронам.

Последующее развитие квантовой статистики вызвало появление математического аппарата, значительно отличающегося от того, какой применяется в классической статистике. Это, в частности, связано с другим по сравненик Э. Ферми (1901 — 1954) с классическим способом описания состояний системы. Специальным, ио очень важным в прикладном отношении классом физических систем, описываемым методом, близким к классическому, являются системы, которые называют квазикласснческими. Как уже упоминалось выше, статистическая теория неравновесных состояний газов была заложена Больцманом, написавшим свое знаменитое кинетическое уравнение. Это уравнение использовалось голландским физиком Г.

А. Лоренцем в его электронной теории проводимости, опубликованной в )903 г. Им была предложена простая П. Дирак 1р. 1902) приближенная форма решения, которая широко используется и в настоящее время. Бурное развитие всех областей физики в последние десятилетия ХХ в. сказалось, в частности, на статистической физике неравновесных состояний, выросшей в большой и сложный раздел науки. Значительный вклад в статистическую физику внесли такие известные советские ученые, как Н. Н. Боголюбов, Л. Д, Ландау и целый ряд других.

Настояшая книга призвана помочь тем, кто, не имея специального физического образования, хочет овладеть основами статистической физики. На наш взгляд, проще всего это сделать, если следовать последовательности изложения, отражающей исторический путь развития этой науки, кратко изложенный выше. ЧАСть ! ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ гллвА г СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ $ Т. Понятие вероятности Все основные понятия теории вероятностей можно пояснить на простом примере, имеющем в статистической физике и самостоятельный интерес.

Рассмотрим молекулу А, хаотически перемещающуюся внутри сосуда, который имеет форму ящика (рис. 1.1). Случайным событием называют явление, которое в опыте, поставленном для его наблюдения, либо имеет, либо не имеет места. Так, например, попадание молекулы А в некоторый момент времени в выделенный внутри ящика объем Лт (рис. 1.1) является л. случайным событием. Если бы молекулу А можно было сфотографировать, то на снимке она оказалась бы либо в Лт, и тогда рассматриваемое событие имело место, либо вне Лт, и тогда событие места не имело. Эксперимент по наблюдению случайного со- Рнс. ! ! бытия называют испытанием. Обычно под вероятностью некоторого случайного события понимают отношение числа испытаний т, при которых данное событие имело место, к полному числу М проведенных испытаний при условии, что число М достаточно велико.

Если вероятность того, что событие А произойдет, обозначить К(А), то Ю(А~=пцМ или иначе В'(А)=!!ш(гпгМ). и Почему же накладывается требование, чтобы число М испытаний было достаточно велико? И насколько велико оно должно быть? То, что необходимо большое М, ясно уже нз соображений точности определения значения вероятности. Допустим, что мы фотографировали молекулу в ящике и остановились после того, как получился первый снимок, указавший на попадая~не молекулы внутрь Лт.

Если общее число фотографий оказалось при этом 12?, то было бы атреждевременным сделать заключение, что 1Р'1А) =1/127. Действительно, сделав еще 60 фотографий, ~мы могли бы, на1пример, получить, что интересующее нас событие в дополнительных испытаниях не имело места ни одного раза .и, следовательно,,по аговым измерениям вероятность равна 1/187. Для получения достаточно точного результата следует вести испытания до тех пор, пока отношения т/М ие будут отличаться друг от друга на малые величины, определяемые той точностью, с которой желательно знать вероятность события А.

Строго говоря, поскольку событие А маступает случайно, нельзя исключить из рассмотрения случай, в котором отношение т/М, по. лучвнное экспериментально, не дает правильного значения:вероятности. Хотя такие случаи принципиально возможны, но они представляют собой очень маловероятные события и вероятность их тем меньше, чем больше число испытаний. Приведем любопытный исторический пример, иллюстрирующий зто положение. Один из основоположников теории вероятностей французский ученый Лаплас интересовался вопросом рождаемости мальчиков и девочек. Изученные им материалы, включавшие данные по ряду европеиских городов, а также в целом по Франции, показывалн, что отношение числа родившихся мальчиков гл к числу всех родившихся М близко к 0,5!16. Анализ же данных по Парижу привел к значению 0,5102.

Учитывая, что число проанализированных им рождений мальчиков ш было очень велико, Лаплас пришел к выводу, что обнаруженное расхождение не может быть случайным. Ему удалось выяснить, что в число рождений по Парижу включались и подкидыши, а окрестное население по преимушеству подкидывало девочек, После исключения данных по подкидышам статистика рождаемости по Парижу хорошо согласовывалась со статистикой других городов. Нетривиальнызт является и вопрос о том, как,проводятся испытания. Действительно, в пр~имере с молекулой в ящике испытания можно;поставить двумя принципиально различными способами. В первом способе молекулы в ящике мы фотографируем последовательно в различные моменты времени.

Легко видеть, что эти моменты должны быть разделены достаточно большими промежутками. Если серия снимков следует с очень большой скоростью, то за время их выполнения молекула не успевает сместиться ~на заметное расстояние и, составляя отношение т/М на основании такой серии, мы неизбежно придем к неправильному результату. Интервалы между фотографированиями должны быть, например, такими, чтобы молекула успела переместиться в любую другую точку ящика. С экспериментальной точки зрения критерий правильности выбора интервала между снимками состоит в том, что повторные серии испытаний с увеличенными против первоначальных интервалами времени приводят к тем же самым предельным значениям т/М. Во втором способе постановки опыта изготавливается М одинаковых ящиков и в каждом из них находится гиолекула того же вида А.