Васильев А.М. Введение в статистическую физику (Васильев А.М. Введение в статистическую физику.djvu), страница 9

Считая, что все знаки печатаются независимо, легко получ!пь для искомой вероятности следующее значение: ))!г (1)50)ьтз 3ет 10 — 8,9.30' т. е. она в 10 "т' раз больше, чем вероятность рассмотренного нами незначительного повышения концентрации молекул в объеме Лт! Таким образом, при отсутствии внешних сил средняя концентрация частиц одинакова по всему сосуду и истинную концентрацию можно считать равной ее среднему значению, так как даже очень малое отклонение от среднего значения из-за большого числа частиц обладает ничтожной вероятностью.

Для справедливости сделанного вывода очень существенно, чтобы число частиц было велико. Если, например, считать, что объем Лт= 10 †' мкм'= 1О 'з смз, то среднее число частиц в нем окажется равным (и> =2,69 104, т. е. много меньше, чем в предыдущем случае. Дисперсия имеет значение Р= (и>. Вероятность отклонения концентрации от ее среднего значения на величину, большую 0,01ь~ь, определится выражением (13.1), но с другим значением параметра хь, а именно хо — — 10 — я(п)фУ=10 'р'(а) =1,64 10 '. Поскольку значение хь оказывается много меньше единицы, то с помощью (13.2) и (13.3) найдем (от=1 — у — хо=О 984 Гй к т.

е. событие практически достоверно. Однако отклонения концентрации больше чем на !Оь/ь от среднего значения будут маловероятны, Действительно, в этом случае хо= =10 ')Г(п) =16 4 УЪ н по (13.5) Ф'= Узя 1 е — 1Ь4 и 1 9,10 — ьь 16,4 Таким образом, в малых объемах, содержащих сравнительно небольшое число частиц, относительные флуктуации могут быть заметными. В некоторых явлениях они играют очень важную роль.

Б частности, флуктуациями плотности воздуха объясняется рассеяние солнечного света атмосферой и голубой цвет неба. Последний связан с тем, что солнечное излучение с более короткой длиной волны (синее) рассеивается более эффективно, чем красное, обладающее большей длиной волны. 5 44. Плотность вероятности для импульсов молекул 43 Выяснив вопрос о распределении частиц (молекул) в пространстве, мы можем поинтересоваться возможными значениями их скорости ч или импульса р=т,ч (ть — масса частицы). Фактически в газе встречаются молекулы с самыми разными значениями импульса, и поэтому с точки зрения теории вероятностей необходимо лишь знать вероятность тех нли иных его значений.

Другими словами, в статистике импульс молекул, находящихся в сос)ае, рассматривается как непрерывная случайная величина и для ее характеристики необходимо знать соответствующую плотность вероятности, которую мы обозначим шр. Для дальнейшего удобно ввести представление о пространстве импульсов.

Отложим по осям прямоугольной декартовой системы координат компоненты импульса молекулы (рис. 3.1). Если нас интересует вероятность дЯ7 того,что Рг компоненты импульса какой-то определенной молекулы заключены соответственно в интервалах Рх +' (Рк+дрх)1 Ру ' (РР+дру) Ря ' (Рх+ дрл) то с помощью пространства импульсов эти условия можно сформулировать нагля но. Наложенные т ебо- д Р Ф вания с геометрической точки зре- ния означают, что конец вектора Рг импульса, проведенного из начала координат, попадает внутрь элементарного прямоугольного объема д1а в пространстве импульсов, изображенного на рис. 3.1.

Поскольку стороны объема равны соответственно др„, др„ и др„ то д Я = др, др„др,. (14. 11» Интересующая нас вероятность д)Г может быть представлена в виде дЧ7=шр дИ, где шр — плотность вероятности импульса, которую нужно найти. Чтобы установить вид шю оказывается, как это впервые показал Максвелл, достаточно использовать следующие предположения: а) все направления в пространстве равноправны и поэтому любое направление движения частицы, т. е. любое направление импульса, одинаково вероятно.

Это свойство иногда называют свойством из отро пи о ст и плотности вероятности шр, б) движения по трем взаимно перпендикулярным осям независимымы, т. е. значение х — компонен1ы импульса р,— не зависит от того, каково значение его компонент рз или р,. Второе условие менее очевидно, чем первое, и оказывается просто неверным, если учитывать движение со скоростью, близкой к скорости света, т. е. эффекты теории о1 юсительности. Действительно, поскольку по теории относителы 1сти движение со скоростью, большей скорости света, невозмо' во, то это означает, что компоненты скорости вдоль различных о<.

и связаны между собой неравенством 2 а ~ 2 ~к+ ~Р Г ~а ~ ~С где твр„- плотность вероятности для р„. Поскольку из свойства изотропности вытекает одинаковая вероятность значений компонент р„ и — р„, то плотность вероятности 4вр„ четная функция, т. е. она зависит от квадрата р,: 2 4вя =ф(рк). (14.3) По тому же свойству изотропности плотности вероятности двух других компонент выражаются аналогичным образом: в „=~(рк)' хи~,=т(Р )* (14.3') где ~р — одна и та же функция. Используя независимость компонент, легко выразить плотность вероятности гэр через плотности вероятностей тир, чвр„, чвр,. Действительно, вероятность того, что импульс р попадет в элемент объема пространства импульсов Йьз= Йр»бр„йр„равна бйк=тв дЯ.

(14.4) С другой стороны, это событие эквивалентно тому, что компонента р оказалась в интервале р,—:(р +бр ), компонента рэ — в интервале р» —:(р„+бр„) и р,— в р,— . '(р,+Ар,). Из-за независимости перечисленных событий вероятность (14.4) может быть представлена в виде произведения: чвяб11=ш,„ бр .ш,„ бр„.

и„ бр,=т(Р'„) у(Р'„).Фрз) бр бр, бр.. Если учесть (14.1), то из последнего равенства вытекает твэ=~ (Рк) '~У(рк) ~ (Рк). Поскольку плотность вероятности шр не должна зависеть от направления импульса (свойство изотропности), то, следовательно, она зависит только от его величины, т. е. ь,=М(Р'.+ Рк+ Рк) =Ч(Р'), где ф — некоторая, тоже неизвестная пока, функция. Из последнего и предыдущего равенства вытекает следующее соотношение: 'у(Р')=т(Р ) ~(Ь) т(Р*) 114.5) 45 Так,например, если о„жс, то это возможно только при э„жп,=О.

Таким образом, нужно быть готовым к тому, что выводы, полученные на основе принятых предположений, не будут удовлетворять требованиям теории относительности. Чтобы приблизиться к решению поставленной задачи, рассмотрим плотность вероятности для одной из компонент импульса, например р„. Вероятность дФ'р„ того, что компонента р» заключена в интервале р —:(р»+бр„), может быть записана в виде б ~як твкк "Р (14.2) Условие (14.5) позволяет определить вид неизвестных функций <р и Ф, т. е. найти плотности вероятности ыр и хв „.

Чтобы сделать это, прологарифмируем (14.5): !пФ=1пр(р~)+1пФ(р„) +1пр(а ). Продифференцирусм теперь это тождество по р„: — 2рл = — 2р„, Ф' Ф ' т (14.6) где штрихом обозначена производная соответствующей функции по ее сложному аргументу, т. е. Ф'(а) = — Ф' (в) = —. '4Ф ит ее ве После сокращения на 2р, из (14.6) получаем Ф (рз) в (РЭ Ф(") (р.') ' (14.7) Совершенно аналогично, дифференцируя по р„или р„можно получить еще два похожих соотношения: Ф'(рз) т'(Ф Ф'(рз) т'(Р ) Ф(рз) т(р') ' Ф(рз) т(р') (14.7') Из (14.7) и (14.7') вытекает, что т'(г ) т'(р„) т'( ~) т (и'.) т (р'„) т (р!) Решение этого уравнения имеет вид Ф(р„)=Се где С вЂ” вторая неопределенная константа. Если известна функция гр, то ф определяется равенством (14.5).

Таким образом, из условия изотропности и условия независимости движения по взаимна перпендикулярным осям следует, что 46 Поскольку первое отношение зависит только от р„, второе— только от р„, а третье — от р„ то написанное равенство, выполняющееся тождественно для всех р„, р„и р„может иметь место только в том случае, когда эти отношения на самом деле не зависят от соответствующих аргументов, т. е. являются постоянными числами. Обозначим постоянную — 6 и тогда получим дифференциальное уравнение, определяющее функцию <р, Ф /Ф= — — 'Р. вероятность загс' „того, что компонента импульса р, окажется заключенной в интервале др„, определяется соотношением 2 бК „=С е е«" бр (14.3) бЖ'=Сзе — е«'бЯ, ( И.9) где С и р — некоторые постоянные, которые должны быть определены с помощью до>го,гнительных условий.

$16. Условие нормировки Одно из условий для определения постоянных С и р вытекает из требования, чтобы интеграл от плотности вероятности по всем возможным значениям аргумента (имеющий смысл вероятности того, что импульс молекулы имеет какое-то из возможных значений) был равен единице. Это условие носит название у с л о в и я н о рм и р о в к и и записывается следующим образом: +в + пг „бр = ~ Се «-'бр„=1. (15. 1) Нормировочное соотношение (15.1) можно рассматривать как уравнение, из которого постоянная С определяется через постоянную р: С=Ц е «л бр„.~ (15. 2) Из (15.2), в частности, видно, что постоянная р должна быть положительна, так как в противном случае интеграл в (15.2) расходится и постоянная С оказывается равной нулю.

Вычисление интеграла, входящего в (15.2), приведено в приложении 2. Результат оказывается следующим: С=)г' рг'я. (15.3) Таким образом, значение нормировочной постоянной определяется через параметр р с помощью соотношения (15.3), а 16. Связь параметра р распределения Максвелла с температурой Для того чтобы завершить определение плотности вероятности импульсов молекул, остается найти значение параметра р. Поскольку зта величина зависит от условий, в которых находится газ, то ее можно найти лишь рассмотрев конкретную физическую ситуа- 4т (аналогично для других компонент), а вероятность г(Я7 того, что импульс окажется в объеме 511,— соотношением цию. Пусть, например, имеется идеальный одноатомный газ.