Васильев А.М. Введение в статистическую физику (Васильев А.М. Введение в статистическую физику.djvu), страница 11

Эти задачи могут быть решены с помощью плотности вероятности Максвелла для импульсов,. если предварительно пересчитать скорости в импульсы, как, например, это было сделано в предыдущем параграфе, где фактически определялась вероятность того, что скорость частицы больше 0,1 с. Удобно, однако, иметь и плотность вероятности Максвелла для скорости, чтобы не делать предварительного пересчета.

Обозначим плотность вероятности для х-компоненты скорости и„ через чв,„, тогда вероятность того, что и„ лежит в интервале йо„, определяется формулой й)Ут=чв,„йо . Эту же вероятность можно выразить и через плотность вероятности х-компоненты импульса, если только выбрать интервал йрм так, чтобы он соответствовал йптк дЮ= чвг бр ° Поскольку импульс и скорость связаны соотношением р„=тьо, то ясно, что соответствие имеет место, если ор,=гпьйп,.

Подставив в плотность вероятности шр значение р,, выраженное через скорость, найдем )т2ппФТ Таким образом, вероятность того, что х-хомпонента скорости о„ лежит в интервале значений от о„до о„+до, определяется следуюи)ей формой распределения Максвелла: (18.1) Аналогичные выражения имеют место и для других компонент: Г" (18.1) / и — м т /(гает> $' 2пгТ В силу независимости значений компонент скорости вдоль различных осей плотность вероятности для случайного вектора скорости получается перемножением выписанных плотностей вероятности: Обратим внимание на то, что плотность вероятности и, не голучается подстановкой тьо„вместо р„в плотность вероятности для х-компоненты импульса, а необходим еще и дополнительный множитель гп,, связанный с переходом от бр„к бо,.

При переходе к новым переменным всегда нужно преобразовывать вероятность л(Ю', а не отдельно взятую плотность вероятности. $19. Распредепенне по модулю импупьса и по энергии В некоторых случаях удобнее иметь дело с импульсом, заданным не проекциями на прямоугольные оси импульсного пространства, а модулем импульса и углами О и ~р, характеризующими его направление (рис. 3.3).

Это соответствует переходу к сферической системе координат, в которой вектор определяется своей длиной, углом 0 с осью р.-, совпадающей по направлению с осью е в обычном пространстве, и углом ~р между проекцией вектора р на плоскость р,Ор„и осью р„. Элемент объема в сферических координатах (рис. З.З) имеет следующее значение: Ы=бр рбО р з(п Ос1ч =оз з(п Обрг(Ос1у. Вероятность того, что вектор импульса оканчивается в г(1г, определяется произведением преобразованной к новым координатам плотности вероятности гв и преобразованного элемента объема (19.1): с1%'= е — р*д'""ьг>,о' з(п О сто бО сЬр. (19.2) 1 (2птьят)з з Предположим, что нас интересует вероятность б)р' того, что модуль импульса частицы заключен в интервале от р до р+г(р, и не интересует направление этого импульса.

Если через гор обозначить плотность вероятности для модуля импульса, то по определению плотности вероятности бЮ =-тв рг(,о. Поскольку, с другой стороны, эта вероятность равна вероятности того, что импульс частицы окажется внутри шарового слоя радиуса р и толщины г(р (рис.

3.4), то г(1(2 есть сумма шрб(1 по всем элементам объема о(1, составляющим шаровой слой. Так как слой бесконечно тонок, то во всех его точках импульс имеет одинаковое значение модуля, а поэтому и плотность вероятности шр постоянна. Тогда вероятность г((р" равна плотности вероятности игр, умноженной на объем шарового слоя 4прчр, так что 41(Р' Р" е — ригою от!,гр 4п о (2лрг~зт)ЗП Таким образом, плотность вероятности значений модуля импульса и и определяется соотношением 4прз ри(ззны ) тв бр=, е ' др.

(2птзьт)З Формулу (!9.3) легко получить и формально. Напишем инте- грал (19.32 г((т' = ~ тор бо ггт -.г. дгиргоев Рис. 3.4 Рис. 3.3 в котором интегрирование ведется по шаровому слою толщины др Используя (19.2), получим разор зк г)К/= г с(р ~г)3 ~ б~2 е — рнгззнзт) )оз з(п 3 1 (2пм От)згз р о о или 2~ к розе с1Ж'= ~ с(3г ( з(п 9 д8 ~ р е — рчгз аозт) <1у (2пгпоьт)зп о о Первый интеграл равен 2п, а второй — 2. Последний в случае, когда верхний предел бесконечно близок к нижнему, равен произведению подынтегральной функции на г(р. Мы снова приходим к (19.3).

От распределения (19.3) для модуля импульса можно перейти к р а с п р е д е л е н и ю п о э н е р г и и. Частица идеального газа обладает только кинетической энергией, которая равна о=рз!(2пго). 5Ь Выражая импульс через энергию в (19.3), получаем п)Ут тир бр твв б е 2 1 е — 'и >)т еде, )т а 1ьт)зт где учтено, что поскольку р=)т'2ягсе, то / т Ъ 2 у~ Таким образом, вероятность того, что энергия частицы заключена в интервале значений от е до а+ бе, определяется соотношением е — ~ 2р е — еч(2тфьт) Р е-ечгэчвьт~~ О 12ящнт)чз Ь опт Отсюда наиболее вероятное значение импульса равно р„= )/ 2тэйТ. Для плотности вероятности в максимуме получаем 4 0,59 чае 1Р,) = 1 пер, Утят т.

е. максимальное значение плотности вероятности обратно пропорционально квадратному корню нз температуры, Если газ нагреть до более высокой температуры Т', то плотность вероятности 66 (19.6) чи бе ' е дат>б, (19.4) )та 1ьт)зж Рассмотрим подробнее плотность вероятности для модуля н м п у л ь с а. Так как модуль импульса — положительная величина, то гор имеет смысл только для положительных значений аргумента. График этой функции представлен на атР рис. 3.5. При р=О получаем вр —— О и для малых значений р, когда экспонента практически равна единице, плотт ность вероятности пропорциональна квадрату импульса, так что начальный 4 - участок графика представляет собой параболу.

При больших значениях имРе Р пульса ( р )) )/2ягэяТ) из-за экспоненциального множителя я~р быстро убывает. Легко найти значение импульса, при котором достигается максимум. Дифференцируя плотность вероятности по р и приравнивая производную нулю, получим уравненле, определяющее, как принято говорить, наиболее вероятное значение импульса: изменится (рис.

3.5 — пунктирная кривая). Мак~: мум оказывается сдвинутым вправо и несколько более низким, кривая становится более широкой. С помощью плотности вероятности (1'.3) можно находить средние значения функций от величины ~ мпульса. Найдем, например, среднее значение модуля импульса о1о общему правилу имеем (р) = рта бр=- ~ Р е-Р'/(от,ог1бр 4вре о (2атоот)ЗД Если ввести новую . еременную интегрирования х=рЦ(2тоИТ), то (р) у'2тфТ 1 хе-хбх. у'х скольку интеграл по х равен единице е, то окончательно полу- 4ЕМ (р> =~/8тойТ!и, (19.7) или для среднего значения скорости ( о ) =~/8ИТ~(пто).

(19.8) Для среднего значения квадрата импульса следует написать ( ро) = ро е,— Р'11от.» ) бр (г оаТУГ' Если представить этот интеграл в виде (ро> = 4н р4 и-рч(ответ) бр, (2 хтооТ)~Р то, сравнивая его с формулой, приведенной в приложении 2, и учитывая, что подынтегральная функция четная, так что инг;грал от 0 до оо равен половине интеграла от — оо до +со, мза ео.

записать (ро>= — )Гп(2тоИТ)ор=8т„~ '. (19.9) (2нтоаТ)од 8 Этот результат еще проще получить следующим образом. Так как (ро) = (р') + (ро)+ (р*) хе "ох = — ) хд(е ')= — хе ' ~ +) е '" ох=о+( — е ') ~ =1. о о о о 57 -го, используя соотношение (17.2), по которому <р:Р> =нгонТ, н аналогчщные ему для <р„'> и <р,г>, сразу приходим к (19.9). Сопоставляя (!9.5), (19.7), (19.9), видим, что можно говорить о трех характерных средних значениях импульса н соответствующих мм значениях скорости: наиболее вероятном р„= )т2твй' — 1,41) нгейТ, ~„= ! 41 Ь И'!то среднелг р = (р) = 1 ~ =- 1,59)l шейТ тгг= (чг) 1 59УИТ~п~д и среднем квадратичном р,=')т (рг) =)73нгеяТ 1,73 )' тдйТ, и„= 1,73 )т'кТ)нте. Плотность вероятности для модуля импульса удобно использовать прп решении одной из очень часто встречающихся задач: найти вероятность того, что у частицы величина импульса превышает ра нли, другими словами, энергия превышает вм где за= = Ро'l(2гно).

Так, например, для того чтобы протекала реакция ядерного синтеза, при которой два ядра атомов тяжелого водорода сливаются, образуя ядро атома гелия, атомы водорода должны иметь достаточно больцгую энергию. Действительно, слияние возможно лишь после сближения на расстояние порядка размеров ядра гелия, т. е. на расстояние порядка !О-м м. При учете так называемого туннельного эффекта оказывается достаточным сближение до 1О-е м. Из-за кулоновских сил отталкивания такое сближение возможно лишь для ядер, обладающих достаточно большой кинетической энергией. Поскольку потенциальная энергия двух ядер равна г„= е'!(4ягог) где е — заряд ядра атома водорода (положительный заряд, равный заряду электрона), а г-10 — з м — расстояние наибольшего сближения, то начальная кинетическая энергия, которая при сближении переходит в потенциальную, должна быть не меньше чем 2 10гм Дж. Если выяснить, какова вероятность того, что энергия частицы превышает эту величину, то можно затем оценить, насколько интенсивно при данной температуре водородной плазмы будет проходить реакция синтеза (см.

задачу ! в конце главы). Другой пример можно взять из области физики газового разряда. Для того чтобы существовала устойчивая плазма, находящиеся в ней электроны должны обладать энергией, достаточной для ионизации нейтральных атомов и превращения их в иовы и новые свободные электроны. Таким путем компенсируется убыль электронов за счет их рекомбинации. Если энергия нонизации равна е, то возникает вопрос о том, какова вероятность того, что у электрона энергия будет больше, чем а„(см. задачу 2), илн импульс больше, чем рр — — )т 2т22„. Вероятность соответствующего события определяется интегра- лом ф'=( та бр= ( ' р е-рдзтаЯТ2бр, 3 х (2итоит~з12 Р. Ра Если ввести переменную х=р(7' 2т,'нТ, то х2е — х*Д .