Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 6
Текст из файла (страница 6)
с()Р'=тв(х, у, «) бт. Величина ю, вообще говоря, зависящая от координат х, у, г, носит название плотности вероятности векторной случайной величины г. Таким образом, произведение плотности вероятности ш векгорнои случайной величины на элемент объема бт дает вероятность того, что конец вектора г окажется внутри бт, или, иначе, что одновременно выполняются следующие условия: х-, у- и --компоненты г заключены в интервалах ог х до х+дх, ог у до у+йу, от г до г+бг соогвегственно. В рассматриваемом примере плотность вероятности в равна обратной величине объема сосуда.
Действительно, еще в $ 2 было усРис. 2.3 тановлено, что вероятность попадания молекулы А в элемент объема бт, т. е. вероятность того, что конец ее радиус-вектора окажется в этом элементе, равна Сопоставляя это с равенством (7.2), можно заключить, что те = 1/Ь'. (7.3) Если компоненты случайного вектора независимы, то в этом важном частном случае плотность вероятности ю(х, у, г) представляется в виде произведения трех плотностей вероятности: и(х, у, «) бт=а~„(х)бх.тве(у)бу тв,(г)бг, (7.4) Ь' = оба, так что вероятность попадания компоненты х в интервал пх равна и (х) дх н не зависит от того, какие значения принимают другие компоненты.
Формула (7.4) имеет простой вероятностный смысл и означает, что вероятность того, что вектор г окажется в бт, равна произведению вероятностей трех независимых событий, а именно того, что компонента х попадет в интервал Йх, компонента у — в ду, а г — в дг. Полученная выше формула (7.3) иллюстрирует этот случай. Поскольку объем сосуда, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, равен произведению его сторон, то где с, Ь, а — длины сторон вдоль осей х, у, г соответственно. Используя это соотношение, можно для плотности вероятности написать 1 1 1 1 с б а откуда видно, что 5 а.
Среднее значение Знание вероятностей отдельных значений дискретной случайной величины или плотности вероятности для непрерывной случайной величины позволяет находить ее среднее значение, или, как говорят иначе, математическое ожидание. Общее правило получим, рассматривая следующий конкретный пример. Пусть в сосуде (г выделен объем Ьт и интересующая нас случайная величина есть число молекул, находящихся в Лт в некоторый момент !. Предположим, что проведено большое количество опытов М, в каждом из которых регистрировалось число молекул в Лт. Пусть пгг раз зарегистрировано значение п,, иг раз — значение пг и т.
д., тогда среднее значение числа молекул в Лт найдем по формуле тгпг + тгпг+ тгпг -!- тгпг +... тг+тг+ . = — и,+ — п, тг тг .И ' Л! Если число испытаний достаточно велико, то отношения гп!/М, гпг/М и т. д. становятся равными вероятностям соответствующих значений п, т. е. (и) =то(пг) пг+та(пг) пг+ "° =~~го(п!) п! (8.1) (з) = ) янг(з) дг, (8.2) где интегрирование (суммирование) ведется по всем возможным значениям случайной величины.
27 где сумма берется по всем возможным значениям случайной величины п; (п;=О, 1, ..., Ф, здесь У вЂ” число молекул в сосуде). Когда рассматривается непрерывная случайная величина г, то поскольку вероятность того, что ее значение лежит в интервале дг, есть ш(г)дг, для нахождения среднего значения нужно просуммировать выражения ггв(г)дг по всем значениям г, т.
е. по всем интервалам дг. Это означает, что правило для определения среднего значения непрерывной случайной величины записывается в следующем виде: сти в этом случае равна гв(г) =1/а. Среднее значение г вычисля- ется по (8.2): ь а 1 1 гз! а (з)=~ г — де= —— а а 2 ~ 2 о о (8.4) т. е. мы получили результат, интуитивно ясный с самого начала. В приложениях часто бывает важно знать среднее значение функции от случайной величины, например квадрата (или какой- либо другой степени) от числа частиц в объеме Лт или квадрата координаты молекулы гг.
Применяя приведенные выше рассуждения не к самой случайной величине пн а к некоторой ее функции ф(п,), легко показать, что среднее значение следует определить формулой (8.5) Среднее значение функции непрерывной случайной величины вычис- ляется с помощью аналогичного по смыслу правила: (т(з)) =) Ф(з) тв(з) д . Интеграл берется по всем возможным значениям случайной величины г. Таким образом, среднее значение (математическое ожидание) функции от случайной величины вычисляется как сумма произведений этой функции на вероятность значения ее аргумента, т, е.
по формуле (8.5) для дискретной случайной величины и по формуле (8.6) для непрерывной. Используем сформулированное правило для вычисления очень важной характеристики, называемой д и с п е р с и е й. Дисперсия— это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего среднего значения, т. е. 29 О (п,) = ((и, — (п,) )т), В (з) = ((е — (з) )') . (8.7) Важность этой характеристики вытекает из того, что ею определяется степень разброса случайной величины, т.
е. в каком-то смысле дисперсия служит мерой случайности. Если какую-либо неслучайную величину рассматривать как случайную, принимающую с вероятностью единица одно и то же значение, то ясно, что отклонение от среднего равно для нее нулю, а следовательно, равна нулю и дисперсия. Таким образом, дисперсия неслучайной величины равна нулю, а у случайной она тем больше, чем шире разброс ее значений. Формулы (8.7) могут быть представлсны в более удобном для расчетов виде, который ниже получен только на примере непрерывной случайной величины, так как в дискретном случае следует лишь заменить интегрирование на суммирование. В соответствии с определением дисперсии й( )=~( — ( ))з ( ) б =~( ' — 2 ( )+( )') ( )Ф= =~ аЪ(а) ба — ~ 2а(2)Ф(ы) бв -)- ~ (а)эта(а) бя.
Поскольку <г>' есть просто число, то последний интеграл равен ) (а)эта(я)ба = (я)э ) та~а) ба Имеет место у с л о в н е н о р м и р о в к и плотности вероятности клучайной величины ~ тв(а) да=1. Оно вытекает нз того, что принятые случайной величиной значения нз различных интервалов дг образуют полную группу несовместимых событий. Условие нормировки означает, что с вероятностью единица случайная величина примет какое-либо из возможных значений. Предпоследний интеграл в выражении для дисперсии преобразуется следующим образом: ~ 2а(г)тю(г)да = 2(я) ) атв(г) дг =2(г) (я) =-2(а)'.
Так как первый интеграл имеет смысл среднего значения квадрата случайной величины и должен быть обозначен <гз>, то окончательный результат с учетом условия нормировки записывается в виде О (а)= ( ') — 2( )э+ ( )э= ( ') — ( )' (8 8) Аналогичная формула имеет место и для дискретной случайной величины: О(п;)= (й) — (и,)'. На примере дисперсии легко показать, что среднее значение функции от случайной величины не равно значению этой функции, когда в качестве ее аргумента берется среднее значение самой случайной величины. Действительно, в данном случае приходится .вычислять среднее значение функции ~(г) =г'. Ее среднее значение есть <а'> (знак усреднения относится ко всей функции), и это не равно квадрату среднего значения <з>'.
Если бы такое равенство имело место, то дисперсия обращалась бы в ноль. Покажем, что это не так, на уже рассмотренном в настоящем параграфе примере. Рассчитаем д и с п е р с и ю к о о р д и н а т ы молекулы, находящейся в прямоугольном сосуде. Чтобы воспользоваться (8.8), вычисляем <г'>: а з) 1 а2 а 3 о ЛО Поскольку (г> =а/2, то по (8.8) имеем аЗ аз аЗ сЭ (х) = — — — = —.
3 4 12 Для приложений очень важны следующие с в о й с т в а с р е дних значений и дисперсии, а) если складываются две функции 1~(х, у, г) и 14(х, у, е). где г= (х, у, г) — случайный вектор, то среднее значение суммы функций равно сумме их средних значений. Действительно, когда г — непрерывный случайный вектор, то ~(Л (х, У, х)+ уз(х, У, х))) = ) (Л+ уз) тв(х, У, х) дт= = ( У|те (х, у, х) дт + ( Узы (х, у, х) бт = ( У,) + (Уз).
Аналогичным образом это свойство доказывается и для дискретных случайных величин. б) Если функция от случайного вектора г умножается на постоянное число а, то среднее значение произведения равно среднему значению ),, умноженному на а. Иначе это свойство формулируют так: постоянный множитель можно выносить из-посл знака усреднения. Доказательство проводится следующим образом: (аг,) =~аДтвдт=а ~ ~',тейт=а(Д) (аналогично для дискретной случайной величины). в) Если имеется несколько (например, три) функций ),(х)„ )з(у), )з(х) от компонент х, у, г случайного вектора г= (х, у, х) и если случайные величины х, у, г независимы, так что тв (х, у, х) бт = тв„(х) бх тв„(у) ду тв, (х) дх, то среднее значение произведения ~1(х) ),(у).~з(г) равно произведению их средних значений.
Действительно, (Л Л Уз) =К~ Л(х) Л(У) Уз(х)юх(х) не(У) ю,(х) бх дуда= =— = ~ Л (х) твх (х) д х ~ Л (У) тве (У) бу, ~Л (х) тв. (х) да —— = (Л) ' (Л) ' (УЗ). г) Дисперсия суммы нескольких независимых случайньЗх величин равна сумме их дисперсий. Пусть х, у и х — независимые случайные величины, тогда, по определению, О(к+у+ )= ((Х+у+ )') — ((Х+у+-))З. Возведем первую скобку в квадрат, а во второй используем свойство а): 1Э (х+ у+ х) .= ( (хг+ уг+ хг+ 2ху+ 2хх+ 2ух) )— (( «) + (у) + (х))г Вторую скобку возведем в квадрат, а к первой применим свойство а): О(х+у+ а)=((хг) + (у') + (хг) + (2ху) + (2хх) + (2ух)— — (х)г — (у)г — (х)г — 2(х)(у) — 2(х)(я) — 2(у)(х).
По свойству б) множитель 2 выносится нз-под знака среднего, гак что, например, ( 2ху) =2( ху). Более того, поскольку величины х, у, а независимы, то по свойству в) (ху) = (х)(у), (хх) = (х)(х), (ух) = (у)(х) и тогда видно, что все члены, содержащие произведения средних значений различных случайных величин, взаимно уничтожаются.
Следовательно, О(х+у+х)= (хг) — (х)г+ (у') — (у)'+ (хг) — (я)г= = х) (х) + х) (у) + й (х), что н требовалось доказать. Приведенные свойства позволяют в целом ряде случаев упростить вычисления средних значений и дисперсии. В качестве примера рассмотрим вновь число частиц в объеме Лт.
Если сопоставить каждой молекуле случайную величину пл, принимающую значение 1, когда молекула находится в Лт, и О, когда она оказывается вне его, то число частиц в Лт можно рассматривать как сумму этих случайных величин для всех молекул газа. По свойству а) среднее значение числа частиц равно сумме математических ожиданий и„. Последняя величина подсчитывается по общей формуле аю г а«~ ач (ил) =1 — +О (1 — — )= —, Поскольку математическое ожидание для всех молекул одинаково, то их сумма вычисляется умножением полученного выражения на общее число молекул М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
