Васильев А.М. Введение в статистическую физику (Васильев А.М. Введение в статистическую физику.djvu), страница 4

Рассмотрим пример. Пусть первое событие состоит в том, что в объем /»т» в момент 1 попадает молекула А, а второе событие — в том, что в' тот же момент времени в объем Лтз попадает другая молекула В. Если независимо от того, попала молекула А в Лт» или нет, вероятность попадания молекулы в Лтз равна одной и той же величине Ьт»/'т', то события независимы. Так, например, будет, если молекулы не взаимодействуют между собой. В этом случае даже при совпадении объемов Лт» и Ьтэ события независимы. Однако наличие взаимодействия изменяет это ~положение. Так, при взаимном отталкивании молекул вероятность появления молекулы В в объеме Лт» одновременно с А меньше, чем при отсутствии А.

Реально все молекулы взаимодействуют между собой, но силы взаимодействия очень быстро убывают с увеличением расстояния между ними, так что на расстояниях порядка нескольких диаметров молекул взаимо- действ»»ем можно полностью пренебречь. Это позволяет при малых концентрациях (газы), когда среднее расстояние между молекула- ми много больше, чем их диаметр, считать, что события, рассмотренные в приведенном выше примере, независимы. При больших концентрациях (сильно сжатые газы, жидкости) это уже не так.

Вероятность совместного осуществления независимых событий равна произведению вероятностей каждого из них. Для пояснения этого свойства рассмотрим разреженный газ. Пусть при п испытаниях оказалось, что молекула А была гп, раз обнаружена в объеме Лть а молекула  — гп, раз в объеме Лть т.е. В'(А)=т,/и и Ре'(В)=т,(п. Из всех тех испытаний общим числом ть при которых А попала в Лть отберем те, в которых еще и В лопала в Лть Поскольку вероятность, с которой случается событие В, равна гпг/и, то число отобранных событий должно быть равно яг1(гп,/п). Если отнести теперь найденное число событий к общему числу испытаний, то вероятность совместного осуществления событий А и В И7 (АВ)= ' ~ = — ' — ~=Ю (А) Ж'(В). Эта формула есть математическая запись сформулированного вы- ше положения.

$4. Усповная вероятность Возникает вопрос: каким образом можно определить вероятность совместного осуществления двух зависимых событий? Для его решения вновь обратимся к примеру. В качестве события 1 выберем попадание молекулы А в момент 1 в объем Лть а в качестве события 2 — попадание этой же молекулы в тот же момент 1 в объем Лть Этн события зависимы. Пусть, например, объемы Лт1 и Лтг не пересекаются, т. е.

события 1 и 2 несовместимы, тогда если молекула оказалась а Лть то она, естественно, не могла в тот же момент времени находиться в Лть Таким образом, если вероятность события 2 есть Лтз/У, то эта же вероятность при условии, что имеет место 1, равна О. Изменение значения вероятности события 2 из-за осуществления события 1 .и означает з а в и с и м о с т ь этих событий в вероятностном смысле.

В более общем случае произвольно пересекающихся объемов Лт1 и Лтг события 1 и 2 тоже зависимы. Чтобы убедиться в этом, рассчитаем, как изменится вероятность события 2 прн условии, что совершилось событие 1, Осуществление события 1 означает, что молекула попала .в объем Лт1 и поэтому его можно рассматривать как новый сосуд, содержащий молекулу.

Вероятность обнаружения молекулы в тот же момент времени в Лтг есть вероятность того, что она окажется в объеме Лт, являющемся общей частью Лт| и Лтг (см. рис. 1.2, б). Эта вероятность равна отношению Лт к объему «нового сосуда» Лть Таким образом, вероятность В'(2) со- 11 бытия 2 без условия 1 или, как говорят, безусловная вероятность имеет значение )Р' (2) = Лтз/Ь', а условная вероятность )р'1(2) есть вероятность события 2 при условии, что имело место событие 1, и в данном случае она равна И7, (2 ! = Лт!Лт,. Ясно, что в общем случае условная и безусловная вероятности не совпада|от по величине, что и означает зависимость событий между собой.

Для независимых событий условная вероятность равна безусловной. Теперь можно сформулировать почти очевидное правило. Вероятность Я7(1, 2) совместного осуществления двух событий 1 и 2 равна вероятности 77(!) события 1, умноженной на условную вероятность 971(2), или вероятности )Р'(2) события 2, умноженной на условную вероятность Жз(1). Математически это записывается следующим образом: Ит (1, 2) = !Р' (1) )Р', (2) =)Уг(2) )Уг, (1). Проиллюстрируем это правило на примере с двумя пересекающимися объемами. Вероятность П7(1, 2) попадания и в 1, и в 2 есть, по существу, вероятность попадания в пересечение этих двух областей, т. е. в Лт, так что (4.1) Ю'(1, 2)=йт,Х. Формулу (4.1) можно представить либо в виде либо Ж'(1, 2)= — = — — '=В'(2) Ю',(1), атз что полностью соответствует сделанным выше общим утверждени- ям. и 5.

Биномиальное распределение вероятностей Приведенные сведения позволяют решать многие задачи статистической физики. В настоящем параграфе будет рассмотрена одна из них. имеющая большое значение как с прикладной точки зрения, так н с точки зрения развития самой теории вероятностей. Предположим, что в сосуде находится газ с общим числом молекул, равным Л!. Выделим мысленно часть объема сосуда Лт и определим, какова вероятность нахождения п молекул в Лт. Решение этой задачи позволяет, в частности, указать вероятность того или иного значения плотности газа, что представляет интерес для некоторых физических приложений. !8 Начнем со случая двух молекул (%=2) и присвоим молекулам номера 1 и 2. Для определения интересуюшей нас вероятности можно рассмотреть следующую полную группу несовместимых событий: 1) молекулы ! и 2 находятся в Лт; 2) молекула 1 находится в Лт, а 2 вне этого объема; 3) молекула 2 находится в Лт, а 1 вне его; 4) обе молекулы находятся вне Лт.

Вероятности этих событий рассчитываются следующим образом. Вероятность пребывания молекулы 1 в Лт равна %'=Лт/'г', а вероятность пребывания вне этого объема— 1 — %' = 1 — (Ля!1/), так как сумма вероятностей обоих событий долнсна быть равна единице. Те же значения имеют соответствующие вероятности для молекулы 2. Обратимся теперь к первому событию, когда обе молекулы находятся в Лт. Поскольку предполагается, что взаимодействием молекул можно пренебречь, то попадание в Лт молекул 1 и 2 — независимые события и поэтому вероятность первого события Я7, есть произведение вероятностей попадания в Лт молекул 1 и 2, т.

е. Аналогично можно найти: Нас интересует вероятность того, что в Лт окажется и молекул, т. е. в данном случае 2, 1 или О. Легко видеть, что Ф' (2) = Ж', = Ю'з, так как только в случае события 1 обе молекулы находятся в Лт. Далее, [Р (1)=[Р;+(Рз=2Ж (1 — Ж~), так как во втором и третьем случае в Лт находится одна молекула. Наконец, Ю (О) = [Р,=(1 — %')2. Если число молекул равно т р ем и они обозначены 1, 2, 3, то возможны события, перечисленные в табл.

1. В этой же таблице приведены значения вероятностей В'ь соответствующих различным возможным распределениям молекул, а также искомые вероятности В'(3), (г"(2), %'(1) и Яг(0). Таблица 1 Молекулы, илхояими. еси е л» Молекулы, и их олими) еск и !' — м Вероитиости Число молекул л Зе Веролтиссти событие Вт! Номер событии Вт(и! ВУ (3) (Глз 1,2,3 1,2 1,3 2,3 !б'З(1 — (Гт) Ю'(2) = 3(т'З(1 — ИУ) 2,3 1,3 1,2 и (1 — (п)з !р(П = зя'(1 — ау)з (Г (О) = (1 — (Р)з Ил)з 1, 2, 3 Л»1 (5.3) и ! (1»Г — и)! Таким образом, суммирование вероятностей всех событий, в которых в Лт оказалось и молекул, т.

е. умножение (5.2) на (5.3), приводит к общей формуле (5.1). События, в которых число молекул, попавших в 1!т, равно О, 1, 2, 3, ..., несовместимы и образуют полную группу. Сумма вероят. ностей этих событий должна равняться единице. Легко убедиться, что это действительно так: (уу (и) Ч~, (ртл (1 1ул)лт и Ч~Д 1У! л! (1»У — л)! л О л=б Используя формулу бинома Ньютона, можно написать (б" (1 — (Р )~-л=((Р+(1 — (Т )1м= 1'=1.

1(У! л! (1'тх — л)! л О 20 Переходя теперь к общему случаю уу' молекул, можно показать, что 1УУ(и) 1У,'л(1 ф')за †(5.1) л! (1и' — и)! Действительно, вероятность того, что п определенных молекул окажется в объеме ззт, а остальные у1( — и молекул вне его, равна %'л (1 — (рл)1У вЂ” ". (5.2) Число подобных событий, отличающихся друг от друга тем, какие именно п,молекул из общего числа зт! находятся в ззт, равно числу сочетаний |из У по и, т. е. Связь вероятностей Ж'(и) с формулой бинома Ньютона послужила основанием для того, чтобы зависимость йУ(п) от числа молекул п получила название биномиального распределения вероятностей.