Васильев А.М. Введение в статистическую физику (Васильев А.М. Введение в статистическую физику.djvu), страница 3

В определенный момент времени одновременно фотографируются все молекулы и значение отношения т/М устанавливается анализом снимков различных ящиков. Совокупность одинаковых сисгель используемых для изучения вероятностных характеристик, 12 называется ансамблем. Таким образом, для определения вероятности можно было использовать ансамбль ящиков с молекулами. Оба способа приводят к одынаковым результатам, если только в первом выдержано условие об интервалах времени м"жду ~испытаниями, а во втором все системы ансамбля действительно строго идентичны. Из определения вероятности следует, что ее значения заключены между О и 1. Действительно, и> н М вЂ” положительные числа и.

кроме того, минимально возможное значввие числа пт равно О, а максимально возможное — полному числу испытаний М. Событие, которое имеет место в каждо,я испытании и вероятность которого поэтому равна единице, называется достоверным. Примером может служить событие, состоящее в обнаружении молекулы А, заведомо помещенной в ящик, где-то внутрен него.

Естественно, что на каждой фотографии всего ящика молекула А будет обнаружена, т. е. это событие имеет место в каждом испытании и, следовательно, достоверно. В противоположном случае, когда событие не иглеет места ни в одном испытании и, следовательно, вероятность его равна нулю, оно называется невозможным. В качестве примера можно привести событие, состоящее в том, что молекула А не будет обнаружена в ящике: если молекула находится внутри, то такое событие невозможно. 5 2. Полная группа иесовместимых событий Для построения и применения теории вероятностей большое значение имеет понятие о полной группе несовместимых событий. Два события называются несовместимыми, если реализация одного исключает возможность реализации другого. Рассмотрим пример.

В ящике, который выбран для наблюдения за молекулой А, выделены два объема: Ьт> и Ьтз. Если объемы не пересекаются, ! г „-, лг как это показано на рис. 1.2, а, ! 1 то событие 1, состоЯщее в том, 1 ~лг) ~ лг что в момент 1 молекула А окажется в Лт>, и событие 2, состоящее в том, что в тот же момент времени 1 она окажется в бт>ь не- в1 с> совместимы. Очевидно, что в случае пересекающихся объемов (рис. 1.2, б) эти же два события совместимы, поскольку попадание молекулы в момент 1 в заштрихованную область пересечения Лт означает, что она находится одновременно и в том, и в другом.

Прикладная ценность понятия несовместимых событий обусловлена теоремой: вероятность осуществления одного из двух несовместимых событий равна сумме вероятностей осуществления 13 каждого из них. Эта теорема легко доказывается при рассмотрении приведенного выше примера. Пусть попадание молекулы в первый из двух непересекающихся объемов характеризуется вероятностью Ж' ( 1) = т,)М, где т, — число попаданий в первый объем при М испытаниях.

Аналогично, вероятность попадания во второй )Р' (2) = тг)М. Событие, состоящее в том, что молекула попала хотя бы в один из двух объемов, осуществилось т~+тг раза. Теперь по общему определению можно найти, что вероятность осуществления хотя бы одного из двух событий равна )Р'= '+ ' = — '+=' = — )Р'(1)+)Р (2), ~И М И что и доказывает теорему. В случае с о в м е с т и м ы х событий (пересекающихся объемов) нельзя утверждать, что число попаданий в первый или второй объем равно т,+ть Это число меньше, так как имеют место случаи, когда молекула попадает в пересечение объемов, а такие события засчитывались одновременно и в ть и в ть Полной группой несовместимых событий называется такая ил совокупность, в которой осуществление одного достоверно. Рассмотренные в предыдущем примере несовместимые события (рис.

1.2, а) не образуют полной группы, так как молекула может оказаться вне обоих объемов Лт~ и Лтг, т. е. возможна ситуация, когда не реализовалось ни одно ~из и~их. Если, однако, дополнить события 1 и 2 событием 3, состоящим в том, что молекула будет обнаружена внутри ящика в оставшемся за вычетом Лт~ и Лтг~пространстве, то новая группа из трех событий образует полную группу.

Действительно, поскольку объемы не пересекаются, то события несовместимы, кроме того, осуществление какого-либо из них достоверно, так как молекула находится либо в Лть либо в Лть либо тане мх. Собьчтия называются равновозможными, если вероятность осуществления любого из них имеет одно и то же значение. Для пояснения этого понятия предположим, что ящик разделен на две равные части 1 и 2 (рис. 1.3), и рассмотрим группу, состоящую из двух событий: попадания молекулы А в 1 и попадания ее в 2. Объемы не пересекаются, и, следовательно, события несовместимы. Группа полная, так как объемы 1 и 2 полностью исчерпывают объем ящика. Наконец, из полной эквивалентности обоих объемов очевидно, что вероятность попадания в 1 равна вероятности попадания в 2.

Таким образом, в этом примере события 1 и 2 образуют полную группу несовместимых равновозмож~ных событий. Следует подчеркнуть, что вывод о равновозможности событий опирается на вполне конкретные физические представления о характере и условиях движения молекулы. Так, напр~имер, если молекула обладает магнитным моментом и у левой стенки ящика помещен магнит, создаю- гший неоднородное магнитное поле, то вероятность обнаружения молекулы в объеме! окажется выше, т.

е. события не будут равно- возможными. На рнс. 1А показаны пять объемов равной величины, на которые мысленно разделен ящик. Равновозможны ли события, соответствующие попаданию молекулы в каждый из нпх? Ответ зависит от тех условий, которые имеют место при столкновении молекулы со стенкой. Если предположить, что молекула при столкновении на некоторое время прилипает к стенке, то естественно, что она больше времени будет проводить в объемах! и б и поэтому вероятности Рис. 1.5 Рис. 1.4 Рис.

1.3 %Г(1) ~и Яг" (5), хотя и будут равны между собой, окажутся ббльшими, чем остальные. Условия же движения в каждом из объемов 2, Л, 4 совершенно одинаковы, и поэтому вероятности Яу(2), 77(3) ( ) равны между собой. В реальной ситуации чаше всего осушеи ствляются условия,,ар~и которых столкновения со стенкой происходят так, что они эквивалентны абсолютно упругому удару. При этом вероятности всех пяти событий оказываются одинаковыми. В дальнейшем всегда будет иметься в виду именно такой характер столкновений, так что события, состоящие в обнаружении молекульг в некоторый момент времени 1 в равновеликих объемах, равновоз.можны.

Ценность понятия о полной группе равновозможных несовместимых событий состоит в том, что оно позволяет теоретически найт з ачение вероятности того или иного события. Рассмотрим пример "и определения вероятности того, что молекула окажется в объеме Лт, выделенном внутри ящика.

Мысленно разобъем ящик .на п одинаковых параллелепипедов (рис. 1.5) настолько малых размеров, что объем Лт с большой точностью можно составить из некоторого нх числа пг. Как было пока. вано выше, события, состоящие в том, что в момент времени 1 молекула А окажется в одном из параллелепипедов, образуют пол~ну ру у несовместимых равновозможных событий. Вероятность того, ~ ую что молекула А окажется в каком-то определенном параллеле пипед и та же для всех параллелепипедов (условие равновозможности) и может быть найдена из условия полноты и несовместимости событий группы. Вероятность того, что молекула А находится внутри сосуда, равна единице (достоверное событие). С другой стороны, по правилу сложения вероятностей несовместимых событий эта же вероятность может быть представлена в виде суммы вероятностей всех событий группы, т.

е. 1=пЯг. Отсюда вытекает, что йг = 1/и. Интересующая нас верояпность К(Лт) равна сумме вероятностей попадания в любой из параллелепипедов, составляющих Лт. Поскольку их общее число и», то, снова используя теорему сложения, найдем Ж'(Ы) =в» ° — = — —. 1 ь» и и (2.1) Если умножим числитель и знаменатель на объем одного параллелепипеда, то в числителе получится Лт, а в знаменателе — объем всего ящика. Таким образом, вероятность того, что молекула, находящаяся в сосуде объема г', в момент 1 окажется в элементе объема Лт, равна (2.

2) %'(ат) = ат/1/. В формулу (2.2) не входит число,параллелепипедов п, так что окончательный результат не зависит от величины объемов, »иа которые был мысленно,разбит объем сосуда. Их можно было считать бесконечно малыми, и, следовательно, точно составить объем Ьт, так что формула (2.2) абсолютно точна в отличие от приближенной формулы (2.1). $3. Независимые события В вычислениях, которые приходится проводить с вероятностями, часто используется свойство н е з а в и с и м о с т и случайных событий. События назь»ваются независимыми, если осуществление одного из них не влияет на вероятность осуществления второго.