Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика.djvu), страница 7

' При дифференпироваинн по импульсу следует учесть, что энергия для ч/ свободной частипы ранна Е с 'г р + лггс Че же самые выражения для групповой снорости мы получим и в нерелятивистском приближении, если пор лолгим Е-птчсх+ — и р лгап. 2иго а Заметим, что при движении в простраястве таких соотношений будет три. Аналогично из (323) для дебройлевских волн момо1о получить и так называемое четвертое соотношение неопределенности ЬЕ?ЗГ ~~ й.

й 3. Волновые свойства частиц дооо д'Š— =и— дао дрг (3.28) Ограничиваясь для простоты нерелятивистским приближением (Р (( тес), имеем; дЕ р дЕ ! (3.29) др оно ' др' лоо Для оценки времени расплывания волнового пакета согласно (3.25) и соотношению неопределенности (3.27) получаем выражение (3.30) др В случае макроскопической частицы, масса которой равна, например, ! г н размер Лх=О,! см, время расплывания чрезвычайно велико Лг !Ом сек, т. е.

такой волновой пакет фактически не будет расплываться. В случае же микрочастицы, например, электрона тоы!О тт г, Лх !О-" см, волновой пакет расплывается практически мгновенно Л! !О " сек. Таким образом, если стоять на точке зрения гипотезы Шредингера об электроне как сгустке волн, «размазанном» в пространстве, то оказывается, что электрон не может представлять собой устойчивое образование.

Кроме того, невозможно объяснить в согласии с экспериментальными данными явление дифракции, если пучок электронов заменить множеством волновых пакетов. Поэтому предложенная Шредингером интерпретация волновой функции, связывающая ее со структурой частицы, была отвергнута. В настоящее время принята другая, а именно статистическая интерпретация волновой функции, предложенная Максом Борном. Гаким образом, по Шредннгеру, волновая функция ф связана непосредственно со структурой микрочастнцы.

Однако такая интерпретация волновой функции оказалась несостоятельной. Действительно, хотя теоретически всегда возможно с помощью суперпозиции волн образовать волновой пакет с протяженностью в пространстве порядка радиуса частицы (например, электрона), однако, как мы показали, фазовая скорость каждой монохроматической волны, образующей волновой пакет, различна. Благодаря этому волновой пакет с течением времени начнет расплываться. Найдем время расползания волнового пакета, составленного из дебройлевских волн.

Квадратичный член ряда Тейлора (3. !7а), определяющий дисперсию, будет в этом случае равен часть г ивавлягивистскак квантовая мвхлиика Согласно этой интерпретации квадрат модуля волновой функции, т. е. величина )ар)а=феф, характеризует плотность вероятности нахождения электрона в различных точках пространства. Квадрат модуля волновой функции ф*(х,4)ф(х,у) равен плотности вероятности обнаружить частицу в момент времени г в точках с координатами, лежащими в промежутке х и х+ гах.

Статистическая интерпретация, предложенная Борном, не связывает волновую функцию со структурой самой частицы, н, в частности, электрон может оставаться вообще точечным. При изменении волновой функции ф со временем изменяется только вероятность нахождения электрона в различных точках пространства. В свете этого расплывание волнового пакета не противоречит устойчивости самой частицы. В предельном случае монохроматической волны (бр = О) частица равновероятно может быть обнаружена в любой точке пространства.

При наличии многих электронов статистическая интерпретация квантовой механики не встречает каких-либо принципиальных трудностей. В этом случае величину ) = ф*ф следует рассматривать как функцию распределения (в отличие от классической статистики она ие зависит от температуры) . Дифракционную картину пучка электронов можно интерпретировать следующим образом: светлые пятна соответствуют максимуму )' = )ф)а, а вместе с тем и наибольшему числу электронов, которые пойдут по соответствующему направлению. Вероятность же движения электронов по направлению темных пятен, наоборот, будет наименьшей. Серьезные трудности в статистической интерпретации волновой функции, данной Борном, возникли при описании движения одного электрона. Развивая опыты С. И.

Вавилова с квантовыми флуктуациями фотонов (5 2), советские физики Л. Биберман, Н. Сушкин, В. Фабрикант ' показали, что по мере уменьшения интенсивности пучка электронов дифракционная картина начинает становиться все менее отчетливой, и, наконец, когда пучок будет состоять из отдельно летящих электронов, на экране возникает не дифракционная картина, а изображение отдельных точек. Однако если вслед за одним электроном в течение достаточно длительного времени пропускать и другие, то одиночные точки на экране будут постепенно сливаться, образуя в совокупности дифракцнонную картину, совпадающую с дифракционной кар- ' Смп Л.

Бпбериаи, Н. Сугпкии, В. Фагррикаит. аьАН СССР, 66, !66 (!949). Лналогичиые опыты по дифракиии отдельаых фогоиоа были аыпалиеиы вепгерскии физикои Л. Я воши. еВопросы философии», № 4, 96 В 958) . 37 й 3. Волновые свойства частиц Л Лх мп ~р (3.31) й Однако в силу того что свет обладает импульсом р = —, часть Л ' последнего будет передаваться электрону (эффект Комптона), и поэтому импульс электрона в том же направлении можно так- же определить лишь с некоторой точностью Ар — з(п ~р, Ь (3.32) 1 Это напоминает до нсквторой стопани стрельбу по мишснит когда поиадаиис одной пули дает как будто бы случайную отметку.

йтлнвкв при болршом числе выстрелов можно выявннь некоторый закон попаданин1(тоуссввр распределение), который в оримснении к огдсльиому выстрелу дает лишь вероятность попадания в ту нли другую точку (см. $5). тиной, возникающей от одновременного пропускания многих электронов '. Эти опыты еще раз демонстрируют несостоятельность гипотезы «размазанного» электрона, поскольку в них отдельный электрон сохраняет свои корпускулярнгяе свойства, а волновая теория может предсказать лишь вероятность его пребывания в том или ином месте пространства. Отметим также, что волновая теория не может объяснить,почему электрон попадает именно в точку М дифракционногв кольца, а не в точку У, если вероятности попадания в обе эти точки, вычисленные по волновой теории, оказываются одинаковыми.

Вокруг этого вывода разгорелись большие методологические дискуссии. Одна из попыток объяснить некоторую «свободу» поведения электрона основана на введении так называемого принципа дополнительности (Гейзенберг, Бор и др.). Согласно принципу дополнительности соотношение неопределенности возникнет благодаря тому, что воздействие наблюдателя иа микрообъект нельзя свести к нулю. Это можно проиллюстрировать с помощью следующего мысленного (т, е. пока что технически неосуществилеого) эксперимента. Допустим, что мы хотим определить положение электрона с помощью ультрамикроскопа, т. е.

такого прибора, который позволяет фиксировать положение электрона, используя для этого пучок света с соответствующей длиной волны. Если электрон будет двигаться на таком расстоянииотобъеьтива микроскопа, что угол между падающим и рассеянным пучком света с длиной волны Л окажется равным пз, то согласно законам оптики его координату в направлении, лежащем в плоскости, параллельной плоскости объектива, можно измерить с точностью до величины зв Ч ЛЕТЬ ! НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАИТОВАЯ МЕХАИИКА которая в произведении с Лх и дает соотношение неопределенности (3.27), Из равенства (3.3! ) видно, что для более точного определения координаты электрон следует освещать светом с возможно меньшей длиной волны А.

Тогда, как видно из (3.32), чем меньше А, тем больший импульс будет получать электрон. Таким образом мы не можем сделать одновременно ошибки в изменении координаты и импульса сколь угодно малыми (принцип дополнительности). Отсюда делается вывод о том, что наши познания микромира должны быть вообще якобы принципиально ограничены некоторым, пусть малым, но конечным пределом, поскольку микроструктура измерительной установки (в данном примере кванты света) вносит элементы неконтролируемого воздействия на объект (т. е. на электрон), определяемые соотношением неопределенности.

Основная методологическая ошибка, которую совершают сторонники принципа дополнительности, связана с тем обстоятельством, что они абсолютизируют выводы квантовой механики и постулируют вообще запрет объективного объяснения статистических закономерностей микромира по любым теориям. Хотя в опытах с дифракцией отдельно летящих электронов, анализируя пбпадание электрона в определенную точку мишени, можно определить (правда, для прошедшего момента времени) его координату и импульс с большей точностью, чем точность, предсказываемая соотношением неопределенности ', тем не менее мы утверждаем, что все попытки подвести под квантовую механику фундамент какой-либо теории с однозначной предсказуемостью (на подобие классической механики) заранее обречены на неудачу '.

Однако все же можно надеяться, что в будущей теории статистический характер (т. е, предсказуемость с некоторой вероятностью) явлений микромира должен явиться следствием проявления каких-то объективных закономерностей микромира. Квантовая механика в какой-то степени независимо от приборов н способов наблюдения и вскрывает эти закономерности. ' Как известно, Эйнштейн не раз высказывал критические замечания о нопенгагенской интерпретации квантовой иеханиии. Оцнчко снелаииые им попытки прелвычислить более точное, чем допустимое соотношением неопределенности, значение координаты и импульса электрона оказались ошибочными.

Иначе и не могло быть, так как в своем анализе он ограничивался рамками квантовой механики. а Кстати заметим, что простата и цельность лапласовского детерминизма, как будто позволяющего но конца вскрыть все причины возникновения того или иного явления и отождествить хотя бы в принципе гричинность с опнозначной предсказуемостью, в действительности оказались ограниченными лишь областью применимости илассической механики. й 4. Стационарное ураииеиие Шреииигера 6 4. СТАЦИОНАРНОЕ УРАВ Н ЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Теория квантов Планка, постулаты Бора, а затем и гипотеза де Бройля были важнейшими этапами в процессе развития теоретических основ физики микрочастиц.

Однако эти работы явились лишь предварительным этапом для создания более общей теории движения микрочастиц, получившей название квантовой или волновой механики. фундаментальный шаг в этом направлении был сделан Шредингером (192б). Он предложил описывать движение микрочастиц (например, электронов) с помощью волнового уравнения. Уравнение Шредингера можно рассматривать как своеобразное обобщение классического уравнения Гамильтона — Якоби на случай, когда дебройлевская длина волны движушейся частицы отлична от нуля. Переход от волнового уравнения Шредингера к уравнению Гамильтона — Якоби в некотором смысле аналогичен переходу от волновой оптики к геометрической.

Получение уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера, по существу, представляет собой постулат нерелятивистской квантовой механики. Подчеркнем, что ни о каком сколько-нибудь строгом выводе этого уравнения не может быть и речи, поскольку, вообще говоря, нельзя построить любую новую теорию, базируясь лишь на старых представлениях. Тем не менее покажем, каким образом можно прийти к уравнению Шредингера, производя разумное обобщение волнового уравнения, известного, например, в классической электродинамике на случай дебройлевских волн.