Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика.djvu), страница 9

Для этого мы должны потребовать, чтобы в области 1 (х < 0) коэффициент В, = О, а в области П1 (х ) 1) коэффициент ,4уг, = О '. Тогда 4В Ч А С Т Ь 1. НЕНЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 1 Фиг. 4Л. Частица в потенциальной яме с бесконечио высокими стенками. ! р !у ! й' х Сшивая решения ' на границах областей 1 и!! (х = 0), а также !1 н 11! (х=!) при условии, что экспоненциально возрастающее решение обращается в нуль, находим уравнение для определения собственных значений энергии Е. Еще несколько упростим нашу задачу, а именно потрсбуем, чтобы потенциальная энергия )го, а вместе с тем и величина и обратились в бесконечность (фиг.

4.3!. Тогда, как видно из (4.25), фт-†фыт†- 0 и поэтому граничные условия для решения (4.21) внутри потенциальной ямы (область 11) принимают вид: ф11=0 при х= О, (4.2б ) фы=О при х=!. (4,27) Волновая функция (4.21) удовлетворяет этим граничным условиям, когда Вы-— 0 и (4,28) з!и и! = О. Из (4.28) следует й! =ил, (4.29) где и = 1, 2, 3, 4, .... Значение и = 0 мы исключаем из рассмотрения, так как при этом волновая функция тождественно обращается в нуль. Точно так же отрицательные значения л могут быть опущены, поскольку волновые функции при отрицательных значениях и равны волновым функциям с положительным п, но взятыми с обратным знаком.

Учитывая, что йт оЕ 1ЗЗ получаем следующее выражение, определяющее спектр энергии (собственные значения) птпзлз . Е„= —,; (4.30) 2ше! 1 При сшивании решений мы долмам В СоОтветСтвуЮщей точке приран- иять сами функции, а также их первые производные. % 4.

Сганнонарное уравнение Шреаннгера соответствующие этим значениям энергии волновые функции (собственные функции) равны: х ф„= А„з!плл —,, (4.31) причем коэффициент А„может быть найден из условия норма. розки г =. '= ° х ф'„г!х = А'„~ э!п' лл —, 11х = — Ай = 1. а о Таким образом, окончательно находим: /2 . х ф = "41 — з[п ил —. а 1 ' (4.32) ) ф*„,ф„г(х = 0 при л'чьл, о (4.33) в чем нетрудно также убелиться простым интегрированием, подставляя сюда вместо волновой функции ф„ее выражение (4.32).

Выпишем теперь некоторые конкретные собственные значения Е„и собственные функции ф„, которые изображены на фиг. 4.3: ф, [/ — з!и — ',, /2 . лх (4.34) нгЬ' Е! =— 2ого1о ' /2 . х — — — з1п 2л —, 1' > (4.35) Е,= 4Е„ Е, = 9Еь ф, = [/ — э[п Зл —. /2 . х 3 — $/ (4.36) Приведенные здесь решения очень похожи на известные решения для колебания струны с закрепленными концами, которые образуют стоячие волны. Случай л = 1 [см. (4.34)) соответствует осноьному тону, случай л = 2 [см.

(4.36)] — первой гармог ике и т, д. Свободное движение частиц. Нормировка волновых функций в случае непрерывного спектра. Рассмотрим свчбодное движение частицы. В простейшем одномерном случае (-ео < х < го) уравнение Шредингера (4.37) Волновые функпин (4.32), представляющие собой собственные функции уравнения Шредингера, согласно общей теореме о собственных функциях [см. (4.!7)) удовлетворяют условию ор- тогональности ч А с т ь ь нееелятивистскхя квхнтовАя мехАникА где и=— Р ь (4.38) имеет решение: (4.39) ф Аемх+ Ве-мк Для выяснения физического смысла этого решения напишем полную волновую функцию ф(1)=е 'нчР= Ле ""'-Ам+ Ве-'~"'чьм, (4.40) Отсюда видно, что первое решение Ле к '-А"> описывает движение волны в одном направлении оси х, а второе Ве-ин'+А"> — в противоположном направлении.

Ограничиваясь одной бегущей волной для стационарной части волновой функции ф, имеем: ф = А~ мх (4.4!) ф(х) = ф(х + ь), (4.42) Введенная таким образом длина периодичности ь' может быть выбрана сколь угодно большой (Е- со), поскольку она, как правило, не входит в конечный результат. При другом способе нормировки используется так называемая дельта-функция Дирака (см.

конец этого параграфа). Рассмотрим первый способ нормировки. Согласно условию периодичности (4.42) 4емк — Лем з мь получаем, что е™ь = 1. Отсюда находим 2лн Й= —, Ь (4.43) где н = О, -~-1, ='-2, +-3, .... При этом для спектра энергии согласно (4.38) и (4.43) имеем: Ч'я' внеаеа-' атк то~."' (4А4) Нетрудно убедиться, что выражение ~ ф"ф Ых расходится, и, следовательно, прежний способ нормировки (см. (4.10)] требует пересмотра. Существуют два основных способа нормировки таких функций. В первом из ннх, предложенном Борном, вместо граничных условий на волновую функцию ф накладывается условие перио- дичности й 4. Станнонарное уравнение Шредингера 49 Так как функция ф является периодической на отрезке Е, то условие нормировки принимает вид: 1 ф.ф (х=1.

-спо Подставляя сюда выражение (4.41) для ф, получаем: А=— УГ (4.45) (4.46) Поэтому нормированные решения равны . Еан (4.47) Легко показать, что функции (4.47) не только нормированы, но и ортогональны, в чем нетрудно убедиться путем непосредственного интегрирования хп .гни ) ор" лр ггх =- — ) е ь г(х =. -С!2 -ие .;.н!.—. ! ! 0 при гг'~л, (4.48) ""!" "! ! при и'=и, Таким образом, вводя искусственным путем длину периодичности, мы делаем тем самым непрерывный спектр дискретным. Однако если в конечном результате длину Е стремить к бесконечности, то этот дискоетный спектр станет непрерывным. В самом Р оооо деле, учитывая, что Ь= — = — и гхп = 1 для разности оЕ со- Ь Ь седних энергетических уровней, находим значение Ьал 2н 2нЬ КЕ = — — = о —. нга ! Ь (4.49) (4.50) Здесь, как н в одномерном случае, Ь определяется формулой (4.38) .

Будем решать уравнение (4.50) методом разделения переменных, т. е. представим волновую функцию ф в виде ф = ф(х) ф(у) ф(г). (4.5 ! ) 4 Зон Заа Отсюда непосредственно следует, что, если А - оо, то ЛЕ - О, т. е, спектр энергии будет непрерывным. Обобшим рассмотренную задачу на трехмерный случай движения свободной частицы. Уравнение Шредингера при этом следует записать в виде вв часть з нееглятивистская квантовая механика Подставляя это выражение для уравнения (4.50) и умножая полученное выражение на 1 ! зЗ Е (х) 3) (Ч) ф (2) находим ~'(х) + 12 (ч) 1 ч1 ОО 1 йз 0 з) 1з) Ф (ч) з2 (з) где штрихи обозначают производные по аргументу соответствующей ф функции. Последнее соотношение имеет место только в том случае, если каждая из дробей равна некоторой постоянной величине.

Поэтому мы получаем независимые уравнения для каждой из ф-функций ф" (г)+ йзф(т) = О, ф" (у) + йзз)(у) = О, ф" (г) + йззф(г) = О, (453) причем ф(х)=Е, 'е ", ф(у)=У. 'е '", ф(г)=Е ае ". (4.56) Здесь 2з 2ч 2л йа П С, й=и С, й=ит, — — зЬ з= зз > (4.57) пь пз, пз = О, ~- 1, .~ 2, .+- 3, Энергия частицы в этом случае равна 2зз'Ы з з 2я'В'и Е„= Ьз (п1+П2+нз)-,„~.з (4 56) Подставляя в (4.51) соотношения (4.56), находим выражение для функции , -Ч, !Зг,-'и 8 (ал-З За+ею (4.59) из которого следует условие ортонормированности ф з)х= 6 Ь ° 6 а1излз л~лзпз п1л1 изФз лзлз (4.60) йз + аз + йз ьз (4.54) Выбирая в качестве решений полученных уравнений (4,53) бегущие волны в некотором определенном направлении, имеем: зр(х) = Ае'а.*, ф(у) = Ве'ьч, ф(г) = Се'аи.

(4.55) Неизвестные постоянные А, В н С определяются из условия нормировки, причем так же, как и в одномерном случае. функции зр(х), ф(у) и ф(г) следует считать периодическими на некоторых отрезках длины з., которые в совокупности образуют куб объема 7 з. й 5. Иестаннонарное уравнение Шреаянгера где з Р=пй, Е=— 2глз (4.62) Отметим попутно, что энергетический спектр в данном случае, как н при одномерном движении, оказывается непрерывным. В этом нетрудно убедиться, если по аналогии с линейной задачей найти разность энергий двух соседних уровней и положить затем Е- оо, При втором способе нормировки (т.

е. нормировки на 6-функцшо) свободного одномерного движения ть (Р) — Аегязгя ть* (Р~) — Аме-гя'зга (4.63) мы должны положить ) ф*(Р )ф(Р)с!к=6(Р Р ) (4.64) где 6-функцию представим через интеграл Фурье 6(р — р') = — ) е'!Я-зозг19 ! 2л (4.66) Подставляя решения (4.63) в (4.64) и делая замену — „= 9, имеем т('Лл ~ е'гя-я!сгтэ= 6(р — Р'). Отсюда находим, что 1 1 яяз А =- =, тр(Р) = =е я )' 2лэ Р 2д6 (4.66) Нормировка на 6-функцию оказывается более удобной, чем нормировка Бориа при исследовании непрерывного спектра в случае наличия поля '.

6. НЕСТАКИОНАРНОЕ УРАВ- гзЕНгИЕ ШРЕДИНГЕРА Как было показано в предыдущем параграфе, решение стационарного (т. е. независяшего от времени) уравнения Шредингера (4.8) сводится к определению собственных значений энергии Е„ и собственных функций ф„. Волновая же функция некоторого ' О свойствах 6-функцнн см. монограФию: Д, Д. И в а н е н к о н А. А, С околов. Классняеская теория поля. М., Фнзматгнз, 1951, й ! — 7, а о более водробном изложении вормнровкн на 6.функцню см.