Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика.djvu), страница 8

С этой целью возьмем волновое уравнение в общем виде (4. 1) Здесь функция ф описывает волновой пропесс, распространяющийся со скоростью и. Если волна является монохроматической, то решение уравнения (4.1) можно искать в виде ф(г, 1) = е-'и-'ф(г), (4. 2) где ы = 2пи — круговая частота, а пространственная часть ф(г) волновой функции подчиняется уравнению Уеф(г) + —, ф (г) = О. (4.3) В последнем уравнении вместо двух параметров ы и и мы можем ввести только один, а именно длину волны 2пи й= —.

(4А) ч А с т и е неаелятивистскАЯ квлмтовая механика Тогда (4.5) Для того чтобы из этого волнового уравнения, имеющего, вообще говоря, универсальный характер, получить волновое уравнение, позволяющее описывать волновое движение электронов, подставим сюда вместо > выражение для дебройлевской длины волны Ь 2иб А= пми р (4.6) Учитывая далее закон сохранения энергии — + У(г) = Е= сопи(, Р' 2щз находим —,= —,' [Š— У(1')]. (4.7) Подставляя это выражение в уравнение (4.5), получаем стац и о н а р н о е (т. е, ве зависящее от времени) уравнение Шредингера узф(г)+ „,' [Š— У(1')]тр(г)=0.

(4.8) Полная волновая функция, зависящая как от пространственных, так и от временной координат, может быть найдена с помощью формулы (42). Полагая ш = Е>л, имеем '. чр (1) = е " тр. (4.9) причем ее пространственная часть также удовлетворяет уравне- нию (4.8). Условия, налагаемые на волновые функции. Собственные функции и собственные значения. Согласно Борну, волновой функции тр(1) следует дать статистическую (вероятностную) интерпретацию.

В частности, квадрат модуля ф*(~)ф(~) = чр'ф играет роль функции распределения и характеризует плотность вероятности обнаружить частицу в момент времени 1 в объеме пространства с координатами, лежащими между г и и+ с(г. ' Здесь и в дальнейшем волновые функции, зависящие от координат и от времени, будем записывать в виде ф(1), а волновые функции, содержащие в качестве аотумента чолько координаты, — в виде ф. Комплексно сопряженная волновая функция вэтом случае равна: и ф' (1) = Е " ф", (4.9а) $ 4.

Сзапионариое уравнение Шредингера 41 Если плотность вероятности тр"зр отлична от нуля толькО В ко. печной части пространства, то можно с достоверностью считать, что частица локализована где-то в этой области, т. е. вероятность обнаружить там частицу должна равняться единице ~ ф",~к(з (4. 1О) ЕЬЕь Ез, .

Соответствующие этим собственным значениям решения волнового уравнения зр1 зрз трз называются собственным и функция м и. Возможные значения энергии образуют так называемый эн е р гети ч ее к и й сп ектр. Ниже мы увидим, что если ' Требование непрерывности волновой функции и ее производной приводит, в частности, к непрерывности плотности заряда и плотности тока (си. ипмсе (д20) и (5.21)1. Выражение (4.10) называется у с по вием но р мир о в ки. Следует заметить, что не всегда область отличной от нуля плотности вероятности будет ограниченной.

В некоторых случаях (простейший из них — свободное движение частицы) величина фетр не обращается в нуль во всем пространстве, В таких случаях интеграл ) зр*зрт(зх расходится и условие нормировки требует несколько другой формулировки (см. ниже). Перейдем теперь к общему анализу уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера (4.8) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных.

Его решение должно напоминать решение некоторых классических задач математической физики, например уравнения колебания струны и т. д. На волновую функцию тр, как на решение, удовлетворяющее уравнению второго порядка типа Штурма — Лиувилля, должны быть наложены следующие условия. Она должна быть непрерывной и иметь непрерывную производную', кроме того, онз должна быть однозначной и конечной во всем пространстве, а также удовлетворять определенным граничным условиям.

Эти требования приводят к тому, что решения волновых уравнений, удовлетворяющие перечисленным выше условиям, существуют, вообще говоря, не при любых, а только при некоторых значениях параметра, получивших название с о б с т в е н н ы х з н а ч е н и й; в данном случае таким параметром является энергия Е с собственными значениями 42 ч А ст ь т.

нситлятивистская квантовая мгхаиика движение частипы не ограничено в пространстве, то ее энергетический спектр будет н е и р е р ы в н ы м. Если же положение частипы в пространстве ограничено, то энергетический спектр будет д и с к р е т н ы м. Покажем, что собственные функпии ф„будут удовлетворять условию ортонормированности ' ~' ~, ф,(ах (4.

11) где ᄄ— символ Кронекера — Вейерштрасса, равный единине при и' = и (условие нормировки) и равный нулю при и' ~ и (условие ортогональности). Чтобы показать это, напишем уравнение Шредингера для чр„и чр„',: Рф„+ф(ń— ))ф„=О, (4.1 2) Р ф„,+ф(Е„,— Г~ф„=о. (4.13) Умножая первое из них на тр"„„а второе на (-ф„) и складывая затем первое со вторым, получаем: Р;гчатй — Р Р Р',+ йт (Š— Е„,) Р„',Р„=О. (4 14) Отсюда, учитывая, что тР„'Утчр„— чр„тгетр„', = г) 1у В, где в=ф„,чф ф„чф „ Принимая во внимание стремление чр-функпии на бесконечности к нулю, получаем ': г(1ч Вс(ах = ~ В„гт'5 = О, ' Здесь и в дальнейшем число интегралов должно равняться числу дифференпналов, а интеграл, стоящий беч пределоа, следует брать по кажной переменной в интервале от — со ао + со ' Поверхность 5=4иг' стремится к бесконечности при г -ьоч Поагому данный интеграл обращается в нуль, когда волновая функпия чй при г -г со стремится к нулю быстрее, чем г-', 1(ли дискретного спектра ато условие всегда выполняется, так как волновая фуикпия ф на бесконечности обращается в нуль, нак правило, по акспоненциальному аакану.

Случаи же непрерывного спектра мы нсследуел1 особо. после интегрирования (4.14) по всему пространству, находим ~ д(ч Вс1ах+ йа' (ń— Е„) ~ ~>'4„су'х = О. (4.15) 4 4 Стационарное ураяиение Шредингера 43 т. е. вместо (4.!5) имеем: (Е Е ) ~ ф* ф с(зх = О (4. 16) Предположим теперь, что Е„чьЕж (т. е. л'~п); тогда согласно (4.!6) должно выполняться равенство (условие ортогональности) (4.1 7) Если же и' = а (или Е„=Е„), то последний интеграл отличен от нуля; мы можем потребовать, чтобы он равнялся единице (условие нормировки) ~ ф ф,(з„ (4.18) Таким образом, собственные функции фь ф,, фз, ..., соответствующие собственным значениям Еь Е,, Е„..., действительно обладают свойством ортонормированности (4.11), являюшимся одним из важнейших свойств собственных функций.

Примечание Условия ортонормированности (4!7) и (4.18) получены в предположении, что каждому собственному значению энергии соответствует только одно собственное значение волновой функции ф . Этот случай носиг назнаяне невыроэьденного При наличии же вырождения, когда одному и тому же значению эвери гии Е соответствуют несколько волновых функций (например, две) фл и фл, оии могут оказаться и иеортогональными друг к другу, т. е.

1 г)З =5МО )х2(1+ 5) ' "' У2(1 — 5) Поэтому при наличии вырождения мы можем всегда выбрать волновые функции таким образом, что условие ортонормированности примет вид фл'тлфлтк х блл'бтт" з Один из наиболее важных примеров вырожденнык функций встретится в й 12 (задача о ротаторе). Тогда составим из них такие линеиные комбинации (в данном случае две), что новые волновые функции будут ортогональнымн друг к другу. Например, в случае вещественности величины 5 такими комбинациями являются следующие 44 чисть ь нииилятивистския квинтовая механики Частицы в потенциальной яме.

В качестве примера определения собственных значений и собственных функций оассмотрим движение частицы в одномернои потенциальной яме. Поскольку нас сейчас интах ресует главным образом методическая сторона задачи, выберем простейшую зависимость потенциальной энергии от расстояния (фиг. 4.1): Фиг. 4.1. Лаижеиие иаетипы и потенциальной яие. — ео < х < 0 (область 1), 0<х<1 (область П), 1<х<со (область 1П). Уе при У (х) = 0 при Уе при (4.19) (4.20 а) Заметим, что в данной задаче случай Е<0 не имеет физического смысла. Общее решение уравнения (4.20), носящее колебательиый характер, будет: ярп — — Вм соз йх+ А» з1п йх. (4.2! ) Уравнение Шредингера для областей 1 и П1 имеет вид: ф" + —,' (Š— Уа) ф = О.

(4.22) Здесь следует различать два случая. В первом случае (Е)Уа) решение в этих областях также будет носить колебательный характер, определяемый уравнением (4.21), причем величина й, имеет значение 1 й,= у У2та(Š— Уе). Каких-либо ограничений на бесконечности для волновой функции при этом вводить не следует, н поэтому энергия Е может прини- Тогда уравнение Шредингера для области П (Е > У = О, потенциальная яма) принимает вид Ф,", + йети — — О, (4.20) где а 4. Ствционвоное уравнение Шреднигерв рс) угииаланв ибаюигее ение Фиг. 4Д. Волновая функция при некотором знзчении Е. За ось абсцисс для аслисасй функции взят аясргсгячс.

скяй уровень мать любые непрерывные значения. Однако случай непрерывного спектра лучше исследовать не на этом примере (наличие потенциальной ямы только усложнит в математическом отношении задачу, но не изменит общего характера решения), а на примере свободного движения частицы (см. ниже). Во втором случае (Е < Уо — потенциальный барьер) решение уравнения (4.22) имеет экспоненциальный характер, и поэтому его общее решение может быть представлено в виде фьли = Аь иге~+ Вд иге (4.23) где и= ~/ В, 2лго(Уо — Е) = й >О. 1р! (4.24) ф А е-н!х! ф — В е-нх — Ве-н<х-и (4.25) причем в последней формуле ради простоты ыы положили Выг = Ве"'. ! Здметим, что при Е<7а число неизвесгяых коэффипиентов у волновых функций будет меньше, чем число излагаемых условий Поэтому решения станут возможны лишь при определенных значениях Е, что приводиг к дигкретпосчи спектра.

Заметим, что волновая функция при произвольном значении энергии (О < Е < Уо) внутри потенциального барьера содержит как экспоненциально возрастающее, так и экспоиенциально убывающее решения (фиг. 4.2). Поэтому мы должны выбрать такие значения Е, при которых экспоненциально возрастающие решения внутри потенциального барьера отсутствуют.