Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика.djvu), страница 6

ш р е (3.! () ' 31а форьгула может быть получена пз следующих простых соображений Волновая функция зависит только от фазы ср =(Еà — рх))а; поэтому если время ! изменятся на величину Л! я станет равным г~=т+ЛГ, то фаза вта перейдет в точку х| =х+Лх, которая может быть найдена нз равенства Ег, — рх, = Е! — рх =- сопи (, ЕЛ! — рЛХ= О (3.)2) т. е (3.!3) Отсюда находньг, что скорость распространения постоянной фазы, а вместе с тем и волны в целом (фнг. 3.!) равна: Лх Е и= ЛГ р (334) Фкг. ЗН. Распространение монохроматнческой дебройлевской вс лпы.

В течение времени ЛС вол Нето и р м жаетси иа величину Лк Флаовая скорость волны Лс равна и Ы Ьрстмас Ь лмесенье й с,-г лс Поскольку скорость и частицы согласно теории относительности не может быть больше скорости света с н вакууме, для фазовой скорости и волны получается значение, превышаюшее величину с. Этот результат говори! о том, что монохроматнческая волна не может переносить частицу или какую-лнба энергию, поскольку скорость переноса последних согласно теории относительности ограничена скоростшо света. Поскольку квадрат модуля волновой функции (3.9) равен постоянной величине, плоская волна должна заполнять с одина- ч А с т ь 1 нееелятивнстскАя НВАнтоВАя мгхАникА ЛА о,о— г ф(х, 1) = ) а (а) е-ы'"'-А'г с(й.

(3. 15) ЛА ы— г Частота ы является функцией Й, причем мы пока что не будем конкретизировать эту зависимость. Для простоты предположим, что в этом интервале амплитуда а(гг) остается постояннои и А равной а(й)= —. Разложим, далее, частоту ог(й) в ряд Тейлора в окрестности точки Й = но. ог(й) ого+( йо)ого+ 2 соо + (3. 16) где где ого=Во(йо); ого'=( — ) и т. д., а также, ограничиваясь членами первого порядка малости относительно ан=н — йо, найдем: с«о+(г ~о)с«о+ .

ого+ огг+ (3.17) причем отброцгенный член второго порядка малости равен г( ) 2 о' (А В1г (3.17а) Учитывая лишь члены первого порядка малости, в результате интегрирования (3.15) по ггн, получаем: гр (х, 1) = Ве ' '"'' (3.!8) козой плотностью все пространство. Поэтому с помощью плоской монохромагической волны лучше всего описывать движение многих частип. Для волнового же описания движения отдельной частицы необходимо взять не одну монохроматическую волну, а набор волн, обладаюьцих близкими частотами. С помощью набора волн можно построить г акой волновой пакет, результирующая амплитуда которого оказывается заметно отличной от нуля лишь в некоторой небольшой обласги пространства, которую можно свягать с местоположением частицы. Кроме того, оказывается, что максимум результирующей амплитуды волнового пакета(«центр тяжести» группы волн) распространяется с групповой скоростью меньшей, чем скорость света, причем для дебройлевских волн групповая скорость совпадает со скоростью частицы.

Для того чтобы это показать, образуем волновой пакет из суперпозиции (т. е. набора) плоских волн, для которых волно- ЛА ЛВ вое число й изменяется в пределах от но — — до й,+ —: 2 2 З1 5 3. Венцовые свойства частиц причем амплитуда волнового пакета В равна: В= Аз)пЩ, $= — (х — воГ). вй с 2 (ЗА 9) Из этого выражения следует, что амплитуда В не остается постоянной ни в пространстве, ни во времени. Чтобы определить скорость движения волнового пакета в целом, т. е. групповую скорость и, мы должны положить вь 5 — — (х — вД = сон з1. (3.20) Тогда, взяв производную по времени 1 и учитывая, что при этом — =О, мы получим выражение для групповой скорости дв дх й= — = в'.

о' (3.2!) Рассмотрим теперь пространственное распределение волновоов го пакета. Полагая при этом Г = О, мы будем иметь й= — х. 2 Квадрат амплитуды волнового пакета т яп'а ечс достигает главного максимума в точке й = 0 В'(0) =А'. В'(ч- — ) = —, А', В'(~ — ) =, А' н т. д., причем в точках .+ и, .+ 2п и т. д. квадрат амплитуды обращается в нуль. Благодаря этому мы можем считать, что область локализации основной части волнового пакета Лх находится в окрестности главного максимума. Конкретно примем, что эта область соответствует половине расстояния й между первыми нулями функ.

ции В = А з)п йД (~о — — .+ и) . Тогда получаем, что 1 аеас Лй= 2зо= =и 2 2 и, следовательно, ЛйЛх = 2п. Поскольку волновая функция фактически отлична от нуля и за пределами этой основной части пакета, то более правильно область локализации волнового пакета Отяосительные максимумы (по модулю) в остальных точках Зн Вп й= -+- —, -~- — '' и т. д. будут соответственно уменьшаться: Ч А С Т Ь ! НЕРЕЛЯТНВНСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАННКА Лх и интервал волновых чисел Лй связать друг с другом неравенством ЛйЛх ' 2п. (3.22) Из этого соотношения следует, что чем шире область пространственной локализации любого волнового процесса Лх, тем уже должен быть интервал Лл волновых чисел, описывающих данную локализацию.

В частности, из (3.22) следует и то, что моно- хроматическая плоская волна (Лй = О) не может описать локализованного в пространстве волнового процесса, ибо для моно- хроматической волны (Лй = О) область локализации распространяется на все пространство (Лх - оо) Рассмотрим еще временную локализацию волнового пакета (3.19), Полагая в выражении для переменной к аргумент к = О, аь дм ам т. е. считая, что $ = — — — 1= — — 1, и проводя рассуждения, 2 дь 2 аналогичные предыдущим, мы придем к неравенству ЛыЛ1)~ 2п. (3.23) Из формулы (3.23) следует, что короткому по времени Л( сигналу соответствует широкий интервал спектра частот Лы, и, наоборот, вполне определенная частота (Лы = О) соответствует волновому процессу, безгранично протяженному во времени (Л1 ). Полученные нами соотношения взаимной связи интервалов Л/г н Лх [см. (3.22)), а также Лы и Л1 [см.

(3.23)) справедливы для любых волновых процессов независимо от того, какова их природа. В частности, несовместимость острой локализации волнового процесса во времени с узким спектром частот — явление, хорошо известное и в оптике (ширина полосы) и в радиотелеграфин (радиоприемник с остроселективной настройкой Лгя- 0 не в состоявии принять радиосигналы, короткие во времени) и т.

д. Рассмотрим, наконец, влияние отброшенных нами членов разложения ез(й) в ряде Тейлора (3.1б) на волновой процесс. Мы отбросили при нашем разложении ы члены второго порядка, равные ыт [см. (3.17а)1 Очевидно, что такое приближение физически не всегда оправдано. 1(ействительно, в условиях отсутствия дисперсии (гвт — — О), когда все монохроматические волны, образующие волновой пакет, распространяются с одинаковой фазовой скоростью [см. (3.18)], начальная форма волнового пакета с течением времени не изменяется, а максимум его амплитуды перемещается с групповой скоростью равной фазовой. Если же дисперсия отлична от нуля (ыеФ.

О), т. е. в случае, копли фазовая скорость отдельных моиохроматических волн, со- й а. Волновме свойства частиц Фчг, 3 2. Форма волнового пакета при г = 0 для дебройлев- ских волн (Ьй =— Ьр ~ в) ставляющих волновой пакет, будет различной, то для достаточно больших времен начальная конфигурация пакета с течением времени начнет изменяться, или, как говорят, пакет расплывается. Нетрудно оценить время расплывания волнового пакета. Для эгого нам необходимо учесть при вычислении интеграла (3.!5) квадратичный член разложения Тейлора (3.(7а), отброшенный вами в первом приближении. Учет этого члена приводит к дополнительной фазе Ле (ай) а~ 2 дат (3.24) которая оказывается существенной, если достигает порядка и'. Отсюда для времени ! = Л! начала расплывания волнового па- кета получаем значение 2н 1 б! = (да)' зтмуат ' (3.25) Таковы некоторые общие свойства волновых процессов, описываемых группой волн Применим теперь полученные нами выводы к дебройлевским волнам (фиг.

3.2). Прежде всего обратим внимание на то, что амплитуда пакета практически отлична от нуля в небольшой области пространства, которую можно связать с местоположением частицы. Далее, в частном случае дебройлевских волн (Е='лго и р= И) нетрудно убедиться в том, что групповая ' Как известно, ч фукн о:и синуса иь можем отбросить фазу только в том случае, если она много меньше и. 3 зак. 32$ 34 часть г иггнлятивигтскхя квантовая мгхлиикл скорость перемещения пакета как целого (см. (3.21)) дм дЕ ср й — — = —: — =и да др Е точно равна скорости и движения самой частицы '. Таким образом, полученные результаты открывают возможность сопоставить движение главного максимума волнового пакета (центра тяжести) с движением отдельных частиц.

Поэтому, в частности, положение частицы в пространстве можно характеризовать квадратом амплитуды ф-волны, т. е. величиной Вз = чжзр, причем положение частицы в пространстве и ее импульс мы можем предсказать лишь с некоторыми отклонениями Лх и Ьр. Заметим, что эти величины не могут быть выбраны малгями независимо друг от друга. Действительно, согласно формуле (3.22) для произведения величин Лх и Лр мы получаем соотношение Ахар в й, (3.2?) получившее название соотношения неопределенности Гейзенберга а. Мы еще вернемся к более строгому обоснованию этого весьма важного соотношения. Г!ока лишь укажем, что соотношение неопределенностей в квантовой теории является проявлением ьорпускулярно-волнового дуализма. Согласно соотношению неопределенностей всегда имеют место неточности или ошибки в теоретическом предсказании координаты и импульса, причем всякая локализация частицы связана с неизбежным размазыванием ее импульса.

Очевидно, что это обстоятельство делает невозможным предвычислнть классическую траекторию движения микро- частиц, т. е. квантовая теория вскрывает принципиально новые свойства микрообъектов, ие укладывающихся в рамки обычных классических представлений движения материальных точек, Далее необходимо выяснить, можно ли отождествить чр-волны со структурой частиц, или эти волны характеризуют только их возможное движение. Первая интерпретация связи между корпускулой и волной была предложена Шредннгером. Согласно его гипотезе, частица должна представлять собой образование из волн, причем плотность распределения такого сгустка волн в пространстве равна чг'тр.