Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика.djvu), страница 4

Ь о = Ь 5 2. Квантовая теория света Такиат образом, мы видим, что с точки зрения квантовых представлений длина волны рассеянного света Л' должна быть больше начальной Л (Л'>Л), так как от'<от. Это увеличение тем существеннее, чем больше угол рассеяния 6. Поскольку комптоновская длина волны Ло — малая величина, комптоновское рассеяние экспериментально наблюдалось, как правило, при сравнительно малых длинах волн (рентгеновское излучение, гамма- кванты).

В самом деле, для видимого света (Л 10 в ги): ЛЛ Л вЂ” з -з — — 1О =10 %, Л Л для рентгеновских же лучей (Л-!О-а —:1О-в см): — -10- =!Ото. Лт — 1 Л Опыт Вавилова с флуктуациями видимого света. Рассмотрим еще весьма интересные опыты С. И, Вавилова с флуктуациями видимого света. Если световой поток действительно представляет собой совокупность отдельных фотонов, то согласно законам статистической физики он может флуктуировать, т.

е. число фотонов в единице объема может с течением времени хаотически изменяться, Известно также, что для человеческого глаза существует резкий зрительный порог ощущения: если энергия излучения, падающего на сетчатку глаза, меньше некоторой определенной величины, то глаз совершенно не ощущает света. Этими двумя свойствами и воспользовался С. И. Вавилов для непосредственного наблюдения квантовых флуктуаций света, По оценке Вавилова, число фотонов, необходимых для того, чтобы вызвать зрительное ощущение глаза, достаточно долго пробывшего в темноте, составляет около 200.

При этом небольшое уменьшение (примерно на !О фотонов) может привести к тому, что свет уже не будет воздействовать на глаз наблюдателя, 11ропуская лучи зеленого цвета (к этому цвету глаз человека наиболее чувствителен) через отверстие диска (фиг. 2.2), вращаюгцегося с частотой, подобранной таким образом, чтобы глаз мог отдыхать (вспышка создавалась длительностью 0,1 сек, а в течение 0,9 сек глаз отдыхал), наблюдатель мог фиксировать вспышку, нажимая кнопку хронографа.

Яркость светового источника можно было непрерывно уменьшать. В результате опыта оказалось, что вначале наблюдатель отмечает каждую вспышку. При дальнейшем же понижении яркости вспышки перестают соответствовать каждому прохождению света через отверстие диска, т. е. начинают наблюдаться флуктуации: в одном случае вспышки видны, в другом — нет, хотя яркость при этом не изменяется.

Это говорит о том, что при понижении интенсивности число фотонов в данном пучке часть ! иеаилятивистскдя квантовая механика флуктуирует настолько си;зьно, что изучаемый пучок может стать то видимылт, то невидимым. Таким образом, С. И. Вавилов О;тчиаа показал, что пучок света наряду с интенсивностью, частотой и поляризационными свойствамп должен характеризоваться также и доааграгиа граа иоааюаатсра Вращающийся раск с атасрстисм флуктуациями. Этот эксперименФнг 22 Схема опытов Вавилова таЛЬНЫй рЕЗуЛЬтат ПОдтнврждаст с флуктуаинями света.

фотонную природу света и позволяет дать новую интерпретацию корпускулярно-волнового дуализма не только для световых явлений, но и в квантовой механике вообще (см. й 3 и 22). Т = — '(гз+ г'ф'), 2 2 со Р= — —. с Отсюда для функции Лагранжа (лагранжиан) имеем "'о .з .

з с со .Р = — (г'+ г"-ф') + —, 2 г где пта — масса электрона'. (2.14) ' Вообще говоря, размеры легких ядер имеют порядок ! О 'З см. При построении теории атома их згожно очи!ать гочечиыми. з В дальнейшем под т, мы будем понимать нерелятивистскую массу электрона (иан массу покоя в обшем случае). Через т, помимо релятивистской массы, встречающейся сравнительно редко, будет, как правило, обозначаться магнитное квантовое число. Теории Бора.

Теорию Бора можно рассматривать как первую попытку создания теории атома с учетом квантовых представлений Планка. В основу своих исследований Бор положил планетарную модель атома, установленную опытами Резерфорда. Теория Бора дала хорошие результаты лишь при исследовании так называемого водородоподобного атома, когда вокругточечного ядра ' с зарядом Яео вращается только один электрон заряда с= — ео(ее=4,8 10-ю СОВŠ— элементарный положительный заряд). Это может быть либо атом водорода Н (порядковый номер атома 2=!), либо ионизированный атом гелия Не' (2=2) ит.д. Рассмотрим прежде всего классическую теорию планетарной модели атома. Вводя полярные координаты г и ср(х=г сов гр, у=г э)п !р), для кинетической и потенциальной энергии соответственно получаем выражения й 2. Кваитовая теория света Из этого лагранжиана находим следующие уравнения движения электрона; д д„Р' — р — ==О, го и д2г — р — — =О.

Ф" дг (2.1 5) Здесь Рв= и = тот <р — 2' д 2' Рг = = = гпог дг (2.!6) — обобщенные импульсы, соответствующие координатам ф и г. Так как <р не входит в 2' явно (в связи с этим она называется циклической координатой), то — '=О, и поэтому соответствуюд У' де щий обобщенный импульс будет представлять собой интеграл движения ро = птог'ф= сон э!, (2.17) что соответствует закону сохранения момента количества движения классической механики.

Второй закон сохранения, а именно закон сохранения энергии Е = Т+ (г = сонэ! (2.!8) следует из условия, что время ! не входит явно в лагранжиан. Ограничимся в дальнейшем рассмотрением простейшего случая круговых орбит, когда Р=О. Тогда в силу обращения в нуль р, = тог нз (2. ! 5) находим: д У Ееоо — = тогф~ — — = 0 дг о (2.19» или Хее 2 ф'= — „. (2.20) Поэтому для энергии электрона получаем выражение: '*о ... Хео ' Хео 2 " г 2 г 2 (2.21) (2.22) Выразим теперь основные параметры, характеризующие атом, через так называемые аднабатические инварианты системы, вве.

денные Эренфестом. Согласно Эренфесту, в случае периодического движения величины 22 часть г игннлятивнстскдя квантовая механика получившие название адиабатических инварнантов (рз — обобл щенный импульс, хг — обобщенная координата), должны оставаться постоянными при медленном (адиабатическом) изменении параметров системы (например, заряда). В нашем случае имеется одна степень свободы (ха=ар), и поэтому условия (2.17) и (2.22) приводят к выражению ! р = птегзф =— 2гт ' (2.23) или 2нлгюг' (2.24) Тогда из соотношений (2.20) и (2.24) находим выражение для г и ез через адиабатический инвариант 1: гз г= 4нзгл кег г (2.25) в З, 2~~4 о о ср = сов= гз (2.26) Для энергии же электрона согласно (2.2!) имеем: гт Е = — 2п' що2 во зз (2.27) Отсюда следует, что частота механического колебания определяется производной от энергии по адиабатическому инварианту о'о ЬД 4:г' лго2 ео з 2и ' д( Р (2.28) Эта связь имеет место не только для рассматриваемого случая, но и для любых периодических или условно-периодических дви- жений.

примечание Под п е р и о д и ч е с н и м движением понимается такое движение, когда через определенный промежуток времени материальная точка возвращается в свое первоначальное положение. Например, таковым является гармоническое движение я=о соз ыс или движение по эллипсу л=а соз езй у Ь а1п мй частным случаем которого является движение по окружности (а = Ь).

Под у с л о в н о - п е р и о д н ч е с к н м движением подразумевается такое, при котором материальная точка, как правило, нс возвращается в свое пеовоначальиое положение, но зато каждая нз коорлинат через некоторый промежуток времени (для каждой из координат различный) вновь принимает иер- й 2. Квантовая теория света воначальиое значение.

В качестве примера условно-периодического движения мы можем привести следующий: х= а соз ыгй р=Ь соз ыгс, причем частота ы1 не соизмерима с ыь Если учесть, что система, совершающая какое-либо периодическое движение, может в общем случае излучать ие только основной тои 4=1, но и гармоники й=2, 3, 4, ..., то для классической частоты излучения будет иметь место выражение дЕ я=йто= й — ' д! (2.29) Классическая теория планетарной модели атома встретила на своем пути ряд трудностей.

В самом деле, эта модель является динамической, и поэтому согласно законам классической электродинамики, электрон, врашаясь вокруг ядра благодаря наличию центростремительного ,г ускорения(из = —, где и — его скорость, а г — радиус орбиты), должен терять энергию ДЕ 2 егщг ггг 3 сг ~ рс(д =пй, (2.30) до тех пор, пока не упадет на ядро (время жизни имело бы порядок 10 'о сек). Однако в действительности этого не происходит, и атомы в свободном состоянии сушествуют сколь угодно долго.

Кроме того, частота излучения по классической теории должна равняться механической частоте колебаний го=гоп=2пто (основной тон) или хотя бы быть кратной ей ю„=пгоо (п=2, 3, 4, ...; гармоники), что также не может объяснить формулу Бальмера (см. ниже формула (2.38)1 для спектральных линий излучения, установленную экспериментально. Выход из создавшегося затруднения был найден в 1913 г. Нильсом Бором, который дополнил классические законы движения двумя постулатами. Во-первых, Бор предположил, что каждый атом имеет ряд дискретных стационарных состояний, находясь в которых электрон не излучает, хотя и движется с ускорением (постулат стационарных состояний).

Эти стационарные состояния согласно теории Бора можно определить путем квантования адиабатических инвариантов м ность 2 иеоелятивистсквя кввитовхя мехвиикх (2.31) Последнее выражение может быть записано в форме, напоми- нающей классическое выражение для частоты излучения; ае ае т = (и — п') — й— а! а! (2,32) если в (2.29) производную Е по 1 заменить отношением конечных приращений В (2.32) целое число й=и — и' можно интерпретировать как соответствующую гармонику. Применим теперь первый (2.30) и второй (2.31) постулаты Бора для построения теории водородоподобного атома. Тогда, подставляя в выражение для радиуса орбиты г (см.