Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика.djvu), страница 5

(2.25)] и энергии Е (см. (2.27)) квантовое значение адиабатического инварианта 7, которое согласно (2.30) равно имеем ав!42 г е г е~оеео (2.33) 4еоя Ео 2 4 = — 2ивав (2.34) При и = 1 получаем энергию низшего (основного) состояния атома 2 4 Евох Ео Е~ = — йв (2.35) и соответствующий радиус Ьв ! г = ! 2 О~ 2 Е'ее Ео (2.36) где радиус первой боровской орбиты но= —, = 0,529 ° 10 сев ги -в моео (2.37) где и — так называемое квантовое число, которое принимает лишь целочисленные значения: и=1, 2, 3, ... (напомним, что согласно классической механике адиабатический инвариант ! может принимать любые постоянные значения).

Во-вторых, Бор предположил, что при переходе электрона из одного — начального — стационарного состояния с энергией Е, в другое (конечное) с энергией Ег < Е„ атом должен излучать квант с энергией )вт= йоо (постулат частот), круговая частота оо излучения при этом находится из соотношения ń— Еег а й 2.

Квантовая теория света На основании второго постулата Бора (2.31) в соответствии с (2.34) для частот излучения ш„ находим формулу Бальмера ń— Е„, гло_#_зео / ! 1 ~ ~лл' з ~,з ) ° (2.38) Таким образом, теория Бора позволила связать установленное эмпирически значение для постоянной Ридберга тс с постоянной Планка й; (2.39) Подставляя сюда вместо тэ, е, н й численные значения, мы найдем для постоянной Ридберга значение )с=2,0? ° 10" сек-1, хорошо совпадающее с экспериментальными даннымн. Получение формулы Бальмера является одним из самых больших успехов теории Бора.

Однако, несмотря на указанные успехи, теория Бора обладала рядом существенных недостатков, которые особенно проявлялись при дальнейшем ее развитии. Теория Бора, нося явно полуклассический характер, позволяла вычислять только частоты спектральных линий, но не их интенсивности.

Для нахождения же интенсивностей приходилось прибегать к классической электродинамике на основе так называемого п р и н пни а соответствия. Примечание Согласно принципу соответствия все результаты предшествующей теории, нашедшие экспериментальное подтверждение, должны следовать, как правило, в предельном случае из последующей, что является важнейшим критерием правильности новой теории. На возможных исключениях мы останавливаться не будем. Например, при й -ь О результаты квантовой механики должны переходить в нлассические.

Точно так же при рз-ь О результаты релятивистской теории должны перехолить в нерелятивистские и т. д. В этом отношении принцип соответствия позволяет проследизь за процессом развития той нлн иной теории, которая должна асимптотически приближаться к истине. В процессе же создания новой теории, когда последняя ие дэег еще возможности исследовать некоторые явления, принцип соответствия может быть использован для разумного обобщения результатов старой теории на новую.

Так, например, боровская теория позволяла вычислить лишь частоту, но не интенсивность излучения. Последняя была определена Вором из принципа соответствия, допускающего только такие изменения квантового числа л (Лл = л — и') (правила отбора), которые должны совпадать с возможными классическими гармониками излучения, Проблема излучения света по квантовой теории была полностью разрешена лишь после создания не только теории Шредвнгера, но н квантовой электродинамики. С помощью постулатов Бора не удалось построить теоршо миогоэлектроиных атомов, в тем числе и атома гелия, обладающего всего лишь двумя электронами. Ч А С Т Ь Г НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Поэтому мы не будем более детально рассматривать дальнейшее развитие боровской теории.

Последняя явилась лишь переходным этапом от классической теории к квантовой механике. Однако мы сочли целесообразным хотя бы кратко осветить основные положения теории Бора, которые и до настоящего времени сохраняют большое методическое значение, В частности, теория Бора часто является отправным пунктом при анализе многих результатов, связанных с процессом квантования.

Выводы, которые следуют из формулы (2.38), мы более детально проанализируем в з 13, когда задача о водородоподобном атоме будет решена иа основе квантовой механики. $3. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ Волны де Бройля. Как было указано в предыдущем параграфе, у света, помимо волновых, были также обнаружены и корпускулярные свойства. Соотношения, связывающие волновые характеристики (частота ю и длина волны Л) с корпускулярными (эиергия е и импульс и), установленные Эйнштейном (1905) для кванта света й о (3.1) тэ и Е = птс, р = пгтт, гп = р! — рэ с (3,2) должен обладать также и волновыми свойствами. ' Здесь и в дальнейшем читатель по смыслу может сулить о том, включает ли энергвя в себя также и энергию покоя. Лишь в тех случаях, когда в одно равенство входят оба значения энергии, мы будем различать их с помощью какого-нибудь инденса, например Е Е'+ теса.

(З.З) В частности, в нерелятивистском приближении рт-РО имеем; тео 2 (3.4) т. е. частицы с массой покоя, равной нулю, были обобщены французским физиком де Бройлем (1924) на частицы с отличной от нуля массой покоя. Другими словами, де Бройль предположил, что дуализм волна — частица должен быть свойствен не только свету, но н электронам и вообще любым частицам. Согласно идее де Бройля, поток свободных электронов, обладающих энергией Е и импульсом р, связанными со скоростью р соотношениями ' $ 3.

Волновые свойства частиц 27 Соответствующая частота и волновое число по гипотез де Бройля должны определяться соотношениями, подобными эйнштейновским Б=Ь,,р=йй, Таким образом, соотношения Эйнштейна (3.1) приобретают универсальный характер и становятся одинаково применимыми как для анализа корпускулярных свойств света, так и для анализа волновых свойств движущихся электронов. Для того чтобы исследовать волновые свойства электронов, необходимо прежде всего получить монохроматический (по скоростям) пучок электронов. Такой пучок может быть получен в приборе, называемом «электронная пушка;, где электроны ускоряются, проходя некоторую разность потенциалов между электродами. Скорость электронов о может быть найдена из соот- ношения опо' е„Ф 2 300 (3.7) где Ф вЂ” ускоряющий потенциал анодной сетки относительно ка- тода, выраженный в вольтах.

С помощью (3.6) находим соот- ветствующую дебройлевскую длину волны а ЬУ 150 ! 2 ° 1О Л вЂ” —— — см. лмо У таеощ У ~1> (3.8) Заметим, что выбор величины потенциала Ф ограничен некоторым минимальным значением 15 — 20 в. Такой потенциал должен сообщить электронам энергию, большую, чем хаотическая энергия электронов в металле. При этом дебройлевская волна электронов будет иметь примерно ту же длину Л ж 1О ' см, что и мягкие рентгеновские лучи. Впервые волновые свойства электронов были обнаружены в опытах по дифракции электронов Дэвиссона и Джермера (1927).

Поскольку длина волны де Бройля для электронных пучков имеет порядок 1О-' см, в качестве дифракпионной решетки, так же как и в случае мягких рентгеновских лучей (опыты Лауэ), был выбран кристалл, постоянная оешетки которого соизмерима с длиной дебройлевской волны Л Обобщая методику, разработанную Дебаем — Шеррером для рентгеновских лучей на случай электронных волн, П. С. Тартаковский и Г. П. Томсон (1928) пропустили через поликристаллическую пленку не рентгеновские т. е.

длина дебройлевской волны движущихся частиц будет равна Л 2л (3.6) ч А с т ь г ненелятнвнстскля квантовая мехлникл лучи, а пучок электронов. Они получили вместо рентгенограмм так называемые электронограммы. В настоящее время электронограммы наряду с рентгенограммами находят большое практическое применение при изучении строения кристаллов '. Следует заметить, что формула де Бройля применима не только к электронам, но и к другим частицам, например протонам и нейтронам, даже к сложным атомам и молекулам.

Правда, благодаря сравнительно большой массе этих частиц длина их дебройлевской волны чрезвычайно мала. Однако Штерну и Эстерману удалось наблюдать дифракцию атомов гелия н молекул водорода прн отражении от кристаллов (.!Р. Весьма эффективным оказался метод исследования структуры вещества, основанный на дифракции нейтронов. Дело в том, что нейтроны не обладают электрическим зарядом и поэтому даже в случае малой энергии (так называемые тепловые нейтроны), когда длина волны де Бройля практически еще отлична от нуля, свободно проходят сквозь вещество. Все перечисленные выше факты с полной убедительностью говорят о том, что волновые свойства в принципе должны обнаруживаться у всех частиц. Гипотеза де Бройля заложила основы развития новой отрасли физики — электронной оптики, изучающей волновые свойства электронных пучков.

Важным приложением электронной оптики явилось создание электронного микроскопа, разрешающая способность которого гораздо выше, чем у обычных оптических приборов'. Действительно, верхний предел разрешающей силы (а значит, и увеличение) обычного микроскопа определяется длиной волны света. Чтобы сделать увеличение по возможности большим, необходимо было как можно сильнее уменьшить длину волны света. Однако такое уменьшение возможно только до некоторого предела.

Нельзя, например, построить рентгеновский микроскоп, поскольку для рентгеновских лучей не существует соответствующих линз. Вместе с тем электронные пучки достаточно легко могут фокусиРоваться с помощью воздействия на них электрического и магнитного полей («электрические» и «магнитные» линзы). Поэтому их применение в микроскопии оказалось весьма перспективным. ' Смп П. С Т а р т а к о в с к и й. Экспериментальные основания волновой механики. Л вЂ” М, ГТТИ, 1932. ' Современные оптические микроскопы дают увеличение примерно воднудве тысячи раз.

Электронный же микроскоп позволяет получить увеличение более чем в миллион раз. В настоящее время, кроме элекгроииога микроскопа, широкое распросзранение получает протонный микроскоп, разрешающая сила которого должна превышать разрешающую силу электрониага микроскопа. й 3. Во.тновые свойства частиц Волновые пакеты. Фазовая и групповая скорости. Следуя идеям де Бройля, движение свободной частиць! вдоль оси х, обладаюшей энергией Е = лгс' и импульсом р = ти, можно описать плоской волной с — — гаг-рк> тр (х, !) = Ае ""' '" = Ае (3.9) Скорость распространения и дебройлевской волны может быть найдена как скорость перемешения постоянной фазы Е! — Рх =- сопз(, (3.!0) т. е. фазовая скорость определяется соотношением ' Нх Е с' и= — = — = —.