Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.Ч. Жуковский - Классические поля, страница 5

ь~.~. дбх" дХ д ( д,Ж дх" дхи дхи ~ ди „ йах — ~Кбхи+ — (би — и бх'), д Г дХ' Если, как мы предположили, объем й произволен и действие. инвариантно, 65=0, то дивергенция под знаком интеграла рав- на нулю: — ~Хби,— — и „бх'+ — би =О. (1.5.10~ ахи[1 дии ' ) дии Преобразования образуют группу Ли с параметрами Ъ'(а 1, г), поэтому бх" бх' = — ВЪи, бба н Х, †генерато группы, Определим Нетер Р'и = — Уби„+ — и,) —, — — —, (1.5.11).

дЯ' 1 бх" дЯ би ди ') ЬЪи ди „ Ьдч и тогда из (1.5.10) в силу независимости параметров друг от друга получим д,7и /ахи = О. (1.5.12) Равенство нулю дивергенции приводит к закону сохранения„ т, е. интегралу уравнений поля. Действительно, применяя теорему Гаусса, запишем Пусть область интегрирования ограничена двумя гиперплоскос.гями г=г! и !=ге, а в пространственноподобных направлениях простирается до бесконечности, где и=О, и,„=О. Тогда (1.5.13) приводит к равенству гРх,(е, = ) <РхР, = сопя(. гдц ! га Полученные интегралы представляют собой заряды Нетер Яа = ~ еРхР = сопз1, (1.5.14) ! !ее!! которые в силу (1.5.14). оказываются постоянными во времени, т. е. интегралами движения теории поля.

В этом и состоит теорема Нетер. Заметим, что введенные выше токи Нетер неоднозначны, так как допускают преобразования дх" (1.5. 15) ие нарушающие равенства (1.5.12). й З. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ Прежде всего рассмотрим некоторые общие требования, ко. торым должны удовлетворять теории поля. Поскольку классическая динамика поля определяется его действием, то требования должны предъявляться именно к действию 5 (и (х)1 =- ~ У (и, ди!'дх, х) е(4х. (1.6.1) 30 Перечислим эти требования.

1. Релятивистская инварнантность. Действие должно быть инвариантом группы Пуанкаре, т. е. не изменяться под действием преобразований Лоренца н трансляций. Объем инвариантен относительно собственных преобразований Лоренца и трансляций, поэтому лагранжева плотность .У должна зависеть от соответствующих ннвариантов. 2.

Локальность. Функции поля, от которых зависит функционал действия, должны зависеть от одной и той же точки х, как в (1.6.1). 3. Действительность. В действие входят только действительные комбинации функций поля и их производных. В противном случае действие поля приобрело бы мнимую часть, а вместе с ним и энергия поля стала бы комплексной, что с точки зрения квантовой теории свидетельствовало бы о возможнбсти рождения и поглощения частиц поля «из ничего», т. е, из вакуума. 4. В лагранжиан входят производные не выше первого порядка.

В этом случае уравнения поля оказываются не выше. второго порядка. 5. Инвариантность относительно так называемых внутренних симметрий, определяемых структурой теории. К таким симметриям относится, например, изотопическая симметрия полей, соответствующих нуклонам, т. е, протонам, иейтронам н пи-мезонам, входящим в состав ядра. Другим важным примером является калибровочная симметрия, определяющая характер взаимодействия полей материи, а именно электромагнитного взаимодействия, слабого взаимодействия (распады частиц) и сильного взаимодействия, удерживающего нуклоны в ядрах (хромодинамика, основанная на цветовой симметрии), — см. ниже. Простейшим примером релятивистского поля является действительное скалярное поле.

Это однокомнонентное поле, <р= =ф(х), инвариантное относительно преобразований группы Пуанкаре: х х' = Лх + а, <р (х) <р'(х') = <р (х). (1,6,2) Лаграижиан такого поля, отвечающий перечисленным выше требованиям, может быть записан в виде* Х = — (дакар)а — пг'гра. 1 а ! 2 2 (1.6.3) Уравнение поля (О+те) ~р(х)=0, (1.6.4) где П= — д„д'=е-'д!я — ~7' — оператор Даламбера, называется. уравнением Клейна — Гордона. Частное решение данного уравнения находим в виде плоской монохроматической волны го(х) = Ае — г!'", (1.6.5д где р'=!я', т.

е. роа — ра =пг', откуда !и = ~ 1! р +!и = ~ ер (1,6.6) По.существу, вектор р в данном решении с точки зрения классической теории является волновым вектором, имеющим размерность (длина)-'. Корпускулярная интерпретация волны схр1!(рг — ер()1 основана на понятии волны де Бройля, отражающей волновые свойства квантовых частиц. Такая волна записывается в виде ехр ~ — (рг — е г)1, где А=А/2п=6,5620 10-" МэВ с (1 МэВ=10'эВ) — постоян-- ная Планка, представляющая собой квант действия. Векто Р определяется как импульс, а еп — энергия частицы. При этом Р * Здесь пя дальнейшем аданном параграфе мм пользуемся релятяаястгяой системой едяппц, полагая с= 1. (1.6.7) Р(ч) = —, (р' —.~-) . (1.6.8) . сс дЯ' дй' Р'=с ~ — и — —,и* )с ди, ди' (1.6.13) н электрический заряд р= рс,.= ~=)'р'1)".

(1.6.9 (1.6.14) 2- -114 длина соответствующей волны де Бройля связана с импульсом соотношением х а Х= 2сс ! р! 'Не останавливаясь подробно на соответствии классической и квантовой теорий, подчеркнем еще раз, что уравнение для классического поля после проведения процедуры квантования поля интерпретируется как одночастичное уравнение для частицы— кванта этого поля. Произвольное состояние квантового поля представляется как совокупность некоторого числа !11 частиц— квантов, находящихся в различных возможных одночастичных состояниях с энергией зс(р;) и импульсами р;(1=1,Лс). В дальнейшем, так же как и в приведенной выше формуле (1.6.5), .будем при обращении к корпускулярной интерпретации волновых решений использовать систему единиц 6=1, и тогда им.пульс частицы будет иметь размерность волнового вектора, т.

е. (длина)-'. Таким образом, р может быть назван 4-вектором импульса частицы массы т, сопоставляемой данному полю (1.6.5). Рассмотрим теперь более сложный случай, когда лагранжева плотность поля имеет вид Х = — (д„ср)' — Р (ср), 1 2 где Цср) — не квадратичная функция, как для свободного по. ля, а содержит самодействие поля, например Это так называемая модель Хиггса. Здесь параметр )с)0, а па-, раметр 1с' может иметь любой знак.

Если 14'(О, то «потенци.альная энергия» 1с(ср) имеет минимум при ср=О и тогда, пренебрегая членом срс, получаем свободные частицы с массой' ( — !4»). Поправки порядка срс определяют самодействие поля и могут быть учтены приближенно как малые возмущения. Если же 44')О, то минимум «потенциальной энергии» достигается при На этот раз получаем два минимума, т. е. два возможных решения, нри которых энергия поля минимальна Е,=О.

Таки -решения (1.6.9) называются, используя квантовую терминологпю, вакуумными решениями. Раскладывая (1.6.8) вблизи од мого из решений (1.6.9), например ср(х) =у'р'й+т!(х, (1.6.10) нагая т((х) малым, находим в квадратичном приближении Г ж — т' с!' 1 2 с се т = '2 сце т„=')214 — масса частицы, отвечающей решению (1.6.10) (хнггсовская частица), Заметим, что исходный лаг анж ( .

'. ) симметричен относительно отражений, т. е. замен р иан . з мены зна— лучае 44 (О решение сохраняет симметрию лагранжиана, а при 44')О необходимо сделать выбор вакуумного решения (1.6.9) и соответствующего «возбужденного» решения ( .. ). ри этом симметрия исходного лагранжиана нарушается, так как решение этой симметрией уже не обладает (спонтанное нарушение симметрии).

Рассмотрим теперь комплексное поле ср=срс+(ср' и от действительной срс и мнимой ср' частей перейдем к полю ср(х) и комплексно сопряженному полю ср*(х). Соответствующий лагранжиан свободного комплексного поля У = ! д„ср !' — т» ( ср !' (1.6.1 1) действителен и симметричен относительно преобразований унитарной однопараметрической группы (7(1): ср (х) — е "'ср (х), се* (х) ес" ср» (х). (1.6.12) Унитарность состоит в том, что квадрат модуля поля при операциях группы не меняется: ( ср(х)(»=(сг'(х) !'.

1.6.12 не 1!рнменяя теорему Нетер и учитывая, что преобраз ( .'. ) не затрагивают координат, т. е. Ьх'/ба=О, с помощью о разования ( !.5.11) находим сохраняющийся ток Нетер: дД д А 1»'= — — л — ", д)»/дхн = О, ди'1 ди сне и-« — и, и". — В итоге находим так называемый электромагнитный ток Я = ~ сРх! с = ~ с1»х! ( — и — — и"') 'сди с ди' с 11ол че ученные выражения для сохраняющихся величин (1.6.13) и 11.6.141 с ве ( .. ) совершенно обшие, так как под и можно понимать многокомпонентные поля и суммировать вклад всех компонент.