Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.Ч. Жуковский - Классические поля, страница 4

!) л.,-( о ~ —,). Ит=!1 ', Л„ят=Л, ' †э преобразование ортогональных вра— оо Ф щений, принадлежит 1,+', т. е. Л„~Ь+ . 2) — ру Ву 7 Ловец О О 1 О 0 1 Это специальное преобразование Лоренца, введенное выше, ЛооаоенЬ+', заменой ()- — () оно переводится в обратное. 3) Лот-о(!ад ( — 1, — 1, — 1, — 1). Это отражение координат и времени г- — г, 1- — 1, илн РТ операция †дискретн, ЛотенА+о. 2! 4) Лг — — 6[ай(1, — 1, — 1, — 1).

Это отражение координат г- — г, или Р операция (инверсия), также дискретная операция, ЛгяЕ Ч 5) Лт=сИац ( — 1, 1, 1, 1). Это Т операция отражения времени г- — 1, дискретная, ЛтеиЕ-". Заметим, что если вектор времениподобен, т. е. х'- О, то преобразования из совокупностей Е+' и Е ', т. е. отвечающие Лбб)1, не изменяют знак временной компоненты, з[дпх'=[пч, и поэтому называются ортохронными. Рассмотрим пример специальных преобразований.

Пусть х') 0 н хб) О, тогда х' =у(хб — рх'). В силу условия х'~0 имеем хб->[х'!. В данном примере Лбе= (=(1 — рб) "б)1 и р=$7с=1 — 1»['(1. Поэтому знак х" определяется знаком х'. Таким образом, для специального преобразования Лоренца утверждение доказано.

Можно показать, что все остальные преобразования Е»' получаются из специального применением соответствующих пространственных поворотов, которые не меняют, очевидно, знака временной компоненты. Преобразования же Е ' могут быть получены из соответствующих преобразований Е+' путем инверсии, что также не меняет знак времени. Таким образом, можно считать„ что утверждение доказано в общем случае. Более строгое доказательство в самом общем виде предоставляем провести читателю (указание: необходимо определить знак х"=Л„'х" с учетом неравенств х'>О и Лб'= 1 и неравенства Коши — Буняковского). Следует особо подчеркнуть, что как общие, так и собственные преобразования Лоренца образуют группу преобразований, т. е.

группу Лоренца. Все элементы совокупности Е+' могут быть параметризованы непрерывно изменяющимися параметрами; три параметра для ортогональных вращений и три параметра для псевдоповоротов. Таким образом, собственная группа Лоренца — это шестипараметрическая группа непрерывных преобразований, или группа Ли.

Очевидно, что подгруппа пространственных вращений также является группой Ли. Для бесконечно малых, или инфинитезимальных, преобразований имеем Л»,=б „+(Х,);ба', где (Х;)"„— генераторы группы, ба' — малые изменения параметров а', 1=1,6. Запишем условие (1.3.9): Чр~(б~б+(Х~)~'б бп) (б б+(Х») б ба ) = Чоб.

Отсюда, приравнивая линейные члены, находим ([.ззз) (х)б,+(х ),=о, т. е. матрица генераторов должна быть антисимметричной. З[ь. метим, что 6 генераторов Х, можно нумеровать двумя индексами, 1 -ар (а, р=!4), так что ' (х.,),.= (х,.),. (1.3.14) и тогда останется лишь шесть независимых генераторов и параметров а"', отвечающих поворотам в плоскостях а[1=12 для 1=3, ар=23 для 1 1, а13=31 для 1 2 и псевдоповоротам в плоскостях а[1=01 для 1=4, а[1=02 для 1=5 и а[1 03 для 1 6. Хорошо известна формула Эйлера для инфинитезимальных поворотов вектора г: (1.3.15, а) бг=бфХг илн бг;=ем»бф~г» (1=1, 2, 3), (1.3.15, б) где бф=ибф, [и[=1, и — направление оси поворота, бф — угол поворота, ец» — абсолютно антисимметричный единичный тензор, нормированный условием еы»=1. Следовательно, генераторы группы трехмерных вращений О(З), являющейся подгруппой собственной группы Лоренца, можно записать в виде (Хг)1» = ец» (1.3.16) откуда очевидно, что (Х;)и» вЂ” (Х;)и.

Вводя вместо номера генератора 1 двойную нумерацию, введенную выше, т. е. 1- лтл, причем (Х „) = — (Х„„)нь можем переписать определение (1.3.16) в явном виде (Хти)А = б»оба»+ бт»бп! ° (1.3.[Т) Последнее равенство определяет генераторы подгруппы 0(3) собственной группы Лоренца Е+', удовлетворяющие в общем случае условиям (1.3.13), (1.3.14). Очевидно, что ковариантным обобщением определения (Х ) а (1 3.17) для генераторов (Х.б) „, будет равенство (Хаб)ем = Ча»Чбч +ЧачЧбб.

(1.3.18) Легко убедиться непосредственным вычислением в справедливости следующих коммутационных соотношений для генераторов группы Е+1. [Хаб Хтб ! = Чзтхаб ЧатХбб Чббхщ+ ЧабХ бт. (1.3. 19) Это равенство следует понимать в операторном смысле, т. е. здесь генераторы Х,— операторы, которые могут быть заданы в произвольном представлении. В частности, это может быть представление (1.3.18) в виде матриц 4Х4, определенных в пространстве Минковского и действующих на соответствующие 4-векторы. Скаляры не преобразуются, поэтому для них, ояевидно, все генераторы равны нулю. Бще одним нетривиальным 23 5 = ~ /. д/ = ~ (тоо/2) д/.

о о (1.4.4) (1.4.1О) Е=рч — Н, (1.4.5, а) где ч=дН/др=сзр/з. Поэтому о Е = — оо — з = — тс' ~1 — в'/с' 55 (1.4.6) $ Ь. ТЕОРЕМА Э. НЕТЕР ' ° . х — х', и (х) — и'(х'). (1.5.1) (1.4.!) Я[и(х)) = '1 Т(и, ди/дх, х)Ух„ (1.5.2) и'(х') = и' (х) + †" бх», дх» (1.5.4) Для релятивистской частицы, как было показано выше, имеем. сро = е = = 3/тос5+ с'ро О5ОО )/1 — оо/со и в нерелятивистском приближении находим е ж тс'+ ро/2т.

Здесь второе слагаемое представляет собой функцию Гамильтона нерелятивистской частицы. Обобщая на релятивистский случай, положим Н = ф'"т'Со -1- коро (1.4.5) — функция Гамильтона. Тогда функция Лагранжа по оцределению будет равна — функция Лагранжа релятивистской частицы. В нерелятивистском пределе о/с« 1 находим Е ж — тс'+ тио/2. Здесь второе слагаемое совпадает с функцией Лагранжа не- релятивистской частицы, равной ее кинетической энергии, а первый член — энергия покоя (внутренняя энергия) частицы с обратным знаком. Используя выражение (1.4.6) для функции Лагранжа, запишем действие ! 5 5= ') Ес(/= — тс' 1~1 — оо/со!11= — тсо '1 с/т= — тс 1 сЬ= 1пч. о о о ь Как видно, действие является релятивистским инвариантом, так как выражается через интеграл от инвариантного собственного времени.

В динамике частиц вместо лагранжева описания их движения можно применять гамильтонов метод на основе введения новых (канонических) переменных вместо г и ч=дг/дг и новой функции вместо функции Лагранжа г, ч, Е = Е (г, ч) - г, р, Н = Н(г, р)= чр — Е, (1.4.8)5 где Н вЂ” функция Гамильтона, р=дЕ/дч — канонический импульс (см. выше (1.4.5, а) ). Точно так же и в теории поля мож- но перейти к гамильтоиову описанию, заменяя переменные поля и лагранжиан: о)х, 7т(л(х), до)л/д/, Х = Х (т1', Чт~", до)х/д/) — Ч" 5~т~х и" ,Р~ = Я (о)х, Ътуо, ил) = — (дт('/д/) и' — Х, (1.4.9) где Ж вЂ” плотность гамильтоновой функции поля (гамильтоннан): Н 1 дохУ которая представляет собой энергию поля, а „х дч/дЧ,А (1.4.1 1) является плотностью канонического импульса поля.

Таким образом, в теории поля, как и в теории частицы, производные по времени т(",! исключаются с помощью преобразования Лежандра н перехода к новым переменным пх. Легко проверить, что в канонических переменных т1», чпл, пх уравнения поля, эквивалентные ура!виениям Лагранжа, таковы: 5 Ьо д Дт дЗ5т Ч,! = —,,= — — "ч —, ьп ь," ьч," (1.4.12) и !5 — — — х — — х-+7 ьч" ач' ачч" ' Рассмотрим более подробно вопрос об инвариантности относительно непрерывных преобразований в теории поля. Пусть в результате некоторого непрерывного преобразования, принадлежащего группе Ли, преобразуются 4-векторы координат и Функции поля: Рассмотрим функционал действия где область интегрирования Я произвольна.

Введем понятие локальной вариации би(х), связанной с преобразованием формы функции и(х) — «и'(х) = и(х)+Ьи(х). (1.5.3) Поскольку то т ( ~~-) Здесь (1.5.9) ба['х = а'х' — й'х, где ах=~ — '," ~а'. Якобиан перехода равен (1.5. 7'г би би = — бйа ЬЪи где еи ~аах гах1 1+ дбхи дхи Ьх" Ьи так называемый ток поэтому (1.5 ба ба[ах — Ф».

дбх" дхи Здесь даи~ а[ах — ' = ~ а[о„.[", = О. дх" г (1.5.13)» для полной вариации получим би (х) = и' (Х) — и (х) = би (х)+ — „бхи. (1.5.5)~ Предположим, что действие инвариантно относительно преобразований (1.5.1) 5 [и'(х')[=Я[и (х)[=!пт, (1.5.5); т. е. Ьо=О. Найдем явный вид вариации действия 68 = ~ [(6~[ах) Я -[- а[ахб~]. а Используя тождество 1г 1п А =1и бе1 А '((г — символ следа матРицы), запишем ! — '"' = — ~=е' ам(ахчах1 ео1им.чах1 дх Теперь займемся вторым слагаемым в (1.5.7): ЬХ= У ~и' (х'), —, х') — У~и(х), —, х)= дх' ' ) ~ ' дх ' = бЖ + — бхи. дх" бЖ = — би+ — би „= — би+ — — „би= — д2' — дЯ вЂ” дУ вЂ” дЯ д аи ди т " аи д , ахи Если поле удовлетворяет уравнениям Лагранжа ЬЯ дя' д д.У вЂ” = — — — — =О, би ди дх" д",и Полная вариация 62'=бй-[-д„2'бх". Таким образом, для ва- риации действия получим ы=[ю*~х — ~.