Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.Ч. Жуковский - Классические поля

ББК 22.31 Г17 УДК 530.12 Рецензенты: ОГЛАВЛЕНИЕ 4 5 6 6 12 18 24 27 30 37 37 Печатается но постановлению Редакционно-издательского совета Московского университета 42 45 1604030000(4309000000) †1 Г 95 — 91 ББК 22.3$ 077(02) — 91 1$ВХ 5 — 211 — 01587 — 8 © Издательство Московского университета, 1991 г. доктор физ.-мат. наук В. Н. Пономарев, доктор физ.-мат. нзук В. Н.

Родионов Гальцов Д. В., Грац Ю. В., Жуковский В. Ч. Г17 Классические поля; Учеб. пособие. — М,: Изд-во МГУ, 1991. — 150 с. !5ВХ 5 — 211 — 01587 — 8. Пособие представляет собой введение в современную классическую теорию полн. Изложены вопросы структуры пространства-времени, общие принципы описания полей в классической теории, рассмотрены нелинейное скалярное поле, основы хласснческой электродинамики, принципы теории калибровочных полей.

Большое внимание уделено современным методам и подходам, имеющим широкие выходы в различные области теоретической физики. Для студентов, специализирующихся з области теоретической физики, а также научных работников, интересующихся современнымв ' методами теории поля. Обозначения Предисловие Гласи Л Общие принципы классической теории поля $1. Преобразования Лоренца $2. Релятивистская кинематика $3. Общие преобразования Лоренца 4, Вариационный принцип 5. Теорема Э. Нетер $6. Скалярное поле Глава П.

Электромагнитное поле $1. Уравнения Максвелла $2. Действие для системы, состоящей нз зарядов н электромагнитного поля $3. Ураннение движения заряженной частицы в электромагнитном поле $4. Вывод уравнений Максвелла нз принципа наименьшего действия $ 5. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля, 6. Теорема Умова — Пойнтннга 7. Постоянное электрическое поле 8.

Постоянное магнитное поле 9. Электромагнитные волны~ $10. Функции Грина волнового уравнения $11. Запаздывающие потенциалы $12. Излучение электромагнитных волн заряженной частицей $13. Сила радиационного трения. Уравнение Днрака — Лоренца Главе ПЕ Поля Янга — Миллса 1. Скалярная электродинамика 2. Неабелева калибровочная группа 3. Самодуальные поля Янга — Миллса 4. Спонтанное нарушение симметряи 5. Монопольные решения уравнений Янга — Миллса $6.

Уравнения Вонга Глава 1$'. Гравнтации $1. Гравитационное поле в релятивистской теории 2. Линейная теория свободного безмассового поля спина два 3. Взаимодействие с материей $4. Гравитационное поле и метрика пространства-времени $5. Калибровочная ннвариантность и кривизна $6. Уравнения Эйнштейна Литературо 5! 52 55 '58 61 63 66 73 75 79 85 85 88 92 94 98 106 114 114 117 125 130 140 144 150 ОБОЗНАЧЕНИЯ Латинские индексы й 1, й и т. д. нумеруют три пространственные координаты х, у, а илн 1, 2, 3, Греческие индексы а, р, ( и т.

д. пробегают четыре пространственно-временные координаты 1, х, у, в, или О, 1, 2; 3. Метрика пространстваМинкозского и"'=б1ап(1,— 1,— 1,— 1). Метрика риманова пространства обозначается дг'". д Частная производная обозначается —, д„или,р. дхэ П = — — Ь вЂ” оператор Даламбера. дг дгг дг дг дг Ь = — + — + — оператор Лапласа дхг дуг дгг х"=(г, г) — координаты события в четырехмерном пространстве-времени. Почти всюду в книге скорость света; принята равной единице.

ПРЕДИСЛОВИЕ Книга написана на основе курсов лекций, которые авторы в течение ряда лет читали для студентов Московского университета. Она представляет собой введение в современную классическую теорию поля, знание которой необходимо для дальнейшего изучения методов релятивистской квантовой теория полей и частиц. В ней затрагиваются вопросы структуры пространства-времени, общие принципы описания полей в классической теории, основанные на методах Лагранжа и Гамильтона, а также методах теории групп. В книге рассмотрены осно. вы классической электродинамики, теории калибровочных пох лей и теории гравитации.

В отличие от существующих книг, посвященных классической теории поля, в предлагаемом учебном пособии уделено большое внимание современным методам н подходам, имеющим широкое применение в различных областях теоретической изики.'С общих позиций рассматриваются различные функции рина классических полей, на основе общих требований реля.

тивистской и калибровочной инвариантности вводятся такие интегралы классических полей, как теизор энергии-импульса, момент поля, ток н т. д. Релятивистски инвариантным образом рассматривается проблема излучения в классической электродинамнке, исследуется торможение излучения. Специальная глава посвящена полям Янга †Милл, в которой, в частности, рассматриваются такие вопросы, как спонтанное нарушение симметрии, монопольные решения в теории неабелевых полей, а также уравне ния для классической неабелевой частицы, движущейся во внешних полях Янга — Миллса.

Изложение теории гравитации существенно отличается от имеющегося в учебной литературе. Показано, как попытки построить теорию гравитационного поля в пространстве Минковского приводят к концепции риманова пространства событий и геометрической интерпретации гравитационного взаимодействия. Настоящая книга может служить введением в теорию классических полей и, как надеются авторы, быть полезной как студентам, специализирующимся в области теоретической физики, так и специалистам, интересующимся этой областью. Глава 7 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ $ и ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА Как классические поля, так и объекты классической механики представляют собой динамические системы, эволюционирующие во времени в трехмерном конфигурационном пространстве. Прежде чем изучать движение таких систем, необходимо, очевидно, познакомиться со структурой пространства и времени, в которых разворачиваются все события.

Основным законом, определяющим движение механических систем в рамках ньютоновской механики, является второй закон Ньютона. Математически он формулируется в виде уравнения движения для точки массы т, положение которой в моМент времени 1 определяется радиусом-вектором г: ~Ь т — =Г, ш (1.1.1) (1.1.2) При этом принимается, что как в новой, так и в старой системе отсчета время течет одинаково, т. е.

Г=й Это означает, что ча- где э=Йг/гй. Здесь сила Г представляет собой, вообще говоря, функцию координаты г, скорости э и времени М Г=Г(г, ч, Г). Это уравнение инвариантно (т. е. не меняет своего вида) относительно преобразований, называемых преобпазоваииями Галилея. Указанная инвариантность лежит в осяюве принципа относительности Галилея (1632), который форМулируется следующим образом. Все механические явления протекают одинаково в системах отсчета, движущихся относительно друг друга прямолинейно и равномерно, т. е. в различных ивера(иальных системах отсчета. Напомним, что факт существовайия в природе таких инерциальных систем отсчета постулируется в первом законе Ньютона, который в отсутствие внешних воздействий гарантирует физическому объекту прямолинейное н равномерное движение.

Переход от одной инерциальной системы отсчета К к другой К', движущейся относительно К со скоростью У=сопз1, сопровождается, как известно, преобразованием радиуса-вектора г- г', где г' определяется равенством г' =г — И. нэ' ~ь ш ш (1.1.4) Принимая теперь согласно опытным данным, что при преобразованиях (1.1.2), масса т и сила Г инвариантны, т. е. го= =пг'=1пч, Г=Г'=1пч, и учитывая равенство ускорений (1.1.4), получим, что уравнение второго закона Ньютона в штрихованной системе К' , йч' т' — = Гч й и уравнение в исходной системе (1.1.1) имеют один и тот же вид и, очевидно, следуют одно из другого, т.

е. оказываются инвариантными относительно преобразований Галилея. Это утверждение и лежит в основе принципа Галилея. Подчеркнем, что принцип относительности Галилея действует лишь в рамках ньютоновской механики. Переходя к элект родинамическим явлениям, таким, например, как распространение света, представляющего собой электромагнитные волны, мы сразу же увидим, что этот принцип нарушается.

Как показали многочисленные эксперименты, скорость распространения электромагнитных волн и, в частности, света ие зависит от скорости движения источника волн. Таким образом, закон сложения скоростей (1.1.3) для света оказывается ие справедливым. Поэтому, если мы хотим понимать принцип относительности в более широком, чем это делал Галилей, смысле, т. е. обобщая его на электродинамику, приходим к необходимости обобщить и соответствующие преобразования. Последовательно этот вопрос был решен в 1905 г. А. Эйнштейном, который выдвинул физический принцип относительности, обобщающий принцип относительности Галилея и справедливый для всех физических процессов. Этот принцип А.

Эйнштейн положил в основу созданной им специальной теории относительности (СТО), или релятивистской теории. Физический принцип относительности состоит из следующих двух постулатов. сы в обеих системах, синхронизированные в начальный момент, и в дальнейшем всегда показывают время одинаково, независимо от того, как движется система, т. е. время по предположению носит абсолютный характер. Уравнение (1.1.2) вместе с условием неизменности хода времени и представляют собой преобразования Галилея. Продифференцируем вектор г', определяемый уравнением (1.1.2), по времени. В результате приходим к известному в механике закону сложения скоростей ч' =ч — У. (1.1.3) После дифференцирования последнего соотношения по времени с учетом постоянства скорости У получаем равенство ускорений Тогда условие (1.1.11) сведется к требованию сг!г — хг=сг!' — х' =!пч, г г (1.1.12) удовлетворить которое можно линейным преобразованием х' = х сЬ <р — с! зЬ <р, с!' = — х зЬ <(> + с! сЬ <г, (!.1.13) представляющим собой гиперболический поворот, или псевдо- поворот, в плоскости (х, с!), т.

е. поворот на мнимый угол «р=,!<р. При этом значению У=О соответствуют <р=О и х' х, !'=й Связь параметра <р и скорости У устанавливается следующим образом, Рассмотрим начало координат системы К', т. е. точку х'=О. Для нее согласно (1.1.13) имеем х=с!!Ь<)>.