Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.Ч. Жуковский - Классические поля, страница 10

Заметим, что если интересоваться только интегральными характеристиками поля, подобными 4-вектору энергии-импульса, то неоднозначность в определении тензора энергии-импульса не приводит к каким-либо осложнениям. Ситуация существенно меняется при попытках последовательного учета гравитационных эффектов, поскольку тензор энергии-импульса является источником в уравнениях гравитационного поля (см. гл. 1Ч). В классической теории гравитации Т"" определяется как вариационная производная действия для материи 5 по метрике фю.' преобразовать левую часть равенства (2.6.11) следующим образом: — ~~~ ~р = '»" гз (Е(г )+ [я,Н (гз))) = ~((зх (РЕ+ []Н]).

Из полученного соотношения видно, что в статическом поле поток тензора натяжений через поверхность, ограничивающую объем, дает полную силу, действующую на частицы в объеме. й 7. ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В этом и двух последующих параграфах мы рассмотрим некоторые частные решения системы уравнений Максвелла.

Начнем со случая постоянного поля, т. е. поля, которое от времени не зависит. В статическом пределе система уравнений (2.1.1) †(2.1.4) распадается на две независимые пары уравнений, содержащих только электрическое или только магнитное поле. Система уравнений для постоянного электрического поля имеет вид (])ч Е = 4 яр, го1 Е = О. (2.7.1» В статическом случае не только поля, ио и потенциалы можно считать не зависящими от времени, поэтому соотношение (2.1.19) приобретает вид Е = — ига(] (р. (2.7.2) Из последнего равенства следует, что электростатический потенциал Ч)(г) можно представить в виде интеграла (г) (р(г) = — ) Е(]1 (гз) вдоль некоторого контура из произвольным образом выбранной точки гз в точку г.

В силу второго из уравнений (2.7.1) этот интеграл ие зависит от пути, т. е. Ч)(г) — это действительно функция точки. Мы видим, что электростатический потенциал определен с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Это то, что осталось от калибровочной инвариантности в рассматриваемом случае. Уравнение, которому удовлетворяет потенциал (р(г), мы получим после подстановки (2.7.2) в первое из уравнений (2.7.1): Ьр = — 4лр. (2.7.3) Оно называется уравнением Пуассона. В частном случае, когда в рассматриваемой области пространства плотность заряда равна нулю, это уравнение превращается в уравнение Лапласа бр=о. (2.7.4» Рассмотрим решение уравнения Пуассона, когда распределение заряда задано во всем пространстве и функция р(г) достаточно быстро убывает иа бесконечности.

Прежде всего построим функцию Грина уравнения (2.7.3), которую мы определим как решение уравнения Пуассона с 6-образной правой частью: (1(г (г — г') =- — 4пбз (г — г') (2.7.5) (мы еще вернемся к вопросу о функциях Грина в $ 10). Стоящая в правой части уравнения (2.7.5) 6-функция Дирака определяется требованием, чтобы для любой непрерывной в окрестности нуля функции 1(г) выполнялось равенство ~ [(г) бз(г — а) г(зх=)'(а). (2.7.6) Выполняя в (2.7.5) линейную замену переменных г- ]г= =г — г' и переходя к сферической системе координат, получаем — — []гз — ) = — 4чбз(В). 1 (( / (((з ( (2.7.7) я а~ а) Интегрируя обе части равенства (2.7.5) по объему шара радиуса Р и принимая во внимание определение (2.7.6), приходим к уравнению интегрируя которое, находим рД) = — '+с.

Л (2.7.8) Решение (2.7.8) представляет собой потенциал электростатического поля, создаваемого единичным точечным зарядом. Как и должно быть, он определен с точностью до постоянной. Обычно эту постоянную выбирают равной нулю, с тем чтобы потенциал обращался в нуль на бесконечности. Таким образом, решение уравнения (2.7.5), удовлетворяющее условию обращения в нуль на бесконечности, имеет вид 6(г — г') = 1 1г — г'] (2.7.9) Знание функции Грина позволяет записать решение гуравнения (2.7.3) в виде интеграла: (р(г) = ~ б(г — г') р(г')((зх'. (2.7.10) (Выше мы предположили, что функция р(г) быстро убывает на бесконечности, так что интеграл сходится).

Действительно, применяя к обеим частям равенства (2.7.10) оператор Лапласа, используя уравнение (2.7.5) и равенство (2.7.6), мы получаем, что функция (2.7,10) действительно удовлетворяет урав- 59 нению (2.7.3). Подставляя в (2.7.10) функцию Грина (2;7.9)„ окончательно получаем Р(" ) (2.7. 11г !р(г)= — + — + — ' ' +... 4 (дг) 1 !);ьг;хг, г гз 2 Р (2.7.1 3)! Здесь использованы следующие обозначения: д = ) р (г) СРх — полный заряд сиетемы, д = ') гр (г) гРх — вектор дипольного момента, О!ь = ~ Р (г) (Зх!хь — г!6га) гРх — тензор квадрупольного момента системы зарядов.

Заметиьг„ что след тензора 17!ь равен нулю. 60 ч() )г — г'1 Подчеркнем еще раз, что формула (2.7.11) дает решение уравнения Пуассона, если плотность заряда задана во всем пространстве и интеграл сходится. В тех случаях, когда распределение зарядов известно только в ограниченной области пространства, единственность решения обеспечивается заданием значения потенциала или его нормальной производной на границе области. Интеграл (2.7.11) может быть вычислен аналитически в относительно небольшом числе случаев.

Это определяет важность. приближенных методов, позволяющих получить выражение для потенциала !р(г) при достаточно общих предположениях о»оведении функции р(г). Пусть заряд распределен в ограниченной области пространства. Получим приближенное выражение для электростатического потенциала в точках, отстоящих от системы зарядов на расстояния, существенно превышающие ее размер. Выберем начало отсчета внутри системы. Так как прн сделанных предположениях г.з г', разложим функцию )г — г'~ ' в ряд Тейлора в точке г. Получим !г — г) г Р 2 Воспользуемся тождеством х'!х'ь (Зх!хь — габгк) = х!хь 1!Зх'!х'ь — г'~6!ь). Тогда, подставляя (2.7.12) в (2.7.11), мы приходим к следующему выражению: Разложение (2.7.13), которое называется разложениеья электростатического поля по мультиполям, позволяет свести вычисление потенциала гр(г) к вычислению полного заряда, дипольного, квадрупольного н т. д.

моментов. Главный член разложения совпадает с потенциалом точечного заряда. Если система электронейтральна, то ее потенциал убывает, по крайней мере, как г-', и тем быстрее, чем выше симметрия в распределении заряда. й 8. ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ Система уравнений, которым удовлетворяет постоянное. магнитное поле Н, имеет вид го! Н = 4я), б)ч Н = О. (2.8.1) Как и в общем случае, второе уравнение системы позволяет представить Н в виде ротора некоторого нового векторного поля — векторного потенциала: Н= (А. (2.8.2). Подставляя (2.8.2) в первое уравнение (2.8.1), мы получаем ЛА — игаса (б)ч А) = — 4п).

(2.8.3): В магнитостатике калибровочная инвариантность электродинамики выражается в инвариантности напряженности магнитного поляготносительно градиентных преобразований потенциала: А — А' = А + ягаб !'. Имеющийся произвол в выборе векторного потенциала позволяет подходящим градиентным преобразованием обратить в нуль.

его днвергенцию: г) (ч А =. О. (2.8.4) Для этого необходимо в качестве функции )' взять одно из решений уравнения: Л! =- — 6)ч А. Из (2.8.3) мы видим, что при наложении дополнительного условия в форме (2.8.4) векторный потенциал становится решением.

уравнения Пуассона (2.8.5~ Поэтому, используя результаты предыдущего параграфа, мьг можем записать его решение в виде (г) ~ 1(г ) СРх (2.8.6) ,) )! — ') Выражение (2.8.6) является решением уравнения (2.8.5) в тех случаях, когда плотность тока 1(г) задана во всем пространстве (предполагается, что интеграл сходится). 6! На первый взгляд решение (2.8.6) ничем не отличается от. т!ешения аналогичной электростатической задачи (2.7.11).

Од-„ нако это далеко не так. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим., случай, когда плотность тока г(г) отлична от нуля в ограниченном пространственном объеме, и исследуем асимптотиче-' ское поведение решения (2.8.6) на больших расстояниях. Прежде всего обратим внимание на то, что уравнения маг. нитостатики содержат в себе условие стациоиарности токов: б(ч1=0. (2.8.7) Чтобы в этом убедиться, достаточно применить операцию взятия дивергенции к первому уравнению системы (2.8.1) и воспользоваться тождеством д)ч (го1 Н) = О.

Из условия стационарности токов следует равенство 1ь = 61ч (хь1). (2.8.8) Это проверяется непосредственным дифференцированием с использованием (2.8.7). Интегрируя обе части соотношения 12.8.8) по некоторому объему в трехмерном пространстве и применяя к интегралу в правой части теорему Гаусса, полу- чаем '!1 о'х = Ух )!(з. (2.8.9) Вернемся к нашей задаче и рассмотрим асимптотическое поведение интеграла (2.8.6) на расстояниях, больших по сравнению с размерами области пространства, занятой токами.

Разлагая подынтегральное выражение по обратным степеням г и ограничиваясь первыми двумя членами разложения, мы получим А (г) = — ч 1(г') г(ах' + — ~ (!т') 1(г') оэх'. (2.8.10) ' г гз А(г) = гз ! Р 1!= — 1 (г)) гРх. 2,) Эту величину называют магнитным дипольным моментом. Первое слагаемое вследствие (2.8.9) равно нулю. Таким обра-, .зом, векторный потенциал на больших расстояниях убывает ао крайней мере как г-'. Это можно интерпретировать как факт отсутствия магнитных зарядов.