Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.Ч. Жуковский - Классические поля, страница 8

Это значит, что соответствующее слагаемое в выражении для лагранжиана может быть отброшено. Таким образом, для того чтобы действие было калибровочно ннвариантным, необходимо и достаточно обращение в нуль третьего слагаемого в правой части (2.2:8). В силу произвольности функции 1'(х) это эквивалентно требованию обращения в нуль дивергенции (ь(х): д„)р(х) = О. В предыдущем параграфе было показано, что это соотношение действительно выполняется в классической электродинамике и выражает собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, в теории, описывающей электромагнитное поле и взаимодействующие с полем заряженные частицы, оказались тесно связанными два на первый взгляд совершенно различных явления: свойство калибровочной ннвариантности электромагнитного поля и закон сохранения электрическбго ~аряда.

Мы еще вернемся к этому вопросу в главе, посвященной калибровочным полям. й а. РРАВнениедВижения'зАРяженнОН чАстицы В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ Прежде чем перейти к варьированию действия (2.2.1) по координатам частицы, преобразуем выражение для 5рр' к более удобному виду. Воспользуемся явным выражением для тока )э(х) (2.1.13). Подставляя (2.1.13) в (2.2.6) и выполняя интегрирование по х, мы получаем 5рр= Хга ( Ар(х)ахра (2 3.1) При нахождении уравнения движения мы варьируем координаты частицы, при этом электромагнитное поле считается заданным.

Поэтому членом 5р в выражении для действия (2.2.1) можно пренебречь, н мы имеем 5=~~ ( — т,дз,— е,Ардхр,). (2.3,2) В формуле (2.3.2) интегрирование ведется вдоль мировой линии а-й частицы между двумя фиксированными мировыми точками. Вариация действия (2.3.2) имеет внд 68 = Х ~ ( таймаза е~Азб дх~"а еабАи1(хи~). Далее, поскольку аЪ = (дх„дх") ы', Ехаоехи биз = — = и„64хз, ез (2.3.3) 65 = ~~~~~~(т~ еаР~пи а) бра дза (2.3 В соответствии с принципом наименьшего действия мн должны потребовать обращения в нуль вариации (2.3.5).

В силу произвольности бх," это приводит к следующему уравнению (индекс и отброшен): еи„ т — =еРз и . ез (2.3,6) Полученное уравнение представляет собой уравнение движения частицы в явно релятивистски инвариантном виде. По сути дела, оно объединяет в себе четыре уравнения, соответствующие четырем возможным значениям свободного индекса Эти уравнения не являются независимыми, одно из них является следствием трех оставшихся. Это можно обнаружить, если свернуть обе части равенства (2.3.6) с вектором четырехмерной скорости й.

При этом левая сторона обратится в нуль в силу ортогональности 4-векторов й и дй/<Ь, а правая †вви антиоимметричности тензора поля Р„„. Мы можем придать уравнению движения вид, наиболее близкий к ньютоновской теории. Для этого перейдем в '(2.3,6) где й=дх"/е(з — четырехмерная скорость частицы. Воспользовавшись этим соотношением и переставляя операции взятия вариации и дифференцирования, проинтегрируем по частям первые два члена в (2.3.3).

Получим 65 =;р ( — т,и'„— е,А,,) бхи, ]+ (2.3А) +.~~ ] (т,и(иа бх~', +е~дАибхи,— еабАч дх" ) На границе области интегрирования бх,"=О, поэтому вненитегральный член в (2.3.4) обращается в нуль. Преобразуем подынтегральное выражение, воспользовавшись соотношениями ди = — "дз, дА„=и"д,Аьдз, и бА, = даА,бха. В результате выражение для вариации действия приобретает вид к дифференцированию по лабораторному времени с помощью соотношения дз = (1 — о')и' сЫ и воспользуемся стандартными обозначениями для релятивистских энергии и импульса: и ОНГ ')71 — ~Р ']7 1 — й Мы получаем, что уравнение (2.3.6) эквивалентно следующим четырем уравнениям: мы убеждаемся, что уравнение, определяющее изменение кинетической энергии, есть следствие уравнений движения.

В заключение этого параграфа рассмотрим простейшие случаи применения уравнений (2.3.6), (2.3.7) для нахождения закона движения частицы во внешнем поле. а) Гиперболическое движение Рассмотрим движение заряда е в постоянном однородном электрическом поле.

Предположим, что в начальный момент времени частица покоилась, и примем направление поля за положительное направление оси х. В рассматриваемом случае уравнение движения (2.3.6) сводится к системе двух линейных дифференциальных уравнений: Ерх еЕ РО ~Ь т дй еŠ— = — Р'. ее е (2.3.8) — = еЕ+ е (чН], Ир (2.3.7) — = е (чЕ). Ж Первое из полученных уравнений является собственно уравне- нием движения.

Стоящее в правой части этого равенства вы- ражение по определению представляет собой силу, действую- щую на заряженную частицу во внешнем электромагнитном поле. Оно совпадает с известным из опыта выражением для силы Лоренца. Второе уравнение описывает изменение со вре- менем кинетической энергии частицы, оно определяется работой сил электрического поля. Магнитное поле работы не ~произво- дит, так как магнитная сила всегда ортогональна скорости частицы.

Как уже отмечено, уравнения (2.3.7) не являются незави- симыми. Действительно, умножая обе части уравнения движе- ния (2.3.7) скалярно на ч и воспользовавшись равенством ир ие ч — = —, ш Й' 47 Выберем начало отсчета собственного времени так, чтобы. в=о соответствовало моменту 1=0 лабораторного времени. Пря этом начальные условия принимают вид р1 (0) 0 ро (0) = т. (2.3.9) Выпишем в явном виде квадрат 4-импульса" частицы (ре)2 (р1)2 т2 Из этого равенства следует, что решение системы уравнений (2.3.8) следует искать в виде ро (в) = — т с)2 <р (в) р" (в) = т в)1 юр (в), (2.3.10) причем функция ер(в) должна удовлетворять начальному условию (2.3.11) р(о) =о.

Подставляя (2.3.10) в (2.3.8), мы получим еЕ р' (в) = —. Решение этого уравнения с учетом начального условия (2.3.11» имеет вид еЕ р(в) = — ' Таким образом, для ненулевых компонент 4-нмпульса мы получаем следующие выражения: р'=т — = той — в, ~М еЕ (2.3.12» р =т — =шва — в. оо т Повторное интегрирование этих уравнений дает т еЕ 1= — вЬ вЂ” в, (2.3.13) Х = — С)2 В. еЕ т Для простоты мы выбрали начальные условия таким образом„ чтобы в начальный момент времени частица находилась в точ- ке с координатой х(0) =т)еЕ. Из полученных результатов следует очевидное равенство Г и 12 х (в)' — 1 (в)' =— Оно позволяет найти зависимость координаты частицы от ла- бораторного времени: еЕ2 12!2 (2.3.14) Дифференцируя это равенство, получаем зависимость скорости частицы от времени: Мы видим, что, если время, прошедшее с момента начала движения, мало по сравнению с характером времени (о — — т/еЕ, перемещение частицы пропорционально го и закон движения такой же, как в иерелятивистской теории.

При больших временах х(1) асимптотически приближается к линейной функции. а скорость — к скорости света. Вычислим ускорение частицы в сопутствующей системе отсчета. Поскольку частица совершает движение, вдоль поля, переход в 'сопутствующую систему отсчета не приведет к изменению Е (см. $1). Это значит, что ускорение в сопутствующей системе совпадает с ускорением в исходной системе отсчета, вычисленным в момент времени 1=0, когда частица покоилась. При 1=0 е(в=И, поэтому из (2.38) мы получаем для ускорения шо. еЕ Ы о= т б) Движение в постоянном однородном магнитном поле Движение заряда в постоянном однородном магнитном поле описывается системой уравнений — =- е (чН).

кр Й (2.3.15» В этом случае уравнение, описывающее изменение со временем кинетической энергии частицы, имеет особенно простой вид. — =- О. (2.3.16). О1 Оио говорит о том, что действие магнитного поля сводится к изменению направления движения заряда и не сопровождается совершением работы. Переходя к интегрированию системы (2.3.15), вспомним,.

что из определения релятивистских энергии и импульса следует соотношение (2.3.1?) р=еч, где ч — трехмерная скорость частицы. Таким образом, рассмотренное движение характеризуется постоянным ускорением в сопутствующей системе отсчета. Такое движение носит название релятивистского равноускоренного движения. Подставляя (2.3.17) в (2.3.15) и учитывая уравнение (2.3.16), мы получаем — = — [УН). (2.3.18) е! о Выбираем декартову систему координат с осью г, направленной вдоль вектора Н, получим систему уравнений орк орр — = Вирр, о! ' о! — = — О>по« (2.3.19) — =О, »и »! где вн еН!е — циклотронная частота.

Последнее уравнение говорит о том, что проекция скорости на направление магнитного поля постоянна и х(!) =хо+ "ок!' (2.3.20) Чтобы найти зависимость от времени двух других координат частицы, умножнм второе нз уравнений (2.3.19) на 1 и сложим ,с первым, получим (Ок+ !Ор) = !ВН (Ок+ ! Ор) о! откуда Записывая комплексяую постоянную С в виде С=ОО. Е-Р и отделяя в (2.3.21) вещественную и мнимую части, получаем О (!) = Оо „соз (вн!+ а), Ор (!) = — Оо 5)п (внг+ а). Постоянная а является начальной фазой и вместе с Оо опре- деляется из начальных условий.

Интегрируя (2.3.22) еще раз, находим зависимость от вре- мени координат частицы х(!)=х,+Р„~ 51п(внг+а), У(!) =Уо+Я~ соз(вн!+а), (2.3.23) (2.3.22) ХДЕ Вк=оо„/Вн. .50 О,+ !Ор — — Се (2.3.21) Из этого равенства следует, что модуль постоянной интегрирования С совпадает с абсолютной величиной скорости частицы в плоскости, перпендикулярной полю: )С~= У'Ор +Оор — — Оо . Из (2.3.20) и (2.3.23) следует, что в постоянном однородном магнитном поле заряд движется по винтовой линии с постоянной скоростью О,, вдоль направления поля и с радиусом !т в плоскости, перпендикулярной полю.

й 4. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ИЗ ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ При нахождении уравнений поля из принципа наименьшего действия движение зарядов, т. е, распределение источников !"(х), считается заданным. Поэтому вариация второго слагаемого в (2.2.1) равна нулю, н мы имеем Ы = — ~( — Р»"6Р „+ !»6А») Н'х. (2.4.1) При вычислении вариации (2.4.1) мы воспользовались возможностью перестановки операций варьирования и интегрирования я соотношением 6 (Р„„Р»") = 2Р»«6Р„, Используя соотношение, связывающее тензор электромагнитного поля с 4-потенциалом: Р».=А«,» — А»,« и антисимметричность тензора Р„., мы получаем Р»«6Р „= — 2Р»чбА» Меняя порядок выполнения операций дифференцирования и варьирования, приведем первое слагаемое в подыитегральном выражении в (2.4.1) к виду Р»'6Р»«= 2(Р»«6А») «-) 2Р»« „6А» (242) Интеграл по 4-объему от дивергенции даст нуль, так как вариация 6А„(х) на границе области интегрирования предполагается равной нулю.