Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.Ч. Жуковский - Классические поля, страница 3

Согласно этой формуле звезда, находящаяся в данный момент в зените, видна вследствие движения Земли под углом, несколько отличающимся от и/2. В случае ультрарелятивистских скоростей У с, т.е. ! — р'« «1, согласно (1.2.13), (1.2.14) имеем 8'- и, т. е. при движении наблюдателя со скоростью, близкой к,скорости, света, практически все звезды (кроме тех, которые находятся строго позади, О=я) видны находящимися впереди по движению наблюдателя.

Точно так же если источник движется со скоростью У с, то излучаемый им свет собирается впереди в узком конусе с осью вдоль направления движения и с раствором АО -г'1 — Вв, Этот своеобразный «прожекторный эффект» является характерным признаком излучения частиц высокой энергии. г) Эффект Доплера. Рассмотрим теперь изменение частоты света за счет движения источника — эффект Доплера. Заметим, что частота света в, как и его волновой вектор К является характеристикой плоской моиохроматической волны (см. ниже). Частота связана с периодом Т волны соотношением в=2п/Т, а волновой вектор к указывает направление распространеинвв волны п=К/!к! и связан с ее длиной волны Х соотношением л=!)в) = — = —, Подобная волна математически описывается функцией вида (см. ниже) А (г, /) 4«г — !в!в- лвв ьо — Вав А' = УГ: рт' Пусть а' (в/с) сова, т.

е. источник движется вдоль осн х, а луч света идет к наблюдателю под углом а к оси х. Тогда в' в/в — В (в/в) сова с уà — Во Естественно определить частоту излучения источника в системе его покоя, т. е. в', как собственную частоту источника: во в' — инвариантная величина.

Итак, окончательно находим 3~1 — В* 1 — В сов а во (1.2.17) — частота излучения, видимого под углом а к иаправленияэ движения источника..Если В«1, т. е. У«с, то из (1.2.17) имеем в ж(1+В ссз а) в„. Фаза волны в! — йг, от которой по существу зависит эта функция, должна быть релятивистским инварнантом, так как в при» тинном случае это противоречило бы принципу относительности СТО (забегая вперед, скажем, что этот вывод является следствием релятивистской ннвариантности уравнений Максвелла). Поскольку в/ †'кг=(пч, то в вместе с вектором к, подобно в и г, должны образовывать 4-вектор й=( — ", й), (1.2.16) 1с имеющий нулевую длину (изотропный вектор), кв= (в/с) в, т.

е. й'=О. Теперь мы можем применить к 4-вектору /в преобразования Лоренца. Если источник, с которым связана система отсчета, движется со скоростью У, то для йв в'/с и хо=в/с имеем При соз а~О (наблюдение ведется навстречу движения) час.- тота увеличивается, а при сова -0 (наблюдение вдогонку источника) частота уменьшается. При а=и/2 в=в»И — Р т. е. частота также уменьшается. д) 4-скорость и 4-импульс. Как видно из формул сложениво скоростей (1.2.10), (1.2.11), скорость с не является компонентой 4-вектора. Определим 4 вектор й=в(х"/в(з с компонентами Лхо ст 1 ив = — = — = ов дв '$/! — ов/вв ' охв вхв ов и' — —— мачт:в!х (1.2.1 8)) и т. д., т. е. 1 о Ясно, что иов нв (ив)в 1 или тч (1.2.21), УТ вЂ” Вв Пусть о«с, тогда, раскладывая в ряд, запишем сро ж тс'+ то'/2+ ..

С точностью до константы эта величина представляет собой иерелятнвнстскую кинетическую энергию частицы. Постоянное слагаемое тс' есть внутренняя энергия частицы, т.,е. так. называемая собственная энергия, нлн энергия покоя частицы,. 17 т. е. вектор й — единичный. Этот вектор называется 4-ско ростью. В пределе о/с«1, пренебрегая ов/св, получим н=ч/с. Поскольку и'=1, то, дифференцируя, найдем с(ив = 2и ди = О. (1.2.19), Если ввести 4-ускорение !с'=с(й/в(в=в(вх"/в(вв, то, как видно из (1.2.19), оно ортогонально 4-скорости: и !с=О.

Введем теперь четырехмерное обобщение вектора импульса. При о«с, как уже указывалось, н=ч/с. Нерелятивнстский импульс р=тч=тси, где т — масса частицы. Введем 4-им— пульс, умножив вектор 4-скорости на тс; ! в рв=тси" =- (1.2.20) й У ! — ов/в' $ 3.

ОБШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА Выше в 5 1 были введены 4-векторы пространства Минков.ского, объединяющие время и пространственные координаты: хз = (х», х', х' хз) =(с!, г). (1.3.1) Остановимся более подробно на описании пространства этих векторов. Запишем вектор х в базисе х = хзе„= х'е, + х'е, + х'е, + х'е„ тде е„— 4-базис пространства Минковского.

Квадрат вектора равняется хз = х х = хзе„х»е„= хзх'е„е, =- х» — х' — х' — х', й йй йй зй нли коротко хй = хзх»т)„», где введенный в $ 1 метрический тензор 1, )й ч= О; й) =езе„= — 1 )й э=1 2 О, р,=~ ч. Отсюда следует, что е„— псевдоортогональный базис. Зададим линейное преобразование в пространстве координат х (1.3.2) (1.3,3) которая остается у нее и при о=О и высвобождается лишь при лревращеннях частиц. Естественно назвать величину е =ср'=. (1.2.22) Р'! — в~~с~ релятивистской энергией частицы.

Она включает в себя как внутреннюю энергию покоя, так и энергию движения частицы. Релятивистский импульс частицы р определяется формулой (1.2.21). Составим квадрат 4-импульса (тай) й (ай») й рй — р»з рй (глс)й »ай 1 1)й Таким образом, рй=(тс)й- О, т, е. 4-вектор р — времениподобный. Заметим, что масса частицы т — релятивистский инвариант.

Из уравнения (1.2.23), разрешая его относительно энергии з, находим е' = с'р'+ лййсй — уравнение, связывающее релятивистскую энергию и импульс частицы. При р=О, т. е. в системе покоя частицы, ее энергия равняется собственной энергии. где Л," — матрица 4 Х 4: л», л», л», л», 1л.=л,л, л,л, (1.3.5)' ),з Лз Лз Лз Закон (1.3.4) определяет преобразование компонент вектора х. Если вектор х=)пч, то одновременно с компонентами вектора преобразуется и базис.

Действительно, х = е„хз = е'„х'" = е'„Л»»х». Отсюда е„=е„'Л," и, следовательно, е' (Л-й)» е (1.3.6~ т. е. в этом случае базис преобразуется с помощью обратной и транспонированиой матрицы (Л ')т. Наряду с 4-вектором координат существуют другие 4-векторы, а также объекты более. сложной природы по отношению к преобразованиям Л„". Контравариантный вектор а" †э набор величии а', а'„ а', а', преобразующихся как компоненты вектора координат х", т.

е. ,з а' =Лз,а" = — а». дх дх Ковариантный вектор а„— это набор величин а», аь ай,, аз, преобразующихся как базис е„, т. е. д,х» а'з — — (Л й)'за,= — а,. дх'" Контравариантный тензор второго ранга а"' преобразуется как произведение компонент х"х", т. е. дх'з дх'» а'" =Л» Л ай»=.— — ай дх" дха Ковариантный тензор второго ранга а,„ преобразуется как произведение е,е„, т. е.

Х а аз»=(Л )»(Л )»аха= айа дх дх дх'" дхай и т. д. Мы не останавливаемся здесь подробно на классификации ковариантных объектов тензорной, а также спинорной и более сложной структуры, отсылая читателя к соответствующей математической литературе. Рассмотрим объект а,=т)„„а".

Тогда, используя определение (1.3.3), запишем х»- х'»=Л'х", аз = езе,а" = еза, (1.3.4) 19. т. е. ао преобразуется как ео и является ковариантным вектором. Следовательно, с помощью метрического тензора о)"" (заметим„что Чо"=о)„„) можно опустить индексы и у контравариантного вектора координат х", преобразуя его в ковариантный вектор х" х„= а)„аха, где хо=(хо, хь ха, ха)=(хо, — х, — х, — х )=(с1, — Г). (1.3.7) При этом х'=х"х"Ч„„=х'х,. Конкретизируем линейные преобразования в пространстве Минковского, наложив требование инвариантности длины 4-вектора, т.

е. требование релятивистской мнвариантности х'=х' =!пч. (1.3.8) Тогда, используя (1.3.4), запишем хрхо = х'их " = х'"х' Ч„о = ЛихЛ" ох"хоо)и». Откуда следует Лор,Лоог!оа = г!хо. (1.3.9) Умножим последнее равенство на Ч" и свернем по индексам о с учетом равенства г!оог!оо = бох где бо, — единичная 4Х4 матрица. Тогда Лад"Л.. )„о = б,, т. е.

Ли (Л ')о„=б где матрица )"Л. 1„,=(Л-)о„ (1.3.10) представляет собой обратную по отношению к Л матрицу. Заметим,что операциясвертывания матрицы Л стензорамиа)" и г)„„, указанная с левой стороны последнего равенства, сводится к транспонированию матрицы Л и замене знаков у первой строки и первого столбца. Таким образом, свойство матрицы преобразования, оставляющего инеарнантной длину вектора (1.3.8), состоит в том, что обратная матрица получается из исходной путем транспоннрования и замены знаков элементов первой строки и первого столбца. Подобные матрицы называются псевдоортогональными. Очевидно, что определитель'матрицы (1.3.10) совпадает с определителем матрицы Л.

Поэтоцу (де1Л)'= 1 и, следовательно, де!Л= ~1; (1 .3.1 1) Рассмотрим равенство (1.3.9) в случае А=о=О: ЛиоЛ"ог!о а — — 1 или в явном виде (Ло,) (Ла,) — (Л,)' — (Л;)'=1. Отсюда следует неравенство (Ло')'= 1 или Ло ~~„;1 Ло ~ (1.3.12) Условия (1.3.11) и (1.3.12) определяют четыре совокупности преобразований, которые вместе образуют так называемые об- щие преобразования Лоренца. По отдельности эти совокупно- сти таковы: Е,г~ соответствует йе! Л = +1, 1~1» бе1Л= +1, Т! о бе1 Л= — 1, г! о Лао) 1, Л < — 1 Лоа>1, Л',~ — 1 а(е!Л= — 1 Как видно, лишь преобразование Е+' содержит в себе единицу, оно называется собственным преобразованием Лоренца.

Этой совокупности преобразований, как легко видеть, принадлежит и введенное выше специальное преобразование Лоренца, сюда же относятся обыкновенные трехмерные ортогональные вращения. Все остальные совокупности преобразований Е+', Е ', 1. ' единицы не содержат и являются несобственными преобразованиями. Любой элемент каждой из ннх не может быть нецрерывным образом переведен в другую совокупность. Рассмотрим примеры собственных и несобственных преобразований Лоренца.