Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.Ч. Жуковский - Классические поля, страница 2

Вместе с тем очевидно, что эта точка движется со скоростью У и поэтому х=УЬ Отсюда !ЬЕ=У7с~() (1.1.14) и тогда зЬ<р,, сЬ<(> = Уравнение (1.1.14) дает связь параметра >р, задающего соотно- шение исходных и преобразованных координат, с физическим параметром — скоростью системы отсчета У. Заметим, что па- раметр <!> в физике элементарных частиц носит название «бы- строта». Итак, в данном случае движения системы отсчета вдоль оси х находим х' = — с —, = у (х — ()с!), У =У (1.1.15) с!' = ы, = Т (с( — ()х), где 7=(1 — рг)->/г, (1 У/с. Эти преобразования представляют собой частный случай преобразований Лоренца (специальные преобразования Лоренца), обеспечивающих инвариантность интервала з'=1пч.

Обратные преобразования от штрихова>(- ных величин к нештрихованным получаются заменой У- — У,„ т. е. <р — ф. Таким образом, оказалось, что время ! и рядну<!г вектор г подвержены совместным линейным преобразованияМ <(1.1.15), в которых временные и пространственные координа- ты взаимозависимы. Поэтому целесообразно объединить их, введя четырехмерный вектор (4-вектор) х=(х', х', х', х'), (1.1.16) в котором х'=с(, (х', х', х') =г.

Подобный вектор принадле- жит четырехмерному линейному пространству, метрику кото- <о рого, учитывая определение инвариантного интервала (1.1.7), задаем следующим образом: х, х =х~< > хг — г< г< (! .1,17) где х«> — — (х'<,>, г<,>), х<,> (х'„,, г„,)— два 4-вектора, принадлежащие этому пространству. Если нумеровать компоненты векторов (1Л.16) индексом ><=О, 1, 2, 3, то (1.1.17) можно кратко записать так: г з х<,> х<„— — ~ ~ тЬ„ха<„х"<„†= »«„хч<,>х'„,. (1.1.18) в=ог=о Здесь в последней части равенства мы чрименилн общепринятое условное обозначение 'суммирования по повторяющимся индексам без знака суммы; >)„,— метрический тензор, имеющий ненулевые диагональные элементы: ~!тЬ„!~ =- <!!ая (1, — 1, — 1, — 1).

(1.1. ! 9) Остальные элементы теизора»„, равны нулю. Вводимое пространство является частным случаем псевдоевклндовых пространств со знаконеопределенной метрикой. Данное пространство, т. е. пространство СТО, носит название пространства Минковского. При преобразованиях Лоренца вида (1.1.15) длина вектора и скалярное произведение векторов в пространстве Минковского остаются инвариантными: лг г г <г гг х' = ха — г' =ха — х' — х' — хзг = !пч (1.1 20) Квадрат интервала зг, как и квадрат длины вектора хг пространства Минковского, в силу псевдоевклидовости последнего может, вообще говоря, иметь любой знак.

Возможны три случая (рис. 1.2): 1) хг=зг< аггг — гг>0 — времениподобный вектор (интервал); 2) хгг зг=сггг — гг(0 — пространстленноподобиый <вектор (интервал); 3) х'=зг=сг<г — г'=0 — изотропный, или светоподобный, вектор (интервал). Подчеркнем, что в силу (1.1.20) выбор знака является инвариантным, т. е. не меняется никаким преобразованием. Если хг(0, то вектор лежит вие' светового конуса х'=О, если хг)О, то внутри светового конуса (см, рис. 1.2). Смысл названий векторов становится ясным, если рассмотреть эти три случая более подробно.

Пусть вектор Ьх соединяет две точки х<0 и х<г> в пространстве Минковского, отвечающие двум событиям, произошедшим в моменты времени !< и (г в пространственных точках с радиус-векторами .г, и гг: <)х=х«> — х<г> Тогда, если интервал пространственноподобный (<!<з)г= (Лх)г =.О, то мо>йно выбрать систему отсчета, где <51=0, т.

е. (Лх)'= †(<эГ)г, н события происходят одновременно в разных пространствен- хк ных точках: онн абсолютно удах лены друг от друга. Если же интервал времениподобиый (Лз)') ~О, то события выбором систех' мы отсчета могут быть пространх ственно совмещены, Лг=О и тогда (Лх)о=с'(Л!)', т.е. по сути О х' дела, события происходят в одной и той же точке пространства, но в разные моменты времени. Если скорость частицы о(с, то квадрат интервала, отвечаюРас.

1.2 щего перемещению частицы за время Л! на Лг, будет равен (Лз)о = со (Л!)о — (Лг)о = со (Л!)о (1 — оо/со) > О, т. е. данный интервал временнподобен. Движению частицы в пространстве Минковского соответствует траектория, называе- мая мировой линией н задаваемая уравнениями хо=с!, Х<=х<(!), Хо=хо(!), х'=х'(!), где время ! выступает в качестве параметра. > а (<х1-кг! '-и $2. РелятиВистскАя Кииея<АтикА а) Собственное время. Рассмотрим обратное преобразование Лоренца Л! =Л1~/~-.Р'.

(1.2.2) Получим этот результат по-другому. Определенный выше интервал является в то же время н злйментом дугн мировой линни частицы <!з=<!з(!). Пусть частица движется по некоторой мнровой линии по некоторому закону г г(!). Тогда в каждь(й момент времени ! можно связать с эт<!й частицей ннерциальную систему отсчета, движущуюся с той же скоростью, что н частйца У=ч=<!г/<(!. В этой системе ч' О. Для интервалов <(з'о<о к!з'о можем написать <!зо = со <!/а — <! Го = со </! ' (1.2.3) 12 ')/<:Р ' (1.2.1) где В= )</с, как н прежде, обозначает скорость системы отсчета К' в единицах скорости света. Пусть х' соответствует коордннате часов в движущейся системе, причем часы этн в ней покоятся, т.

е. х'=сопз1. Тогда согласно (1.2.1) интервалы времени в лабораторной системе Л! н в подвижной системе Л/' оказываются связанными соотношенцем Время, намеренное в системе покоя частицы, называется собственным временем. Как видно, связь между ннтервалами собственного времени <!!' н лабораторного времени с!! (1.2.4) совпадает с выведенным ранее другим способом соотношением (1.2.2).

Вместе с тем из (1.2.4) следует, что собственное время является релятивистским инвариантом Н'= (1/с)<!з, Вводя для этого ннварнанта, т. е. для собственного времени, спецнальное обозначение <!т, запишем конечный интервал собственного времени т — — сЬ вЂ” ~~! с/с й. ! с к з о о (1.2.5) Из определения собственного времени следует, что интервал собственного времени всегда меньше интервала лабораторного времени, т. е.

время для движущегося объекта течет медленнее, чем для наблюдателя. Одним нз проявлений этого закона релятивистской кинематики является то, что быстролетящне нестабильные элементарные частицы успевают, не распавшись, пролететь достаточное для наблюдення за ними время. Прн этом чем ближе их скорость приближается к скорости света, тем дольше они успевают пролететь до того, как распадутся.

Заметимтакже, что введенная вышемнровая линия в силу соотношения (1.2.5) между ! и т может быть параметрнзована инварнантным образом, используя собственное время. б) Собственная длина. Пусть в двнжущейся снстеме К' покоится линейка длины Л!', расположенная вдоль оси х', так что Л!'.=х'<о> — х'«>, где х'«,о> — координаты концов линейки.

Если х«> н х<о> — координаты концов этой линейки, измеренные в лабораторной, т. е. неподвижной, системе отсчета в момент времени !, то в силу преобразований Лоренца имеем следующую связь х'«о> н х«, о>< х<п — к<В )/ — в' ' 1.2.6 .<,>>-.в ( ) <о> Отсюда находим, что длина ли нейкн в лабораторной системе Л(=к<о> — х«> и в движущейся системе связаны соотношением Л!' = (1.2/7) Назовем длину объекта, измеренную в той системе, где он покоится, собственной длиной.

Как видно нз последнего равенства, собственная длина Л!' всегда больше видимой длины Л1, 13 так как <(г'=О. Тогда ,<(!' = — <Ь = <(!~! — (<(г/сЫ) /с' = с!!~ 1 — оо/со. (1.2.4) к т. е. линейные размеры движущеюся объекта сокращаются. Подчеркнем, что речь идет о размерах, измеренных вдоль направления движения объекта. Поперечные размеры не изменяются.

Соотношения для собственной длины (1.2.7) и для собственного времени (!.2.2), как видно, носят обратный характер. Перемножая их, получим Л1А! = йг'Л!' = 1пч. (1.2.8) Тогда с учетом неизменности поперечных размеров для элемента объема, т. е. Учитывая обратные преобразования Лоренца с(х= у(дх +рс1(/), с(1 =7(1й +р1(х /с), у = (1 — р')-"', получим хх о'„+ У о/ 1+ о'хУ/сс (1.2.10) Аналогично для поперечных компонент скорости за счет преобразования времени находим 1У 'у )Ут= 8 ~ .~- х/Р Ф 1+ о'хУ/сс Полученные формулы (1.2.10), (1.2:11) и определяют релдтивнстскнй закон сложения скоростей. При О/с«1 и У/с«! эти формулы дают обычный нерелятивистский закон сложенйя скоростей, отвечающий преобразованиям Галилея Ох Ох+Ую Оу О у~ Ос Ос гдз мы опустили малые члены порядка Ух/с' и ОУ/с', что фзрмальио отвечает предельному переходу с- оо.

Пусть О'.~О, (1.2.1 1) охх (зх для элемента объема 4-пространства Минковского получим с(хх = ссИхх = с!хх' = сс(/'1(хх' = !пч, (1,2.9) т. е. элемент 4-объема есть инвариант преобразований Лоренца, или релятивистский инвариант. в) Релятивистское сложение скоростей. Определением скорости частицы является ч=с/г/И. Поэтому в подвижной системе, относительно которой в свою очередь движется частица, будем иметь ч'=дг'/Ж'.

Пусть система движется вдоль оси х со скоростью У=рс. Тогда Нх Дх' = Ох — =О х. о/ Й' тогда О,=О, т. е.,вектор скорости в обеих системах лежит в плоскостях ху, х'у'. Введем угол наклона вектора скорости 8 и соответственно в подвижной системе — угол О'1 Ох=осозО, Оу — — Оз!пО, О х=о со50, О у-— -О 51ПО . Тогда с помощью (1.2.1!) получим следующую связь углов 8 и 0': О'51П8' ')'~ (1.2.12) Интересный частный случай применения последней формулы получается, если мы рассмотрим распространение света, когда О=О'=с. В этом случае х ° и:7*'7х в (1.2.1 3 У/с+ со58' ) Как видно, угол распространения луча света зависит от скорости движения источника относительно наблюдателя.

Это явление носит название аберрации. Из (1.2.13) следуют 8+ сох 8' 1+8 8' ' 5!и 8 = 1 !! (1.2.14) 1 + !1 со5 8 Рассмотрим два частных случая. Пусть 8«1, т. е. скорость источника или наблюдателя мала. Такой случай как раз имеет место при наблюдении звезд с поверхности движущейся Земли. Пусть 8 — угол падения луча от звезды, видимой в системе, связанной со звездами, а О'=8+М вЂ” угол падения луча, наблюдаемого на поверхности Земли. Если 0«1, то АО«! и согласно (1.2.13) имеем 5!и О' = 51п 0 (1+ р соз О), схй=р 5!и 0 (1.2.!5) — формула для аберрации света звезд на поверхности Земли.