Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.Ч. Жуковский - Классические поля, страница 6

В случае скалярного поля с лагранжианом (1.6.11) получим 1" = — 1(чс' нср — ср ссср' ) (ср "= с)ср/дх„) илн, выписывая отдельно временную и пространственную ' части; о с / ср ср . / дчс" дср д/ дС вЂ” плотность заряда, ) = — с (сроЧср — срЧср ) — плотность тока. Теперь обратимся к преобразованиям группы Пуанкаре. В случае трансляций х х"+а» в формуле для тока Нетер (1.5.11) имеем )а — »а» бз»/ба»= бо», би/ба»= О. (1.6.15) Последнее равенство в (1.6.15) обусловлено инвариантностыо полей относительно трансляций (однородность пространства): и'(х') =и(х), Таким образом, сохраняющийся нетеровский ток из (1.5.11) будет иметь вид Ти,= — жб» + —,, и, ая (1.6.16) ди~» Это определение также совершенно общее, т.

е. применимо для любого поля. Оно дает тензор энергии-импульса, интеграл от нулевой компоненты которого определяет 4-импульс поля; Р" = ~Тасс(зх =~с(зх( — и' — й б о). (1.6.17) ~а», Действительно, нулевая компонента этого вектора Ро ~с(зх( и с л,) ~с(зхт4, (1 6 18) ~а»с совпадает с энергией поля, определенной в (1.4.10). Простран- ственные компоненты образуют вектор импульса поля р ~дзх ая ( Чи) (1.6.18, а) ди с Для действительного скалярного поля имеем и =ср, Т»,= — б»„Ы' +ср»ср илн, поднимая индекс, Т㻠— ср, »ср, » т!»»Я» (1.6.19~ — симметричный тензор энергии-импульса. Плотность энергии Я = Тоо = (дср/д/)з —,2' = — ! — Р1 + — (Чср)з+ )' (ср).

(1.6.20) 2!,дС/ 2 Если Ч(ср))0, то плотность энергии — знакоопределенная величина, ай= О. 34 Обратимся теперь к собственным преобразованиям Лоренца. Рассмотрим сначала слагаемое в выражении для тока Нетер (1.5.11), пропорциональное бх"/бср"з: бх" /-»аз= — Яб», + — и, — =Т»обх /бор»в. (1,6.21) ди ' ~ бЧ»З Вспомним, что согласно (1.3.18) бх» = (Хаз)»» х»бсрад = ( з)а»б»в+с)з б» ) х»бсраВ = =- ( — хаб -1- хзб»а) бср З.

Поэтому бх'/бср Ф вЂ” ха 6»з + ха 6 Подставляя последнее равенство в (1.6.21), получим Т.»аз = Т»» (хзб»а хаб»з) = Т»ахз Т»дха (1 6 22) — так называемый тензор орбитального момента поля. Он обладает свойством антиснмметрин: /.»„»= †/»з . Интеграл от нулевой компоненты (1.6.22) определяет полный тензор орбитального момента поля /'аз = ~ с( х/ за. (1.6.23) Обратим внимание на обратный порядок нижних индексов подынтегрального выражения.

Три компоненты тензора (1.6.23) связаны с компонентами псевдовектора орбитального момента поля /-сз = ~з, Ти = /-с, ~зс =/-з. Для скалярного поля имеем (а, (1=1, 2, 3) У аз= ') с(зх(Тозха — То»ха)= ) с(зх(ср эха — ср ахз)ср с (1.6.24) — тензор орбитального момента скалярного поля. В общем случае следует рассмотреть слагаемое в токе Нетер, пропорциональное би/бср ': — У" =0 д дГ )=Ь+5=сопз(, (1.6.2?) ! » с = — есси,/сз. 2 дЯ' би 5 а!!— ди „бсрав ' (1.6.25) Оно определяет тензор собственного момента илн спина поля 5»з= ) 5озас(зх, (1.6.26) В сумме орбитальный и спиновый моменты составляют полный момент поля: Х з=/.

з+5„, который согласно теореме Нетер н сохраняется: (1.6.28) $ Е УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА (2.1,1) (2.1.2) (2.1.3) (2.1.4) го1 Е = — дсН. (2.1.5) (2.1.6) Ент „= 4п1н, (2.1.7) (2.'(.8) В случае скалярного поля Ьр/бгр"а=О и 7„,=Е„„т. е. спин равен нулю, 8=0, н сохраняется момент: — "з =О, Е=сопз1, 8=0.

д1„"з дат Из первого равенства следует с учетом сохранения энергии- импульса (Ттахр — Т~вха) = Т а Т з = 0 Зле т. е. Т'с=Тс" — тензор энергии-импульса скалярного полн симм т е ричен. В общем случае полей, обладающих нетривиальными трансформационными свойствами относительно преобразо ий Лоренца, 5" чьО и тензор энергии-импульса несимметричен, однако ои может быть сделан таковым согласно ( .. ) 1.5.15 добавлением дивергенцни подходящего антисимметрнчного тензора. В качестве упражнения предоставляем читателю вывестп соответствующие полученным выше выражения для тензоров энергии-импульса и момента заряженного (комплексного) скалярного поля. Глава О ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ Система уравнений, описывающих эволюцию электрического Е и магнитного Н полей в пространстве цри заданных плотно- сти заряда р и плотности тока 1, имеет вид* с(1ч Е = 4цр, го1 Н = 4ст) + дс Е, с(1нН=О, Уравнения (2.1.1) — (2.1.4) носят название уравнений Максвелла в трехмерной форме, и в этом виде они используются при решении большинства задач классической электродинамики.

Однако в ряде случаев, в частности при исследовании закона преобразования полей Е и Н при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, значительно более удобной является так называемая четырехмерная форма записи уравнений Максвелла. Прежде всего из компонент векторов Е и Н построим антисимметричную 4Х4-матрицу Р'" следующим образом: 0 — Ег — Ес — Еа Ег 0 Нз На Еэ — Нв Нг 0 Тогда непосредственной проверкой легко установить, что введение матрицы Р'" позволяет переписать уравнения (2.1.1) и (2.1.2) в виде где введено следующее обозначение: 1 =(Р 1). При этом уравнения (2.1.3) и '(2.1.4) принимают вид енттоРто т = О. ' Всюду в этой главе скорость света принята равной единице.

В этом уравнении е""" — символ Леви — Чивита, который определяется следующим образом: 1 при условии, что индексы !ччто получаются четной перестановкой из 0 1 2 3, — 1, если перестановка нечетная, 0 в остальных случаях. (2.1.9) еаза а Можно показать, что величина е'"" преобразуется как тензор при собственных преобразованиях Лоренца. При несобственных преобразованиях компоненты тензора должны были ы ыли бы изменить знак, в то время как знаки е""" по определению не меняются.

Поэтому е'"*' является, как говорят, псевдотензором. Покажем, что введенный в (2.1.7) упорядоченный набор чисел !' является 4-вектором, Рассмотрим систему частиц с зарядами е„положение которых в момент времени ! задаетсц радиусами-векторами г,(1). В этом случае плотность заряда и плотность тока определяются следующим образом: р(г, Г)=Хе,бз(г — г,Я), (2,1.10) 1 (Г, 1) = ~~еача (1) 6 (г га (1)). (2.1.1 1) Здесь б'(г — г,) — дельта-функция Дирака. С учетом определения (2.1.7) запишем (2.1.10) и (2.1.11) в виде ) (х) = ~е.

— "' 6а(г — га(1)), (2.1.12) 33 Чтобы показать, что это 4-вектор, заметим, что выражение (2.1.12) тождественно следующему выражению: )а(х)=. «~еа~ йз — "а 64(х — ха(з)). (2.1.13) Дельта-функция 6'(х — х,(з)) является скаляром, а Ма"— 4-вектором, поэтому )ь(х) представляет собой 4-вектор. Этот факт позволяет ответить на вопрос: каким образом преобразуют ся компоненты электрического и магнитного полей при переходе из одной инерцнальиой системы отсчета в дру у ствительно, правая часть уравнения (2.1.6) есть 4-вектор, поэтому 4-вектором является его левая часть, т.

е, величина Р"„. Но в таком случае Р" представляет собой контравариантный теизор второго ранга (это является следствием хорошо известной в тензорной алгебре теореме о частном). Следовательно, при преобразованиях Лоренца Л", компоненты Р'" преобразуются следующим образом: Р "а = Л "аЛчзРаа (2.1.14) т. е.

нахождение связи компонент векторов Е и р и Н в азличных лоренцевых системах отсчета сводится к выполнению не- В частности, если большого числа алгебраических операций. В ча преобразование Лоренца не сопровождается изменением ориентации осей системы координат, как это было в случае специальных преобразований (1.1.15), то с помощью (2.1.14) и (2.1.5) мы получим следующий результат: Е, =Е„', Е, =ч(Е,— (ЧН')), Н =Н,, Н =у(Н',+(ЧЕ)).

(2.1.15) В формулах (2.1.15) введены следующие обозначения: Е1= (ЕЧ) Ч Е =Š— Е1, Чз Р„„Р"' = 1пч. (2.1.16) Второй независимый инвариант может быть построен путем сворачивания Р'" с дуальным ему тензором: 1 — еамтаРи~Рса — !пч 2 (2.1.17) Если воспользоваться определением (2.1.5), то нетрудно выразить инварианты (2.1.16) и (2.1.17) непосредственно через компоненты напряженностей Е и Н: РачР"" = 2 (Н' — Е')~ — ен~, .Г1"Р'" = — 4 (ЕН). 1 2 (2.1.18) Найденные величины по-разному ведут себя при отражениях пространственных илн временной оси.

Выражение (2.1.16), т. е. разность (Н' — Е'), является истинным скаляром, в то время как произведение Р" на дуальный тензор (2.1.!7), равное учетверенному скалярному произведению (ЕН), представляет собой псевдоскаляр. Последнее утверждение является следствием псевдотензорного характера величины е,.

Это значит, что скалярное произведение (ЕН) меняет знак при отражении трех пространственных или временной оси. 39 аналогично определены Н„н Н, 7 — (1 — У') ы". В связи с изложенным следует остановиться на вопросе об инвариантах электромагнитного поля. Инвариантами поля называются величины, составленные из компонент электрического и магнитного полей и остающиеся неизменными при преобразованиях Лоренца. Инварианты полянам потребуются в следующем параграфе при построении выражения для действия свободного электромагнитного поля.

Вид инвариантов устанавливается наиболее просто, если исходить из представления электромагнитного поля с помощью антисимметричного 4-тензора Р'". Для этого нужно найти все нетривиальные скаляры, которые можно построить из компонент Р'". Одним из таких инвариантов является скалярный квадрат тензора Р'", т. е. ве- личина Преобразование полей при переходе от одной системы отсчета к другой делает естественной постановку задачи о нахождении инерциальной системы отсчета, в которой заданная конфигурация полей преобразуется к наиболее простому виду.

Единственные ограничения, которые здесь возникают, связаны с существованием инварнантов электромагнитного поля. Из инвариаитности выражений (2.1.18) следует, что если поля Е и Н равны по модулю или ортогональны в некоторой системе отсчета, то это будет выполняться и во всякой другой инерциальной системе отсчета. Инвариантным является знак неравенств Е:>Н или Е -Н. И кроме того, преобразованием четырехмерной системы координат невозможно острый угол между векторами Е и Н сделать тупым или наоборот. В ряде приложений можно существенно упростить задачу, если обратить одно из полей в нуль. Из сказанного выше следует, что это возможно, только если в исходной системе отсчета поля были ортогональны.

При этом обратить в нуль можно лишь то из ,полей Е или Н, чей модуль меньше. Вернемся к системе уравнений Максвелла (2.1.1) — (2.1.4). Последние два из них фактически лишь позволяют уменьшить число неизвестных функций с шести (по три компоненты для каждого из векторов Е и Н) до четырех введением так на'зываемых скалярного ~р и векторного .А потенциалов: Е = — дгаб ~р — д~А, Н =го1А.

(2.1.19) При этом уравнения (2.1.3) и (2.1.4) обращаются в тождества, а нетривиальные уравнения . получаются при подстановке (2.1.19) в (2.1.1) и (2.1.2). Получим эти уравнения сразу в релятивистски инвариантном виде. Выразим компоненты тензора электромагнитного поля через потенциалы гр и А. Введем обозначение Аы=(~р; А), (2.1.20) тогда из (2.1.19) и (2.!.5) мы получим, что тензор Р'" может быть представлен в виде Е„,=А, „— А„,. (2.1.21) Из полученного соотношения следует, что величины А" (2.1.20) представляют собой компоненты контравариаитного 4-вектора (здесь можно сослаться на упоминавшуюся выше теорему о частном).