Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.Ч. Жуковский - Классические поля, страница 9

Таким образом, для вариации (2.4А) мы получаем следующее выражение: 65 = — ~ ~ — Р»' -'„-!»1 6А» дох. (2.4.3) 4» ' ! Требование равенства нулю вариации (2.4.3) при,произвольных значениях 6А, эквивалентно требованию обраще~ия в нуль вариационной производной Р»«, !» 65 ) (2.4.4) 6А (к) 4п Оно приводит к следующему уравнению: Р»« = — 4н!», (2.4.5) Мы видим, полученное из принципа наименьшего действия уравнение совпадает с уравнением Максвелла (2.1.6). бг Второе уравнение получается непосредственно нз соотношех1ия (2.1.21). Дифференцируя это равенство по х','.получаем Р»ч, х = Ач, »ь — А», и..

(2.4.6) Запишем еще два равенства, которые получаются из (2.4.6) при циклической перестановке индексов: Рчц «= Ац»ч — Ач„х«, (2.4,7) Р1«,ч=А» х,— А1, „ Складывая почленно левые и правые части равенств (2.4,6) и ,(2.4.7), мы получаем уравнение Р»., л+ Рчц «+ Рь», ч= О. (2.4.8) Покажем, что это уравнение совпадаетсуравнением (2.1.8). Заметим, что левая часть равенства (2,4.8) обращается в нуль при совпадении любых двух индексов. Поэтому нетривиальные уравнения получаются только тогда, когда все трн индекса различны.

Исключение тривиальных уравнений можно осуществить, сворачивая (2.4.8) с абсолютно антисимметричным псевдотензором четвертого ранга е""ь' (2.1.9): е»~~Рха, ч = О. (2.4.9) Действительно, абсолютная антисимметрия е""ь' приводит к тому, что при любом значении индекса 14 в левую часть (2.4.9) будут входить только производные Р„,, при ) чьей Фч~р, и мы получаем уравнение, совпадающее с (2.1.8). й З. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ Возможны различные способы введения тензора энергии-импульса электромагнитного поля. Традиционный подход заключается в вычислении четырехмерной дивергенции тензора энергии-импульса системы невзаимодействующих частиц, вид которого известен из релятивистской механики.

Показывается, что тензор энергии-импульса частиц, взаимодействующих с электромагнитным полем, не сохраняется. После этого из величин, характеризующих электромагнитное поле, строится тензор второго ранга, добавление которого к тензору энергии-импульса частиц приводит к некоторому дифференциальному закону сохранения. Найденный тензор отождествляется с тензором энерч гии-импульса электромагнитного поля.

В гл. 1 мы определили тензор энергии-импульса как ток Нетер, сохранение которого обусловлено ннварнантностью действия рассматриваемой системы относительно преобразований группы пространственно-временных трансляций. Используя полученное там вь|ражение для тензора энергии- импульса (1.6.16), явный вид лагранжиана свободного электромагнитного поля (2.2.2) 1 Хч = — — Р„,Р»' 16л и учитывая то, что в рассматриваемом случае величинами и являются компоненты 4-потенциала А", мы получаем д (Аач) Для вычисления стоящей в' (2.5А) производной получим выражение для вариации лагранжиана бЫ»..

б 2'е ' Р«чбР«ч= — — 'Р«чбА, «(2 5 2) Вл 4» Здесь мы воспользовались соотношением (2.1.21) и.антисимметричностью тензора поля Р„,. Из выражения для вариации (2.5.2) следует, что дЛ'е 1 Рча д (Аа, ч) 4« Используя это выражение, мы получаем, что канонический тензор энергии-импульса имеет вид 4л ' 16» (2.5.3) или для контравариантных компонент 7 ч» — — 4а, »Рч + т1»ч РазРаа. 4л 16л (2.5.4) Полученное выражение не является калибровочно инвариантным. Поэтому добавим к нему дивергеицию вида — (А«Рч ) а А».аРч 4л 4л (2.5.5) В (2.5.5) мы учли, что:в отсутствие зарядов уравнение поля имеет вид т«ч ~ Р«Рч + 41 Р „Раэ) 1 / 1 (2.5.6) Рча = О.

добавление,к тензору энергии-импульса 4-дииергеи«" и (2.5.5) -лежит в рамках допустимого произвола в определении тока Нетер и ие влияет на интегральные динамические характеристики типа 4-вектора энергии-импульса электромагнитного поля. Окончательное выражение для тензора энергии-импульса включает в себя только калибровочно инвариантные комбинации: Воспользовавшись легко проверяемым тождеством Н го( Š— Е го1 Н = 61ч [ЕН), преобразуем правую часть (2.6.1), после чего умножим обе ' частя полученного равенства на 1/4п, получим дана+ ()Е) = — д(ч Б, (2.6.2) где мы воспользовались введенными в 3 5 обозначениями ца — для плотности энергии и $ — для вектора Умова — Пойн- тинга.

Соотношение (2.6.2) называют теоремой Умова — Пойн- тннга в дифференциальной форме. Как мы увидим, оно выра- жает еобой закон сохранения энергии для системы, состоящей, из зарядов и электромагнитного поля. Проинтегрируем обе части уравнения (2.6.2) по некоторо- му трехмерному объему и применим к стоящему справа члену теорему Гаусса — 1ш(~~+~(1Е)Р»= — $ Ж. (2.6.3) Ж.) 3 Далее, воспользовавшись явным выражением для тока (2.1 11), вычислим второй интеграл в левой части: ) ()Е) дхх = ~~)' е, (ч,Е (г,)) = — „.

(2.6.4) г В полученном равенстве под «э понимается сумма кинетических энергий частиц, находящихся в объеме У. Предполагается, что в рассматриваемый момент времени на границе объема частиц нет. С учетом (2.6.4) равенство (2.6.3) приобретает вид — ( ~ цаа(эх+ й') = — ф 8де. (2.6.57 з Полученное соотношение имеет простой физический смысл. Равенство (2,6.5) означает, что изменение суммарной энергии заряженных частиц и электромагнитного поля в объеме равно с обратным знатоком потоку вектора Пойнтинга через замкнутую поверхность, ограничивающую объем.

Это положение носит название теоремы Умова — Пойнтинга. Если интегрирование производится по всему трехмерному пространству, то интеграл по поверхности в правой части (2.6.5) исчезает (считается, что поле на бесконечности равно нулю), и мы получаем закон сохранения энергии замкнутой системы, состоящей из зарядов и поля: — '(1~'*а.х) -о. Соотношение (2.6.5) может быть получено и непосредствен-' но из выражения для тензора энергии-импульса электромаг- нитного поля (2.5.6). Вычисляя четырехмерную дивергенцию этого тензора, получаем Тьч х = ( — Р~ираааа х Раа"Ра'а ~+ — Рааарааз,аа) (2 6 6) 4аа Я (2.1.6) и Воспользуемся уравнениями Максвелла в форме (2.1.8) и приведем это равенство к виду Таа = Раа 1, (2.6.7) Покажем, что это уравнение выражает собой закон ння суммарного 4-нмпульса системы. Воспользуемся пнем для тока (2.1.12) н перепишем равенство (2.6.7) ааХ Тко э 1 Таах х=- — )'„е,раа бх(г — г„(1)).

сохране- выраже- в виде (2.6.8) Проинтегрируем обе части равенства (2.6.8) по некоторому объему У и примем во внимание уравнение движения точечного заряда (2.4.7), получим — (Раа 1 ~а раа,) = — ф Таах а(о„, ш (2.6.9) (2.6.10) Стоящая в правой части этого равенства величина представляет собой количество импульса, вытекающее в единицу времени из объема.

Поэтому величины Тга представляют собой компоненты трехмерного тензора плотности потока импульса. Тензор па= — Тьь как уже говорилось в $5, называют тензором максвелловских натяжений. Пусть электромагнитное поле не зависит от времени. Вэтом случае йР~ — =0 ая и равенство (2.6.10) приобретает внд — "г'р' = фо" сЬх. аа (2.6.11) з ха а с Воспользовавшись уравнением движения (2.4.7), мы можем В этом выражении через Р" обозначен полный 4-импульс электромагнитного поля в рассматриваемом объеме, суммирование ведется только по частицам, находящимся внутри объема. ~При 1х=О (2.6.9) совпадает с равенством (2.6.5).

При 14= =1, 2, 3 мы получаем закон изменения суммарного трехмерного импульса системы в заданном объеме: (Р~+~~ ра ) ф Тмг(а„, е 5 (2.5.13) Тензор (2.5.6) симметричен. Кроме того, его след равен нулю= Т»» — — О. (2.5.7) Выразим компоненты Т"" непосредственно через напряженности электрического и магнитного полей. Используя явное выражение для тензора поля г"" (2.1.5), мы находим вид Т"' — компоненты, которая отождествляется с плотностью энергии электромагнитного поля ан После подстановки (2.5.11) в (2.5.12) получаем ЬТ»,= — (Аа а) (6»,А8 а — 2А» ). 1 8» Рассмотрим величину 67ч» = — ((д[ч А)' — (д1~р)').

8п 1э=Т"= Е~+ Н~ 8» (2.5.8г илн Е' » = — — (Р»чР»ч + 2 (Аа а) ~) 18» и не накладывать на 4-потенциал никаких дополнительных условий. В $2 было показано, что эти лагранжианы отличаются на четырехмерную днвергенцию и приводят к одному и тому же выражению для 4-импульса поля. Поэтому достаточно рассмотреть только второй. Мы видим, что он получается добавлением к лагранжиану (2.2.2) величины АЫ г= — — (А )'. 1 8» (2.5.11) Соответствующая добавка к каноническому тензору энергии- импульса (2.5.3) имеет вид АТ» — Аа» 6» А Я', д (Аа») (2.5.12) Плотность потока энергии совпадает с трехмерным вектором, компонента~ми аоторого являются Т": Я' = Тю = — [ЕН]1, (2.5.9) 4» Этот вектор называется вектором Пойитинга. Величины ам= — Т" ебразуют трехмерный тензор, который называется максвелловским тензором натяжений.

Его составляющие следующим образом выражаются через компоненты Е и Н: оп= — ~+Е;Е + Н Н~ — 61»(Е'+Н')1(. (2.5.10) 1 1 4» ! 2 На физической интерпретации различных компонент Т"" мы оетановимся подробнее в следующем параграфе. Вернемся на время к классической теории поля и рассмотрим вопрос о том, каким образом изменится выражение для теизора энергии-импульса безмассового векторного поля, если в качестве лагранжиана выбрать одно из выражений (см, $2): 1 .ТР= — — А„,,А»» 8» — 2 88а Т~" = Ъ' — я 88» (2.5.14) Определенный таким образом тензор называется метрическим тензором энергии-импульса. Из определения (2.5.14) следует, что метрический тензор автоматически является симметричным. Показано также, что в случае безмассовых полей его след равен нулю.

Вычисление метрического тензора энергии-импульса электромагнитного поля выходит далеко за рамки круга вопросов, рассматриваемых в этой главе. Все же следует сказать, что вычисленный в соответствии с определением (2.5.14) тензор совпадает с симметризованиым каноническим тензором энергии- импульса (2.5.6). $8. ТЕОРЕМА УМОВА — ПОННТННГА Вернемся к уравнениям Максвелла в трехмерной форме (2.1.1) — (2.1.4).

Скалярно умножим уравнение (2.1.2) на Е, (2.1.4) — на — Н и сложим полученные равенства: Ед~Е + Нд Н вЂ” 4п ([Е) — (Н го1 Š— Е го1 Н). (2.6.1) 68 Выражение (2.5.13) не является знакоопределенным. Вклад в полную энергию поля от второго члена в (2.5.13) отрицателен, и энергия поля не является величиной, положительно определенной. Положительная определенность энергии может быть достигнута только наложением условия Лоренца д~~р+ д[ч А = О. Это единственное релятивистски инвариантное условие, обеспечивающее нужный результат. В результате мы возвращаемся к калибровочно инвариаитному лагранжиаиу (2.2.2).