Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 13

мерная плотность распределения распадается на произведение вероятностей перехода (149), удовлетворяющих уравнению (162). Причина этого обстоятельства в конечном счете та же, что и в предыдущем разделе, хотя доказательство сложнее. Случайная функция х(1) при этом будет приближенно представлять собой процесс Маркова, и к ней будет относиться все сказанное ранее о таких процессах. Коэффициент (к, — к) 11т ' =(х) =(огт(к, ! (1))) = К, (х). -.- о Отсюда видно, что, желая вычислить среднее значение (еР(х(1),:.(1))), мы должны принимать во внимание корреляции, существующие между х(г) и $(г), Эти корреляции приводят к тому, что указанное среднее согласно (161) отличается от среднего М(х) =(Р(х, 1(1))), (4.165) 91 К, (х) = М (х) + — К' (х) (4.164) описывает согласно (20), (15) среднюю производную вычисленного без их учета, на величину оо ~ К [ —, Р1 ~6+ о'.. (4.166) (6(х(1,), 1(г',)))=(0(хы 1(1,))) + о Г д0 (х,) +о ) К[ д, Р;(х,)~г( +о'...

(4.16У) В правой части этой формулы усреднение производится без учета указанных корреляций. Среди всевозможных функций Р(х, $) особое место занимают те, которые удовлетворяют соотношению о о ~К[дх ~)~~' ~К[~ дх1~~ (это равенство является в некотором роде условием вре- менной симметрии — симметрии относительно отражения времени (- — (). При его выполнении коэффициент К'(х) может быть получен из К(х) дифференцированием дК (х) дх (4.169) и уравнение (162) записывается в аиде дх ( 1 + $ дх ~ дх + дх ( д ( д г дю д В выражениях (165), (166) аргумент х при усреднении рассматривается не как функция от времени, а как фиксированная величина.

Аналогично при усреднении какой-либо другой функции (г(х(1), $(()) от случайного процесса х(1), удовлетворяющего уравнению (115) при условии х(11) =хь следует учитывать корреляции между х(1) и $(() и пользоваться формулой Если М, К не зависят от времени, последнее уравнение дает стационарное распределение х в„(х)= ехр 2 1 У ду, (4.171) которое эквивалентно (49) в силу (160), (169) и справедливо при тех же предположениях. Соотношения (168),(169) выполняются, в частности, в том конкретном случае, когда х=оР(х, Е(~)) =у'(х)+ д(х) Е (~), (4.172) где 1(х), д(х) — известные функции, а $(г) — случайное воздействие с нулевым средним значением и коэффициентом интенсивности нс (1(())=0, 2 ) (ЕЕ,)с(с=х, (4,173) В этом случае согласно (161) М (х) =Ях); К(х) = д' (х) х.

(4.174) Стационарное распределение (171) принимает вид ш„(х) = — ехр ~ — ) — ду . (4.175) 2 ( У(у) е(х) ~ о 3 ео(у) Можно решать обратную задачу: по заданному уравнению Фоккера — Планка (ЗЗ) находить флюктуационное уравнение (115) для этого случайного процесса. Эта задача, конечно, имеет не единственное решение, Однако, если ограничиться уравнениями типа (172) и дельта-коррелированной случайной функцией $о(г) с нулевым средним значением и единичной интенсивностью (Ео (()) = 0; (ЕоЕо.) = 3 (т) (» = 1) (4 176) то решение будет однозначным. Разрешая соотношения (174) и используя (164), (169), находим 8(х) =)' Ко (х) 7(х) =Ко (х) — — ' (4 177) Произвольное уравнение Фоккера — Планка (33), следовательно, эквивалентно флюктуационному уравнению х=К,(х) — — — '1+~ К, (х)Це(1), (4.178) Уравнению (!15) какого-то более сложного вида может быть поставлено в соответствие уравнение (178), имеющее то же самое уравнение Фоккера — Планка.

Такие уравнения можно назвать стохастически эквивалент ными. Описанное упрощение уравнения случайного процесса путем замены его на эквивалентное может оказаться полезным при решении конкретных задач, и мы этим приемом в дальнейшем будем пользоваться. Рассмотрим вкратце, какую ошибку мы допускаем, отбрасывая в (154), (158) малые члены порядка ев и выше.

Полный учет всех членов привел бы нас к стохастическому уравнению (19), причем коэффициенты К,(х) выражались через г рядом по степеням параметра в, начиная с члена, имеющего порядок е, Члены этого ряда можно находить, применяя использованный выше метод. Наибольший интерес представляют те предельные значения коэффициентов К, (х), которые устанавливаются по мере того, как исчезает влияние начального момента времени га (при г — го)) с„р). Сделаем еще один поледоватедьныя шаг в направлении уточнения формул (159), учитывая при вычислениях члены, имеющие порядок ва, и пренебрегая более высокими порядками. В результате получим. о о Кз — К 1-2зз ) ') К [ —, Р, Р ~дзз)а+ о + 2зз ~ зтт ~ (К [Р, — ', Р,1 + + ( — ') к (Р, Р,) — (Р,) К [Р, — '1) (а; (4,179) о о Кз=З.з ) ) К(Р, Р, Р,) ЫаГ Здесь М, К', К обозначают найденные ранее выражения (161), имеющие порядок е и е'.

В том частном случае, когда уравнение имеет форму (172), приведенные формулы сильно упрощаются, принимая вид хз дл х, д Г дя! К = хзаз 1 — аз —; дд (4.180) Кз = хзз'. < о о о 21 п)~н; =31 (кь6,ырра) Рзссмогрим относительную величину членов, входящих в (179). Учитывая также (161), можно произвести следующую-оценку по порядку величины: 1, дР— К' зз — Рт 4 дх "ов' 1, дзР з г' дР)з К, — и — — К'- — Рзз + з — Рт„о . (4181) Поскольку ( — з)Р ~ ( — ), из (181) можно сделать дзР дР в вывод, что члены с а' в разложении коэффициента гьз меньше, чем член с к в к ~ — ) -.к,р раз. Аналогично можно убедиться, что относительная величина поправки К,— К по сравнению с К, равна тому же выражению.

Вообще поправки высших приближений для коэффициентов К„соответствующие различным степеням параметра к', сходятся в действительности, как прогрессирующие степени отношения ккор дл к дх .кор- (4.182) ко Здесь (4.183) — постоянная времени, которую можно назвать временем релаксации. Малый параметр е был нами введен для того, чтобы сделать более наглядным способ построения последовательных приближений при определении коэффициентов стохастического уравнения.

Фактически во все формулы он входит в сочетании с функцией Р. При решении практических задач известной является вся правая часть еР=Ф уравнения (115) и вводить е нет необходимости. Фактическим параметром сходимости приближений бу- дФ дет величина т„р д Необходимым условием эффективности методов, развитых в настоящем разделе, является соотношение дР д кор (( (4.184) 9.

Система уравнений для нескольких случайных процессов Все изложенное в предыдущем разделе непосредственно обобщается на случай системы уравнений кР (хк» лр д) кР (х д) (4.185) хр=кРр(хо ..., хр, ~) =кР (х, д), определяющей случайные процессы х, (1), ..., хр (д). Выражения в правой части, обозначенные через Р1(х, 1),..., Рр(х, 7), при фиксированных значениях Х„..., хр — известные случайные функции времени.

Выбрав начальные значения х1 Ио) = х1о, (4.186) запишем решение уравнений (185) в виде разложения х1(р) х1о=Нг (хо) =о ~~1(хо 71) оН1+ +,~~~~ ) ооо1 з (хо о1)~ ~т(хо оо) оооо+ (4.!87) т 1 Приращения х, — х1о,..., хр — хр, имеют совместную характеристическую функцию ехр ~1 Х и,(х, — х1о)~) —.— 1+ .'Е (п,(Н, (хо» + ( + — ~1ц(н (Н,(х,) Н (х,» +...

(4.!88) 1,т По аналогии с (150) многомерную плотность распределения, получаемую из (188) обратным Фурье-преобразованием, можно записать п1 (х1 — х„,..., хр — х,) =— = — (1+ Е) о (х1 — хоо) .З (хр — хро) (4 189) где ь = ~~) ~ — зз ) (Н, (х» + 1 + 2 ~~~( дх1)( ах )(Н1 (х)Нт(х»+ .. (4.190) 1,т Из (189) непосредственно следует, что плотность распределения 1в(х1 — хнн ... ) удовлетворяет уравнению тв = Е (1 + Е) ' п1. (4.191) 97 7 Зот д!1 Остается вычислить оператор Е (1+ 7.)-1. Подставляя (187) в (190), получаем 7.= —.~~~ —," [~(Р,(х, д,))а,+ -1- !41,)Х4( ',' ' К„(, 11)91)4- (4Л99( (, (, т + — ~л,! д д ~ ) (Р1(Х, 41) Р~(Х, 42))г441г442+2 и, следовательно 4 = — ~4 — „) (!' ( . 1(( 4- ! +;~ '~;( —,д"-(Х, ~)Р.

(,1)) (г+ !9 + Хд д )(Р(,~)Р.('~)) +22 (,,3) Как и раньше, оператор Е (1+ 7) ' отли шется от (193) ! дя лишь тем, что для него средние ( — Р ), (Р, Р ) заменяются на корреляционные функции К ) д, Р„) Г дР! К [Р(, Р ]. В итоге уравнение (191) с точностью до членов порядка 22 будет иметь вид о ! К(гп К„,(4 ). (4.1941 98 Р х!=7!(х)+ ~ д„„(х)1 (!) (1=1,..., р) (4.195) при соответствующем подборе функций 7!(х), я! (х).

Здесь 1, (!),..., 1р(!) — независимые дельта-коррелированные случайные функции с нулевым средним значением и единичной интенсивностью (1!) =0; (Ц!1~,) =3! 3(т). (4.196) Применяя формулу (194) к уравнениям (195) и сравнивая с (79), получаем при использовании (196) ! 'с~ дкп К!(х) =Л(~)+ — '! д й;.!, т,! К, (х)=~~.',8!!(х)д;(х). ! (4.197) Мы всегда можем перейти от уравнения Фоккера— Планка к (195), если только соотношения (197) всегда могут быть разрешены относительно функций д! (х), 7!(х).

Матрица К=И! ~! является, симметричной и положительно (неотрицательно) определенной. Отсюда вытекает согласно теоремам линейной алгебры, что существует действительная, симметричная неотрицательно определенная матрица 6=1~8! ~~, являющаяся матричным квадратным корнем из первой 1 0=К', (4.198) т. е. 99 Здесь при вычислении среднего (Р!) и подынтегральных корреляционных функций аргументы х„..., хр следует считать фиксированными. При ! — с, )) ~„,р нижний предел 1„— ! можно заменить на — ю. Мы видим, что при выбранной точности рассмотрения уравнения (185) эквивалентны многомерному уравнению Фоккера — Планка (79), Покажем, что, наоборот, всякое уравнение Фоккера — Планка может быть заменено на систему флюктуационных уравнений Вследствие симметрии д;„,=д „последнее равенство совпадает со вторым равенством (197). Тем самым функции д,, а следовательно, и 7г(х) = К, (х) — 2 ~ ~ ~х ~зп' (4.199) 1'ь~ дяп всегда могут быть определены.