Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 17

(510) Рассмотрим несколько примеров. 1) Пусть ь(1) нормальный дельта-коррелированный процесс с нулевым средним значением. Подставляя в (6) корреляционную функцию А,(т) = Кй(т), находим Р1(Г) =КГ. (5.11) Следовательно, приращение за время Г описывается рас- пределением пГ(1) = ' ехр $' 1 Вследствие дельтаобразного вида корреляционной функциий, (т) приращения процесса $(Г) на неперекрывающихся интервалах времени являются независимыми.

Поэтому $(1) есть процесс Маркова с вероятностью перехода 1 Г ($ $)2 1 р(1„1) = ехр [ — ". < ). (512) Описанный нормальный процеос с независимыми приращениями иногда называют процессом Винера, Согласно формуле (10) приращение (5) имеет корреляционную функцию й,(г„гэ) = ~ [1, + Г, !г, Га!), (5.1З) 2) Предположим теперь, что стационарный процесс ЦГ) имеет спектральную интенсивность Я [1, а! =аи' ", (5.14) где 0 (а( 1. Применяя формулу ~ е " иа — 'Г( =(1т) — "Г(р), о 12$ для данного случая получаем = — СОЗ1 (2 — а) — "1 Г (2 — а) 2" (5.15) (т) 0) или, пользуясь формулами преобразования гамма-функции, 4 Г(а — 1) Мп— 2 2 — а й,(0)- ," 1' (а — 1) а!и —, (5.17) При а - 1 процесс ~(() переходит в дельта-коррелированный шум, а в том случае, когда а = О, формула (!5) дают Уг2(') = — 2 —,, (~ >0).

(5.18) 127 При нулевых значениях т найденное выражение несправедливо, однако из него видно, что вблизи нул6 функция А (т) принимает неограниченные значения. Включая в рассмотрение |нулевую точку т = 0 к выражению (16), следовало бы добавить дельтаобразный выброс типа сб(т) (с бесконечным коэффициентом с). Бесконечная дисперсия Вь = Я2 (0) в данном случае имеет ту же природу, что и бесконечная дисперсия дельта-коррелированного шума. Она обязана наличию в 3(~, е2) спектральных составляюших высоких частот.

Поскольку в реальных процессах практически отсута ствуют спектральные компоненты с частотой, превышающей некоторую верхнюю предельную частоту е2„ то их дисперсия конечна и по порядку величины равна Переходя к вычислению дисперсии интегрального процесса ~(1), воспользуемся формулой (8), Учитывая (14), (16), при этом получаем — Ш (1) (5.19) (» — 1) Г (» — 1) 51п 2 Интегрирование при условии (9) дает Ы(5) = — (0<» < 1). (5.20) Г (»+ 1) Мп Случай а = 0 нуждается в особом рассмотрении.

Согласно (8), (18) имеем » 1 — 1)5(1) = — —. »5 и (5.21) Повторный интеграл расходится, причем формально ре- зультат интегрирования можно записать 01(1) = — (!п 1 — 1п 0). (5.22) Ы (г) =- — !п а„1 (а =- 0). (5.23) Зная дисперсию, можно найти корреляционную функцию приращения $(1) за время й Согласно формуле (10) получаем Я5(~„~5)= — ' „(0<»<1). (5.24) 1 (»+1)51п 2 й5(1,, 15) = — )п ~ ' ' (»=О). (5.25) 12$ Бесконечные значения !п 0 обусловлены высокими частотами. Если ввести в рассмотрение верхнюю предельную частоту 55„ то интегрирование выражения (21) 1 следует производить не от нуля, а от — до 1. Поэтому »в формула (22) заменится на равенство Если теперь зафиксировать разность (з — (~ = т и устремить к бесконечности время 1 = .

', то, как й+ 1а 2 видно нз полученных выражений, корреляционная функция не будет стремиться к конечному пределу, так что процесс $(1) не является процессом установления, Однако при условии т(<2 выражения (24), (25) можно несколько упростить. Производя разложение в ряд Тейлора по т, убеждаемся, что (~+ ~) +(~ — — ) = 2г" + 2' —,+... (О < а < 1), 1и (~+ 2 ) + 1и (~ — 2 ) = 2 1и Ю вЂ” 2, +...

(а = О). й~(ь 2 ' а+ 2) 4 а ' (5.26) Г( +1)ыв (0<а<1), я1(г — 2, г+ ~)= 2 1и —" (а=О). (5.27) Если бы интегральный процесс $(1) был стационарным, то он имел бы спектральную плотность ш2 ~' ) !+и' (5.28) Отметим, что корреляционным функциям й1(т) = С вЂ” 4 Г( +1) мв й1 (т) = С вЂ” — 1и т 2а (5.29) соответствует именно такая спектральная интенсивность при любых постоянных С.

Правда, для идеального процесса, для которого зависимость (28) справедлива ве всем диапазоне частот вплоть до нулевых постоянная 6 должна быть бесконечна, чтобы удовлетворить требовн- 9 За. М1 129 г а ~2-а Следовательно, с погрешностью порядка т'1 — ) имеем Ь) а ю а Ф1(х) =— г( + Вмп й,()= —," 1п — "'; ( =0). Вследствие сказанного процесс оо спектральной ин- 1 тенсивностью (28) при времени наблюдения Г(— о'Н можно интерпретировать как нестационарный процесс с корреляционной функцией (26), (27), а при времени 1 наблюдения 1 ) †эт процесс следует представлять ан как стационарный процесс с корреляциовной функцией (30). Различие между этими случаями сводится к различной интерпретации постоянных С в формулах (29). (5.30) 4.

Периодически нестационарные случайные процессы В то время как статистические характеристики стационарного процесса согласно (2.1) не меняются при произвольном сдвиге времени (замене 1 на 1+а), характеристики периодически нестационарного процесса не изменяются лишь при сдвиге на величину а, кратную периоду Та, т. е. при а = пТо (и' — целое число).

Вследствие этого плотности распределения, моментные и корреляционные функции периодически нестационарного процесса зависят не только от разности времен, но и от абсолютного времени, однако последняя зависимость является периодической, Представляя ее тригонометрическим рядом, среднее значение и корреляционную функцию можно записать г т(~)= ~ т„е г=т,+2це~ т„е г (5,31) л а=1 нию положительной определенности корреляционной функции Ф1 (т).

Для реальных же стационарных процессов, для которых зависимость (28) имеет место лишь для не слишком малых частот ы ) а„, а при меньших частотах га < ы„стремится к конечному значению по- а рядка —,, постоянные С в (29) конечны и зависят Н от о„, Указанные формулы при этом записываются в виде А(1 — —,, 1+ Я=й,(т)+2це ~~~~ Ф„(т) е г . (5.32) и=1 Здесь т„и А„(т) в общем случае комплексны (т „= т„*). Если произвести сдвиг времени на величину О ( а( Та, то случайная функция $,(1) = $(1+ а) по своим статистическим свойствам будет отличаться от исходного процесса $(1). В общем случае (1,(1)) =т(1+ а) Ф т(1); (1,(1,)1,(1,)) = =тз(1,+ а, Ц+ а) чь тз(1„, Цз); Пользуясь радиотехническим языком, можно сказать, что процессы $(1) и В,(1) имеют различную «фазу». Для некоторых радиотехнических устройств фаза периодического процесса является весьма существенной, такие устройства можно назвать когерентными.

Для других— пекогереитных — устройств фаза процесса несущественна, так как они не реагируют на нее, производя усреднение по времени. В последнем случае периодически не- стационарный процесс можно заменить на стационарный, соответствующий случайному разбросу фазы. Чтобы показать, как это делается, рассмотрим случайную функцию $(1) = $,(1), где фаза а полагается случайной величиной, статистически независимой от з(1) и имеющей равномерное распределение та(а) = — при О(а(Т,.

1 т, Найдем среднее значение т и корреляционную функцию й указанного процесса. Производя сначала усреднение по $(1), а затем по а, имеем то т = (т (1 + а)) = — ~ т (1+ а) Ыа; а 1 1" т,Я, 1,)= — ) т,(~,+а, 1,+а)На. а 131 Р;и тзА ~з)=,~~ т„т „е " г' +йо(~, ~з) (5.33) Вычитая «Р, находим корреляционную функцию й(т) =2~ ~т„~'соз '".' +й,(т).

(5.34) Аналогичным образом усреднение по фазе можно провести для моментных функций более высоких порядков н для плотностей распределения. Для двумерной плотности распределения, в частности, имеем тв(Ео Ем Цз — г,) = — ~те~(Е„Е„~, +а, 8~+а)йа. (5.35) В результате подобного усреднения остается зависпмость лишь от разности времен, так что процесс я((), действительно, является стационарным. Найденные формулы можно применять н в том случае, когда исходный процесс $(Г) является периодическим, но не случайным. Взяв в качестве примера Е(1) =Айна,1= —,. (е' ~ — е ' ~), (5.36) имеем 2п А Т,=.—, т, = —., то=та=...

=О, ля=О. шо' 2ю'' Формула (34) при атом дает А' й(т) = —,сова,т. 2 Функции (36) соответствует двумерный закон распределения то~(Е, Е', ~, ~') =Е(Š— Азу~о,т)В(Е' — Аз1п~,Ю'). 132 Записывая здесь т,(1, г') в форме т,(г)т,(1') + + й (г, 1') и подставляя (31), (32), получаем после интегрирования т=т„ Подставляя его в (35), находим двумерное распределение стационарного процесса 1(1) =А з1п (в,1+ в) (Т= = в,а) со случайно распределенной фазой тв(1 1в т) = (2кУ А' — 1Я '!В(1з — !, созвот— — )/А' — 1,' Мп вот) + 6 (1, — 1, соз в,т + (5.37) +)ГА' — 1,змпв,т)] = — ~з1пв,т(В(~,з+ 1 + 1~' — 21,(, соз в,т — А' з1п' в т).

й 6. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ТОЧЕК И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ В связи с развитием радиосвязи, автоматики и телемеханики, а также других областей радиотехники широкое применение получили импульсные сигналы, причем положение импульсов, их длительность или другие параметры часто являются случайными. Между различными импульсами могут существовать корреляции разного рода, Для рационального конструирования радиоаппаратуры нужно знать результирующие статистические характеристики случайных процессов, получаемых при наложении подобных импульсов. В настоящем параграфе мы уделим основное внимание задаче вычисления спектральной плотности последовательности импульсов. Излагаемая здесь теория случайных точек может быть применена не только к импульсным сигналам, но и в других случаях, когда случайный процесс распадается на дискретные элементы или события, например в статистической теории взаимодействия многих частиц 1.