Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 14

Для вычисления ((д, ~! можно воспользоваться ортогональным оператором (7=(~ио((, приводящим К к диагональному виду (7К(У-1 — (! К;3, ~(, (К; >О). (4.200) Тогда (4.201) При помощи и;, уравнения (195) можно записать в форме, разрешенной относительно флюктуаций, Учитывая (201) и применяя к (195) преобразование К будем иметь Хипх! —.~~илД+ 3'К,'ъи; (~). (4,202) 1 Здесь ч;=~и,Д (1=1, ..., р) — система случайных l фуньцил, совершенно такая же, как !;. Она удовлетворяет тем же самым условиям (196). Любая система уравнений (185) в диффузионном приближении (соответствующем пренебрежению членами порядков е», е', ..., в стокастическом уравнении) может быть заменена на эквивалентную, более простую систему (195) или (202).

Такую замену мы называем «упрощением». 1О. Нормальные процессы Маркова Среди марковских процессов наиболее простыми являются те, которые описываются уравнением Фоккера— Планка (79) с линейными функциями Кг(х) = Рь„х„+ Ь, (7=1,..., Р) (4.203) и постоянными коэффициентами Кь,.

тоо В соответствии с формулами (195) и (197) указанное уравнение Фоккера — Планка эквивалентно флюктуационным уравнениям хс+~~'„~с х„= Чс(1), т (4.204) где ч,Я=Ь,+'.Ра,„( Я (4.205) гауссовы случайные функции, обладающие свойствами ( с) =Ьс, К Ьс, ч,[ =Кс.Р(к). (4.206) (4.207) Здесь Ь(см) — детерминант, а Ьс (см) — алгебраические дополнения указанной матрицы. При этом имеем 'т,х дсч(с ) Ч д (сш) (4.208) Последнее выражение позволяет найти спектральную плотность Ъ с д)с (ы) д, (!ю) 5 [х., хд, м[ = 7„ д ,,(, 5 [с)„ 'с),м]. (4,209) с, ги Но вследствие (206), а также (2.54), (2.12), имеем 5 [с)с, с) [.=2Кс„,+4к(ссЬ„,сс(м). 101 Система линейных уравнений (204) всегда может быть решена, в результате чего х, (к),..., хр(1) линейным образом выражаются через известные случайные функции пс(Е)...

с).(~). Процессы хс(г), ..., х„((), следовательно, будут нормальными, и их статистические характеристики определяются без труда. Задаваясь целью вычислить спектральную плотность процессов кс,...,хр, заыеним в (204) оператор дифференцирования на с'д и найдем матрицу, обратную матрице Если, в частности, положить /=й, то для спектральной плотности процесса хт(() (не содержащей среднего значения) получим выражение Б (х~ — (х ), в] = = 2 / Ь (пь) / ' ~~.", Ьд (пь) Ь' ()м) К,„. (4.210) ь т В числителе и знаменателе здесь стоят полиномы ог ыз. Подобные процессы носят название процессов с рациональной спектральной плотностью.

Мы показали, что нормальные процессы Маркова имеют рациональную спектральную плотность. Справедливо и обратное: всякий нормальный процесс с рациональной спектральной плотностью может быть представлен как компонента многомерного процесса Маркова. Это обстоятельство существенно с принципиальной точки зрения по той причине, что спектральная плотность всякого реального процесса всегда может быть аппромсимирована с той яли иной точностью рациональной функцией. Следовательно, реальный немарковский гауссов процесс приближенно можно представлять как компоненту многомерного процесса Маркова.

Увеличение числа составляюцгих последнего позволяет добиться большей точности аппроксимации. Указаннгяй вопрос затрагивается также в разделе 12, Рассмотрим подробнее простейший процесс с рациональной спектральной плотностью. Этот процесс, который одновременно является стационарным, нормальным и марковским, играет большую роль в теории флюктуаций, и мы будем его называть экспоненциально-коррелированным, Такое название станет понятным, если принять во внимание выводимую ниже формулу для его функции корреляции. Для одномерного процесса согласно (204) имеем х+ рх=ч, (4.21 1) причем Й) =й КЬ, ч,)=Кь(т). Формулы (208), (210) в этом случае имеют вид х=— (4.212) 2К 2К 8 [х-(х), а) = Рассматривая процесс установления, выберем начальное условие хИо) = хо (4.213) при котором уравнение (211) имеет решение х(1)=х,е ~' "'+) е ' 'ч(а)г(а. (4.214) +) е '" "Ыа= р+(хз — й)е ' " * (4.215) ос К [х ((,), х (1,) [ =- ~ ~ е '" ' ' '-' Кь (а — а,) г(а г(а,.

Если для определенности положить 1.,— 1, > О, то К [х(1,), х((а)[ = ( -щи+а — еп К ~ — ць-ь~ — яь~-ь — 2!л[ Вообще По мере удаления от начального момента времени (о, устанавливается, как мы видим, стационарная корреляционная функция ь(т) =оя)с(с); а'= — ', Д(т) =е ~'~, (4.217) 2~ ' соотвегствующая спектральной плотности (212). В процессе установления согласно (216) дисперсия меняется по закону Пх (() ~з [1 Я~ (~ — (,) [. (4.218) Отсюда получаем среднее значение и корреляционную функцию (х (1)) = х„е г к '~ + Поскольку процесс х(!), как и о)(1), является гауссовым, среднее значение (215) и дисперсия (218) полностью определяют одномерный закон распределения то(х) =)р,, (х, хо)= . — — = ехр' — '" 1 ( (х — и — (хо — т) д)М (4,21о) о р' оо (! — )оо) ( аоо (! ))о) Последний соответствует условию (213) и, следовательно, есть пе что иное, как марковская вероятность герехода (4), через которую может быть записано произвольное многомерное распределение (6), если выбрано начальное распределение.

Формулы (215), (216) являются частными случаями общих формул (3.26): Позтому распределение (219) определяет условное распределение и!(х(1)~хо) при любом гауссовом стационарном процессе. Но строить из него многомерные распределения можно лишь в случае зкспоненциально-коррелированного процесса, когда Р (т) = е '''!. 11.

Флюктуационное уравнение второго порядка и решение двумерного уравнения Фоккера — Планка в частных случаях Во многих задачах исследуемый флюктуационный процесс х(!) удовлетворяет уравнению второго порядка, х=гт(х, х, 1(1)), (4.220) где!(!) — случайная функция с достаточно малым временем корреляции о„р. Введя время 1= —, зто уравооор нение можно записать оих ( 1 ох Нх : = окору А !04 ду — = к„~рР (х, у, '), др (4.221) те(х,х) = — х — та — — ~(Р) + ~ К вЂ ,, Р, о(к~ та + о 1- — ". ~ 1 к!к ко ш.

~ . (4.222) Разберем несколько частных случаев. Л. Пусть флюктуационное уравнение имеет впд укх+ х — У(х) =1(~), (4.223) где а(1) можно считать дельта-коррелированным (ЗЗ, = =кб(т)) случайным процессом с нулевым средним зна- чением. К такому виду, очевидно, можно свести несколь- к о более общее уравнение ах + Ьх = у (х) + а (1). (4.224) Если (223) записать в форме Гкх=у, 1у= — У +)'(х) +1(1), то соответствующее уравнение Фоккера — Планка бу- дет ~(х, У)= — — ГУ дх -т У (х) — ~+ 1 Гд, к дкм1 + — ~ — (У~)+-ь — ~ 1кк ~ ду 2 дук 1' (4.225) 105 Ах если обозначить х= — — у. ккордг Малое время корреляции т„,р в правой части (22!) играет роль малого параметра е, присутствующего в правой части (185) и позволяющего перейти от флюктуационных уравнений к уравнению Фоккера — Планка (194). Перейдя к первоначальным обозначениям к, 1= = гт„,р, это уравнение можно записать Оно позволяет получить следующие результаты.

1. Легко проверить, что указанному уравнению соответствует стационарное распределение тв„(х, у) =сопз1ехр — — "+ — ~ 7"(г) Ж, (4.226) уа 2 4" х, обращающее в нуль каждую из квадратных скобок в (225). Вытекающее отсюда распределение по х к ( )=2 Р( —,)7'(*)В ) (4227) к, не зависит от 12 и совпадает с распределением одно. мерного процесса Маркова, описываемого уравнением х=7(х)+$(1). В самом деле, уравнение х=1(х)+$(1) соответствует частному значению 12=0 в (223), оно совпадает с (172), если положить|==1. Поэтому, естественно, стационарное распределение (227) совпадает с (175) при д= — 1.

Стационарные распределения (226), (227) существуют при тех же ограничениях на функцию 1(х), что и в случае одномерного процесса Маркова, Для уравнения в форме (224) стационарное решение (226) имеет вид п)„(х, х) = „7 „( '4~4.24 ()т()В 4.(2) )), (4222) к, где = ) К[К(1), 6(В,И 1' 2. Для отыскания нестационарного решения уравнения (225) представим ц)(х, у) в форме разложения а~(х, у) =,'~4 Т „(г) Х (х) 1'„(у) (4.229) по собственным функциям х„(х), у,(у), которые удовлетворяют уравнениям —, — — — (7'(х) Х (х)) .+Л Х„(х) — О, (4.230) 106 д» + д [у ~»(у)1 + Л»'~ лЫ =0 (4.231) и условиям ортонормированности (5б) Х (х) Х„(х)+=3, ~ Г„(у) К»(у) — „" =»„».

Подставляя (229) в (225), находим т,л +у'(х) Х У'„'[ — ,'~Л„'т „Х У„. Пользуясь равенством Х 'уУ„+у(х) Х 1'„'= =Л ) Х АУ„' — Л„'Х ') )'»оу, вытекаюнлим из (230), (231), преобразуем основное 1равнение к виду ;;( т.„+л„т.„)х.)„= »ь а =и Хт,„[Л„'Х ') )'„ау — 1„) Х Ь)'„'[. Для функций Х (х) равенствами Х»' (х) = ~~.", Х (х) а», ~ Х»(х)Ых=~ Х (х) Ь„» (4.232) (4.233) введем коэффициенты разложения ,, с'х а,„»=~Х„Х»' —., о (4.234) Ь„»=~Х [[ Х г(х) —, 107 которые, очевидно, обратны друг другу: ~~.',а„»6»,=6,, » Подобные коэффициенты можно ввести и для функций 1»(у) Уравнение (231) совпадает с уравнением (66). Поэтому оно имеет собственные функции (69) Г„(у) = )(' †„ =Р("+(>~ )/ †„ у) (4.235) и собственные значения >,„' = и. Следовательно, ".(у)=1' — ',.)" +1К - (у) (4.236) (у) ((у = 1 2 ~„— 1 -( (у).