Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 11
Текст из файла (страница 11)
При коэффициенте К, не зависящем от хь ..., х, условия (69) сводятся к условиям потенциаэгьиости фету' гд С, а„..., а — произвольны. После этого искомая стационарная плотность распределения выражается фор- мулой Сказанное выше обобщается также на тот случай, когда матРица 5К,за не кРатна единичной (81), а пРонзвольна. Отсутствие потока вероятности теперь выражается равенствами (га = Л'чтпст 2 ~и~и~ д [батист) = О (4 9О) з г з Полагая пст - е, отсюда находим — и 'З дх дх (4 о4) дУ Раэрепгая эти уравнения относительно производных †, получаем дхВ д(' — ~~)~~ ~~ А 'з — 2 ~~ А К т а (435) где г, А ~! — матрица, обратная,' К 1 УА„К„= а Из (95) следует, что условие потенциальности теперь имеет вид — '(Л вЂ” аь --2К )— — — 2К ) о.96) (Т 5=1 ° гп).
При выполнении этого условия и прн нулевом потоке через травину опйввнывается предипхджпнне о полном отсутствии по- 75 ляряого смещения, или, по другой терминологии, регулярной силы: дК, дК (4.92) тока вероятности, н можно находить плотность распределения пу. тем вычисления потенциальной функции с) по ее градиенту (95). Прн этом нужно, чтобы матрица аКвт й была невырожденной н имела обратную матрицу. Независимо от условий потенциальности, решение уравнения Фоккера — Планка упрощается также в том случае, когда К,,..., К вЂ” суть линейные функции от аргументов х„,, х, а функции К„в не зависят от ннх.
6. Задачи, связанные с достижением границ Аппарат процессов Маркова позволяет получить решение ряда задач, касающихся переходных процессов, К таким задачам относятся задачи, связанные с дости. жением границ. Остановимся иа одномерном случае, Пусть областьюрассмотрения будет отрезок х) < х < ха, Предположим, что задано начальное распределение Ри ), ))=,)*); (),) )Ш =1) )497) для значений х(1е) марковского процесса х(г).
Будем интересоваться временем т„„, когда функция х()) в первый раз достигает граничного значения х = х) или х = х,. Зля каждой реализации первое достижение происходит в разное время, поэтому время «жизни» (4.98) является случайной величиной. Поставим своей целью вычислить хотя бы среднее «время жизни» ( т„, ') . При этом мы ограничимся случаем, когда коэффициенты Кь Ке в уравнении Фоккера — Планка (33) не зависят от времени Условимся исключать из рассмотрения реализации случайного процесса х(т), как только они в первый раз достигнут границы х) или ха. Остающиеся реализации мы будем описывать плотностью распределения щ(х, г), задающей вероятность дР = тт) (х, й) Ьх -ь- Ьхэ...
(4.99) того, что в момент ( на отрезок от х до х+Лх попадает значение х(() кривой, ни разу не достигнувшей границы в течение вснго времени от ге до й Суммирование таких вероятностей даст вероятность к, Ю'(Т) = ) «в (х, Т) Их (4.100) того, что функция ни разу не достигнет границы за время от 7«до й В первое время, пока еще ни одна реализация не успела коснуться границы, плотность вероятности ш(х, Т) в (99) совпадает с начальной плотностью (97), так что (4.101) В последующие моменты времени условие нормировки нарушается, так как все больше и больше реализаций выпадает из рассмотрения вследствие прикосновения л границе.
Рано или поздно все траектории коснутся границы и мы будем иметь Ю'(со) = О, (4.102) 77 Внутри области рассмотрения плотность вероятности ш(х, г) изменяется в соответствии с тем же самым уравнением Фоккера — Планка (33) или уравнением сохранения (35), ибо изображающие точки не могут выпасть из рассмотрения, находясь внутри области. Они выпадают лишь при достижении границы и на границе имеется отличный от нуля поток вероятности — поток точек, «прилипающих> к границе.
Граничные условия, следовательно, должны быть подвергнуты кардинальному изменению, Как отмечалось выше, производная Ых(г)/Ж марковского случайного процесса имеет бесконечную дисперсию. Это означает, что мгновенная скорость перемещения изображающей точки бесконечна. Конечность смещения за конечное время объясняется тем, что скорость беспрестанно с неограниченной частотой меняет знак и движение происходит вперед и назад. Если случайная функция имеет значение х в момент й то в самом ближайшем прошлом она заведомо имела значения как большех,так н меньше х, Поэтому вблизи границы в момент Т ) Т« практически отсутствуют траектории, еще ни разу не коснувшиеся границы.
Но плотность вероятности в(х, Т) описывает именно такие траектории, следовательно, она обращается в нуль на границе тв (х„1) = ю (х„1) = 0 (~ > (о). (4.103) Подобные нулевые граничные условия типичны для задач, связанных с первым достижением границы.
Начальное и граничное условия (97), (103) однозначно определяют в(х, ~) как решение уравнения Фоккера — Планка (33). После вычисления ю(х, () можно найти вероятность ж' ((о) — (Р'(~) = 1 — )б'(~) (4.104) того, что первое достижение границы произойдет в течение времени от (о до й Дифференцируя это выражение, находим плотность вероятности тв (сло-) = — —,о,— (1о+ слос) (4 105) для времени (98).
Последняя позволяет найти среднее время «жизни» лос > =,) ссссо()" (го+оооо) = ~ )р'(1) й'. (4,106) 'лос Здесь произведено интегрирование по частям и учтено (102). Если в качестве начального условия выбрать фиксированное значение координаты оио (-") — о ( с хо) то в(х, г) будет совпадать с вероятностью перехода р„, (х, хо), которая удовлетворяет уравнению (36) с граничным условием рн (х, хо)=0 при х=хо хл (4.101) Кроме того, это равенство выполняется при хог хь хь так как в этом случае достижение границы произойдет в первый же момент и все реализации выпадут, Вероятность перехода также удовлетворяет уравнению (39), 78 Рассмотрим среднее время достижения М (хо) = (сдо,) = ) Ж'(1, хо) сй, (4,108) са где %'(1, х,) = ) р„ (х, х,) о(х, (4,109) к, как функцию от начального значения хо, Чтобы найти уравнение, которому удовлетворяет М(хо), проинтегрируем уравнение (39) по х от хс до хь Вследствие (109) это даст =Кс(хо) д + Ко(хо) д о ' (4.110) д 1с' д 'ссс 1 ос Ф' Проинтегрируем теперь последнее уравнение по 1 от 1о до с и, учитывая (108), (101), (102), будем иметь — 1 =К, (хо) ~ + —,К,(х„) — „, .
(4.111) Если исходная точка хо находится вблизи границы, то первое достижение границы произойдет немедленно и среднее время достижения будет равно нулю, Это дает следующие граничные условия для уравнения (111): М (х, ) = М (х,) = О. (4.112) Решение уравнения (111) уже может быть записано в общем виде. Это позволяет находить среднее время достижения (106) при произвольном начальном распределении (97), минуя решение нестационарного уравнения Фоккера — Планка (ЗЗ).
В самом деле, подставляя выражение я (х, 1) = ) рн (х, х,) яо (хо) Ыхо к, в (100) и (106), мы получим после использования (108), (109) .с, (тоос) = ~ М (хо) тес (хо) ггхо (4 118) .сс Если для примера взягь К,=О, Кю=сопз1, то решение уравнения (111) будет М (х,) = — — х,'+ С,х, + С, 2 гСю или, после использования граничных условий (112), М (х,) = —,. (хю — х,) (х, — хю). (4.114) 2 В более общем случае, конечно, результат более сложен, но всегда может быть выражен через несколько интегралов. Другой подход к задачам, связанным с достижением границ, излагается в 5 10 (равд. 3) и В 11.
7. Замена реального случайного процесса процессом Маркова. Частный случай Всякая реальная случайная функция, встречающаяся в радиофизике, в отличие от точного марковского случайного процесса удовлетворяет определенным условиям плавности изменения, дифференцируемости и т. п. Тем не менее, в некоторых случаях ее можно трактовать как процесс без последействия. Рассмотрим, при каких условиях и на каком основании это можно делать. Пусть случайный процесс х(1) возникает в результате воздействия случайной функции $(1) на систему, поведение которой можно описать уравнением первого порядка х = юг" (х, ! (1)), (4.115) где г'(х, з) — известная функция аргументов х, $, а также времени; е — малый параметр, Функцию $(1), описывающую внешние флюктуационные воздействия, мы будем предполагать стационарной и имеющей конечное время корреляции т„,р. Уравнение (115) будем называть флюктуационным уравнением. Начнем с того частного случая, когда функция г'(х, ~) явно не зависит от времени и от х.
Поскольку г'($, (1)) можно взять за новую случайную функцию, то без дальнейшего ограничения общности можно полагать (4.116) ао Взяв в качестве начального момента времени г'=О, запи- шем решение последнего уравнения так х (1) = х (О) + и ) 1(1') Ж'. (4,117) о Если начальное значение х(0) =х, не случайно, то кумулянты Й, последнего выражения получаются интегрированием корреляционных функций Й,(1о ..., 1,)~ процесса 1(1) по формуле й,=и') ...
) йх(1о..., 1х)~И,...М„(з> 1). (4.118) о о Это позволяет найти характеристическую функцию случайного приращения х(1) — хи. Дифференцируя' ее по времени, получаем следующее дифференциальное уравнение Найдем соответствующее ему дифференциальное уравнение для плотности распределения — ~и ~х — х ) та (х — х„1) = 2„~ е '" гх "ЛВ (и, 1) Ыи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
