Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 7
Текст из файла (страница 7)
ЗаДаЧа ВЫЧИС- пения обратной матрицы эквивалентна задаче решения системы уравнений й, (гп й) у, + й, (й, 12) уа,— ... + й, (ть Гл) ул ла х, йз(гл 6))У!+й (Г ° Га)Уз+ "+й Рю й)Ул=х. (3.17) Разрешив последнюю систему относительно у„..., ул, т.
е. получив л У„=Х а„эха("=1 и) (3.18) а=1 мы легко могли бы найти квадратичную форму ~', а„а [ф— й) (С„)[ Х Х [Еа — А) (га)1, стоящую в экспоненте выражения (3). для этого было бы достаточно образовать сумму 2т(х)=~~~~ ху =~ а хха а=1 а,2=1 (3.19) И ПОЛОЖИТЬ Х 6 й (Гл) Описанный прием пригоден независимо от числа выбранных моментоа времени и сохраняет свой смысл при их безграничном уплотнении. Прн этом конечная плотность распределения шл[й(()), ..., й(гл)) переходит в функционал вероятности. 2.
Условные корреляционные функции нормального процесса Пусть известен ряд значений $(Т)), й(Т2), , ь(Т,) случайного процесса $(г) в некоторые моменты времени Т), Та,... Т,. Эти сведения изменяют первоначальные данные о случайном процессе, в частности его корреляционные функции или законы распределения. Новые, из- 44 менявшиеся корреляционные функции и плотности вероятности будем называть условными (или апостериорными) в отличие от первоначальных безусловных (или априорных). Можно сказать, что в результате задания точных значений случайного процесса мы имеем другой апостериорный случайный процесс, описывающийся другими статистическими характеристиками, Следует отметить, что апостериорный случайный процесс всегда является нормальным, если априорный процесс нормальный. Согласно формуле (1.39) условная плотность распределения случайных величин 1(1,),..., 1(1 ) при заданных значениях 1(Т,),..., 1(Т,) определяется равенством тв (1(/,),..., 1(1а), 1(Т,),..., $ (Т,)) = = — тва~,(Е(1,),..., 6(~„), Е(Т,),, Е(Т,)), (3.20) 1 где — — нормировочный множитель, не зависящий от М $(С,),..., 5(га).
Преобразование Фурье по переменным $(~,),..., 6(~ь) дает условную характеристическую функцию Вт,„(и,..., и„)= — Оехр (1 ~„'и„!(1„)~ Х а 1 Хтг„+ф(~,),, Е(~~), Е(Т,),..., Е(Т,))(Ж(~,)...МЦБН,). Последний интеграл можно преобразовать и выразить через априорную характеристическую функцию совместного распределения значений 6„„(и„..., и„) = Л,(~ ,~...') ехр ~ — 1~~1 в„1(Т„)~ Х а ! Х 6„, (и„..., и„е„..., о,) сЬ,...
~Ь„(3.21) ибо она связана с тоьь,((! (~,),...,1(Т,)) (А+ г)-кратным преобразованием Фурье. В последней формуле множи! тель ~ определяется из условия 6„„(0,..., О) =1. Вычисление интеграла (21) совершенно аналогично вычислению интеграла (2). Разница лишь в том, что те- перь ииеется дополнительная зависимость от и1, ..., иь как от параметров, Характеристическую функцию, входящую в (21), согласно (1) можно записать в виде йа+,(и„..., иа, о„..., т1„)=ехР~1 ~ Ф1(1.)и„+ а=1 -1 С ~л~~ Й1(ТВ) Ф9 2 ~л~~~ А2(~а ~9) пан6 + 1 «,~ 1 ь Г + 1' )~~,)~~ Й1(т„Та) наФр — ~ ~, А,(7«, Тр) т1«оа~. (3.22) а-11-1 «,В1 — — й,(~„, уи„и,~ — — ~~~ о, ~цт,) — 11,(7«)— 1 ч-1 1 т-с а,~ 1 2 — 1,ай,(7„1,) и, ((Тр) — А,(тр)— а 1 — 1,'~, 'Мв(Тм 1,) и, (3.23) 1-1 а 1 Множитель(2п) 'Пе1 '1И,(7., 7~)(~отнесен к множи- 1 телю —,, не зависящему от и1,..., и,.
В то же время, если ввести условные корреляционные функции К1 (1)„А1(8, 8'), условную характеристическую функцию (23) можно записать в форме (1) В „(и„..., и„) =ехр ~1 ~~~11(1„) пав а 1 1 Ю вЂ” —, Д ~1(~., ()пап,). а 1 1 (3.24) 46 Обозначив через!/а„р'! матрицу, обратную корреляционной матрице 111,(Т„, Тд)~/, из (21) по аналогии с (3) будем иметь В„,„(и„..., и„) = —, ехр ~1 '~, Й1(г„) и.— 1 а 1 Приравнивая порознь линейные и квадратичные формы от переменных иь ..., и„в экспонентах выражений (23) и (24), находим условные корреляционные функции Г Хг(Р)=йг(Р)+~ йз(Г, Т„)а„р[Е(Тр) — йг(Тр)], (3.25) г Йз(1, 1')=йв(з з') — Хйз(з, Т.)а рйз(Тр, з').
а,р т Последние полностью определяют апостериорный случайный процесс, как всякий гауссов процесс. Рассмотрим для примера стационарную случайную фУнкцию йг(1) = т, йз(г, 1') = оз)с(1 — 1') и зададим ее значение в некоторый момент го. Тогда в соответствии с формулой (25) будем иметь следующее условное среднее значение и корреляционную функцию йт (Р) = т + й (Р— Ра) [с (Ра) — т] (3 26) й,(1, 1') = " Р (Р— у ) — В (Р— Р,))~ (С, — Р')]. Приравнивая времена в последнем равенстве, получим условную дисперсию [Р1(з)]у„— о' [1 — ззм (з — з )], (3.27) Апостериориый случайный процесс является существенно нестацнонарным. С приближением к точке го статистический разброс значений й(г) постепенно уменьшается до нуля вследствие того, что )с(г — ро)- 1 при г — рв — О.
При бесконечном удалении от точки го с фиксированным значеи~иелз случайной функции коэффициенткорреляции Й(1 — гв) исчезает и вместе с тем пропадает различие между априорным и апостериорным процессами, Формулу (25) можно применять также в том случае, когда задается непрерывная реализация случайного процесса на целом интервале О <Г< Т, 3. Негауссов случайный процесс и квазимомеитные функции Когда отличны от нуля корреляционные функции более высокого поРЯдка цз(гг, гз, рз), лз(рг, ..., (з), ..., мы ~меем ненормальный или негауссов случайный процесс. В этом случае выражение (1) становится недостаточным; в формуле (1.67) нужно учитывать также члены, для которых з ) 2, Хотя характеристическую функцию для негауссового процесса можно сразу записать в виде разложения (1.67), вычисление соответствующих плотностей распределения затруднительно, нбо интеграл обращения в общем случае не поддается непосредственному вычислению.
Чтобы облегчить задачу отыскания плотностей многомерных распределений для негауссова процесса, введем систему квазимоментных функций Ьз(~~ Ьь ~з) Ь~(Ьо..., Ь~) (328) Последние занимают некоторое промежуточное положение между корреляционными и моментными функциями и, в свою очередь, вместе с й~(г), /гр((ь (4) полностью характеризуют случайный процесс. По определению, квазимоментные функции связаны с корреляционными следующим равенством: л (3.29) которое справедливо при любых значениях и, 1о..., 1„, к,..., я„. Принимая во внимание вто равенство, а также формулу (1.67), характеристическую функцию можно выразить через квазимоментные функции: 6„(и„..., и„; г„..., 1„) =ехр ~),~~~й,(~„) и„+ а 1 + 2 ~~~~ Аз(~ь ~З) П„нв~ Х «, е-~ Л )4',((1+ )~~ —, )' Ь,(1„,..., Ф )и„...
и„~. (3.30) Равенство (29) позволяет найти явную связь между корреляционными и квазимоментными функциями. Соответствующие формулы совпадают с формулами (1.69), если в последних положить /г~(() = — 0; й~((ь (,) =О. Низшие квазимоментные функции Ьь Ьз просто совпадают 48 с корреляционными. Отличие от корреляционных функ- ций сказывается, начиная с Ьз. Ьз — йз Ь6 — й61 Ьз = йз Ь6 = — йз+ 10 (йзйз) 6, Ьт = йт + 35 (йзй6) (3.31) Символ (...), здесь обозначает операцию симметри.
зации, также как в (1.бЭ). Переходя к вычислению п-мерной плотности распределения, следует рассмотреть интеграл обращения от характеристической функции (30): Х (1+ )~~ — ', )~~ Ь,(6„,..., з )и„,..., и ~ Х Х ехр(1,)'„й,(1„) и„+ '~,~~ Из(1., 1р) и„из) Х а 1 а,З 1 Х ати,... 61и„. (3.32) Меняя порядок суммирования по г и интегрирования, последний интеграл можно записать в виде 6 таз(Е! ° °, Е61 11~ ° ° ° 16) (1 + ~ 1 6~~~~ ЬЗ(та ... 1 )Х Х (- д'Е-) (- дЕ-)~ ~л'(Е1, Ел), (3.33) где и1„' — плотность распределения гауссова процесса, имеющего такие же функции А!(1), Йз(1, 1'), что и исходный негауссов процесс.
Согласно вышеизложенному она определяется формулой (3): з 1 и„'(Е„..., Е„) = (211) ' Ре1 ' (й,(1„, Уз)Е Х 6 Х ехр ( — 9,"„а„,х„хз~ ь 6-! (л„= Е.— йт И„)). (3.34) 4 зз,зи 49 л та„(Ео..., Е„; 1„..., 1„)=(211) ")...) ехр( ' „~~~1„и,~Х а 1 Искомую плотность распределения можно записатЬ также при помощи обобщенных полиномов Эрмита, которые определяются следующим образом.
Пусть задана квадратичная форма р [х] = —, ')' а„зх.х, (3.35) определяемые равенствами Н„[х] =е' ~ д )' ' '~ -д--)е ' ', (3,37) Если обозначить у„=- у„[х] т= ~~ =,~~~ а«вкв (3 38) К то в соответствии с (37) имеем Н„[х] =у„, Н„з [х] =у„уз — а„м Н«м [х] =У,уеду, и ~у, и «Уз пз1У. Нми [х] = у«у~у1уь п.~у1уь о«~узуь о«~уву~— (3.39) Обобщенные полиномы Эрмита позволяют записать плотность распределения (33) в форме Л и„((„...,(~~„...,~„) =1(+~ —,',:)", Ь,(~„,...,~.) Х 5-3 ' й,...,ш-! Х Н„[((~) - — Ф, (~)] ~ тв„'((о..., („). (3.40) Здесь берутся полиномы, построенные на основе квадратичной формы, стоящей в экспоненте (34). Мы видим, что, зная квазимоментные функции, можно непосредственно записать плотность распределения произвольной кратности в форме разложения по обобщен- 50 от некоторых переменных х„х,,..., х„.
Каждой матрице [а„з~] можно сопоставить обобщенные полиномы Эрмита: Н„[х], Н„~ [х];..., Н„,,„[х], (3,36) л / 1 '1 л / 1 вообще л / 1 Н„„[х] = — а' Нл а ру ), (3.41) лраа где Н (г) = ег ( — лх /' е г и, а„р — любые; а=1,..., и, Принимая во внимание, что в одномерном случае 1 1 /аа (1, 1) аа получаем согласно (40), (41) плотность распределения в виде ряда ыа(1(/)) = (1 + ~~~~~~ —,—; Н, ( ' )) м1(Е (/)) (342) (Ь,= б,(/,..., /); (1) = —.'- — Х 1/ 2лл Х ехр( — 2лр (1 — л1(г))']), который носит название ряда Эджворта. Перейдем к двумерному случаю и = 2. Для стацио- нарного процесса матрица ]]а,р]] при этом определяется формулой (7), а плотность распределения а.р имеет вид (3). Переменные у1, ум входящие в (39), в данном случае будут 1 х1 — /Рха 1 — Йха + ха у = — ' ', уа= — — - — —. (3.43) 1 — -,а 1 //1 а —,а 1 Дз 51 ным полиномам Эрмита. Наибольшая трудность, которая здесь встречается, — это отыскание матрицы ]]а.р ]], обратной корреляционной матрице ]]лр(1„, /р)]].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
