Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Желая облегчить фактическое вычисление среднего значения, целесообразно перейти от интеграла (42) к сумме (43), выбирая Ь=2т„,р. Аналогично среднему значению, путем временного усреднения можно вычислить другие статистические характеристики эргодических случайных процессов. Ч'ак, образуя из $(г) случайную функцию 3 И) =(И)1(г+ т) (2.48) (т фиксировано), которая, в свою очередь, является стационарной, мы можем применить к ней формулу (42). Это даст формулу ( (2В [ УЯЬ ~Т)о или, если учесть (41), т 5 [о,оо[— 2 1 [' а(1 У[о) ) 1 (мо ао) а(ао (1и1о~- Т,.) ' ' ' [1,1ол.
1 ,—„, (2.50) Как показывает исследование, справедлива следующая оценка [1а 1ол а (1 У12) Отсюда следует, что с относительной погрешностью 1 порядка (ЬвТ) о выполняется равенство 5 [1 Ч = [1 (<оо ~) ['ой. (2.51) ) 1е1ооьа Т / Мы получим точное значение спектральной интенсивности, если,в (51) совершим предельные переходы ЬаТ- ао и Ью- О. При экспериментальном измерении спектральной плотности делать полосу частот Ьоо очень малой не желательно, ибо для получения удовлетворительной точности требуется, чтобы время усреднения Т значительно превосходило постоянную времени изменения узкополосного процесса 1/Лоо.
Интегрирование по времени, конечно, не т 1 Г обязательно производить в форме — ~ ...И. Практичео ская интегрирующая система, производящая усреднение, как правило, будет иметь другую весовую функцию. Важно только, чтобы постоянная .времени интегрирования Т была достаточно велика, т. е.
удовлетворяла неравенствам: Т»т,„, т»Цб . Применяя формулу (47), для процесса [ 1'(мо, го) [' будем иметь т ( * о)[ ) — — )[Г(а ~)[оотГ о 5, Парные корреляции нескольких случайных процессов Предположим, что заданы несколько случайных процессов а(Г), т)(1), ..., которые для общности будем предполагать комплексными. Если они стационарны, то их корреляционные функции К [Е(~1), И" (~з)] К [Й(г1), ч" (~з)] (252) зависят от разности времен (з — Гь Вместе с тен представляют интерес парные корреляции различных случайных функций, например $(~) и т~(Г).
Стационарные процессы называются стационарно связанными, если парные корреляции типа К [~ Р ), ч* Из)1 = /г;з (~з — ~,) (2.53) также зависят лишь от разности времен Г,— Гь Функция (53) носит название взаимной корреляционной функции в отличие от функций (52), которые можно называть автокорреляционными. ~Взаимная корреляционная функция отличается от автокорреляционных функций тем, что не обязательно является четной функцией своего аргумента Если средние значения ($>, (т~> равны нулю, то преобразование Фурье от (53) дает взаимную спектральную плотность 5 [(, а; а] =2] е'"'(И,"~) Нт, (2.54) которая не обязательно действительна, но обладает свойством 5 [1, н; а]*=5 [.а, 1; м]. (2.55) Для действительных процессов, кроме того, справедливо равенство 5 [~, ч; м] = 5 [~, и — ] (2.56) Если в (56) положить т~=(, получим спектральную плотность одной случайной функции.
Рассмотренную ранее спектральную плотность я~; ы] (9) действительного случайного процесса в обозначении (54) можно записать как яц, х; ы]. 37 Обратное преобразование имеет вид: ( Ь~*, > = —,) Я [!, Ч>; ш] е — '"1йо, (2,57) Перейдем к рассмотрению случайных спектров У1(0')=,— ) е ' 1(т)'(~ (2.58) 1 у'Б у (а)= — ~ е '"'Ч(1) г11, 1 т' '2л которые позволяют записать процессы ~(1), ц(г) в виде суперпозиции гармонических колебаний, Соответствующие выражения аналогичны интегралу (33), а для действительных процессов — интегралу (35), Тем же способом, каким было найдено равенство (32) в данном случае, используя (58), (57), легко,получить (УЕ(м) у *(м) > = —,й(м — и') Б(Е, Ч1 в). (2.59) Введем узкополосные случайные процессы ) 1("0 ~е) = ) е"81 (м) у1(м) 'й" = ) 01 (г0 — г) ~ (г) пг, );(~„~,) = ) Е'"'д, (и) у, (м) СК~ =— =) Оз(~0 ~) "Я(~) ~~ (2.60) которые подобно функции (38) заменяют точный случайный спектр.
Здесь функции й'ь 6ы д,, О, имеют тот же смысл„что и ранее. В общем случае для процессов ч и ч они могут быть неодинаковы. Путем интегрирования равенства (59) находим ( У1(~а ~о) >з (~0 ~о) > = = ~ ~8 (~, ъ, Ч а(™)й,'( ) Ь . (2.61) Возьмем сначала функции яь л'„осуществляющие выделение узкополосных сигналов )~, Ут, в форме да(а) =д (а) =д(а), (2 62) где д(а) — действительная функция, заметно отличная от нуля лишь в узкой полосе частот в — во — Ьа. Тогда ( тт(ао~ то) ) (ао~ оо) ) = 2 Следовательно, для получения комплексного значения спектральной плотности 5[5, т1; во) требуется найти среднее от комплексного произведения у"т у, = ! у'о ~ ! у, ! е" т.
(2.64) При этом нужно учитывать не только произведение амплитуд ~ут(! У„! узкополосных сигналов, но и разность чх фаз Л~р, которая определяет аргумент комплексного числа (64). В радиотехнике мы имеем дело с действительными процессами 3 (1), о (1), а также с действительными преобразованиями, дающими действительные ускополосные процессы Уь )'„. Это накладывает на я'о(а), яо(а) ограничения: Ю( в)=доо(а), д ( — а)=и а(а), (2,65) Если теперь положить до (ш) д~ (а) = я (/ а ~), то формула (бь) дает < 'го(а„~о) Г,(ао, ~о) ) =Ке5(3, тп аЛ ~~'Ыа.
(2.66) о Мы видим, что перемножение действительных узкополосных процессов не в состоянии дать полных сведений о спектральной плотности как комплексной функции. Чтобы доопределить интенсивность 5(а, т~; ао), требуется вторая пара узкополосных процессов. При этом достаточно изменить лишь один из них. Полагая ят (а) = я' () а ~); я„(а) = — о зйп а й' Ц а ~), 39 теперь из (6! ) будем иметь < 1'з( * гз) )з(" ° 'з)>=1щ611 !1 "з),) з'с1'"'. (2.67) о Таким образом, чтобы экспериментально определить взаимную спектральную интенсивность, недостаточно только однократного перемножения узкополосных случайных процессов. Требуется второе перемножение, и перед тем, как его сделать, нужно внести фазоинвертером дополнительный сдвиг фаз между узкополосными процессами (желательно на 9(!').
й 3. ГАУССОВЫ И НЕГАУССОВЫ СЛУЧАИНЫЕ ПРОЦЕССЫ. КВАЗИМОМЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ 1. Нормальная случайная функция и ее плотности распределения Если все корреляционные функции йз(1!, (з), йз(гь 1м 1з),..., кроме первой й!(1,), какого-либо случайного процесса $(1), равны нулю, то такой процесс является не случайным, т. е. детерминированным. Это значит, что все его реализации совпадают друг с другом. Предположим теперь, что, помимо й!(1!), отлична от нуля вторая корреляционная функция й,(1ь 1,), в то время как функции более высокого порядка равны нулю. Тогда будем иметь нормальный или, иначе, гауссов случайный процесс.
Согласно формуле (1.67) в этом случае получаем следующее выражение для характеристической функции л-мерного ~распределения случайных значений $(1!), ..., %(1,): Е„(и„...,и„; 1„...,1„)= « л р~'~«,!«! .— фз,' «.и., ю!,,~). (з!! «! «,з 1 Плотность вероятности зв„(с(1!),..., $ (з„)) отсюда можно найти, вычисляя интеграл обращения л ! В ««Е« !И 1 ( а 1 зв„(1„..., 1„) = —,-„--) ...
) е Х Х 6„(и„..., и„; гз,..., 1„) ззи!... !1и„, (3.2) 1„= Е (г.) который является многомерным обобщением интеграла (1.19), Выражение ХА,(г„, ~~г) и„ил, которое можно а,л представить в форме < ~Д (1(1„) — Аг (г.)1и„)л>, является положительно определенной квадратичной формой. Поэтому модуль характеристической функции, стоящей в (2), по крайней мере, не возрастает при увеличении и„...,ил..
Отсюда можно сделать вывод, что интеграл (2), несмотря на наличие бесконечных пределов интегрирования, существует по крайней мере в том смысле, как интеграл (2.30). Интегрирование в выражении (2) удается провести в общем виде. При этом получаем следующий результат: л 1 игл(1г...,лл)=(2л) 'Ре1 ' 1гг,(~„, тр),'~Х л Хехр( — —,~ алл [ń— й, (~„)] (Из — Аг (~~))~, (3.3) 1 %~ 1 где Ре11й, (1„, ~~)1 — определитель корреляционной матрицы гйг Ио ~г) йг Иг ~г) ° ° йг (Гг ~л) (3.4) ~2 (~л ~!) ~2 (~л ~2) ~2 (~лз ~л) а !!а„„!~ есть матрица, обратная корреляционной матрице (4): !',о«в~~=~~йг(г гв)1 ~ Ха„зал(6з, г)=й„г (3.5) з (~„,=1 при а=у и 3„„=0 при а+ у).
Плотность вероятности вида (3) носит название гауссова закона распределения. Если взять стационарный случайный процесс и положить н = 1, то матрица (4) будет иметь один элемент, так же как и обРатнаЯ матРица, пРичем агг = 1/Йэ(т,,тг) = = огв (см. 2.5). ~Поэтому одномерная плотность расйределения будет ттг~~(~))= ехр ( ~э (л(т) лг)'~ (35) 41 — а (а) а (о) < Уг (О) Уг (а) ') — а аа (о) — аа (:) и (а) )Е (О)) — а (а) аа (о) — аа (.) аа(о) аа(,) а (О) (3.7) аа (о) — аа („) будем иметь двумерную плотность распределения 1 а(о а) 2 ау )Еа()Х Х ехр — —, 1 Еа — 2)Е (~) Е Е, + Еаа ~ 2аа 1 )Еа („) В некоторых задачах, где затруднительно вычислять ин- теграл усреднения с плотностью распределения (8), це- лесообразно пользоваться разложением плотности рас- пределения в ряд по степеням коэффициента корреляции.
Чтобы найти такое разложение, конкретизируем форму- лы (2) и (1) для случая и = 2, А,= — па=0, р аа'а (Еа Еа) = 4 а ) ) е" Р ( аи~Е~ — аиаЕа — — (и,а+ 2Й(а) и,и, + и,') г(и,авиа) (3.9) и используем разложение (3.8) е ' л"' ' = ~ ( ) (аа)аи и )р ,аЫ р( р-О При этом будем иметь (3.10) тва(ЕоЕ,) = ~~~ ( — 1)' Х р-а Г 1 ( ааи,а1 Х ~ — ) и и ехр ~ — (и,Š— — '1 г(и,1 Х ~2а,) ' ~ ' 2 Х[ — ~ и,рехр( 'иаЕа 2' ~ а(иа] ' (3.11) Положив и = 2 и найдя матрицу, обратную корреля- ционной: Сделав замену переменных Л=оцд, Л=ои и воспользовавшись интегральным представлением Р<р+м(г) = 2 ) Лр ехр (1Лг — 2 (пЛ (3.12) производных я' от интеграла вероятности л х' ()= — ', т~2о а получим разложение Крамера = —.1" "(-'.)"""(-.')% р=о Последнее выражение можно также записать через полнномы Эрмита.
Аналогичные разложения справедливы также для более высоких распределений, то есть для трехмерного, четырехмерного и т. д. Так, используя разложение экспонент ехр ( — о')о И, — ~о) и,и,), ехр ( — оо)о (оо — 1о) иоио), ехр ( — оо1с (1о — 1,) пои,) в ряд (10), запишем трехмерную характеристическую функцию в виде ао 6о (им и„ио) = ехр ( — — (и,о+ иоо+ ио') ~ Х аор ч~ о аоо Х ~о ( — Ц вЂ”, Д„и,п,) ° У ( — 1) —,(Кооиоио) Х р=о о-о УС ~~~ ( — 1)" —,(Р„и,ио), Я,о — — Р(~,— ~о), (3.15) г о Йоз = (э (~г ~о) Йоз = (э И1 1о)1 При вычислении иНтеграла обращения каждый член с фиксированными значениями р, д, г распадается на произведение трех интегралов типа (12), Поэтому будем иметь ~(сА8,)=,~, ~„~ "">[ —",)Г " '1(~)Х р,ах=о Г1чь'ь ))( ез ') )т12)ттз))13 '1 а / 7)1)7! г( (3.16) Согласно вышеизложенному, наиболее существенным и трудоемким шагом иа пути получения многомерной плотности вероятности для нормального процесса является отыскание матрицы [[а„з[[, ко- тОРаЯ ОбРаГНа КОРРЕЛЯЦИОННОЙ МатРИЦЕ ~[й)(та, ГР ) ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
