Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 18

Способы описания системы случайных точек Во многих случаях приходится иметь дело с совокупностью точек, положение которых в определенном пространстве, и в частности на оси времени, является случайным. Подобные точки мы будем называть случайными точками.

В качестве таковых могут выступать моменты совершения каких-либв случайных событий, точки пересечения случайной функции с некоторой кривой, центры тяжести частиц в статистической физике и т. п. Задавая координаты случайных точек, конечно, можно перейти к рассмотрению совокупности случайных величин. Однако такая форма рассмотрения неудобна тем, что само число случайных точек часто, в свою очередь, является случайным, а также тем, что при этом теряют наглядность представления, связанные с пространственными или временными соотношениями (например, понятие стационарности и т. и.), В частном случае, когда отсутствуют всякие корреляции между выпадением случайных точек в различных местах, точки распределены по закону Пуассона, Излагаемая ниже теория охватывает всевозможные виды корреляций между случайными точками и поэтому выводимые формулы справедливы в общем случае.

В дальнейшем будем рассматривать одинаковые случайные точки в одномерном пространстве, которое можно интерпретировать как ось времени. Все приводимые ниже понятия и соотношения допускают обобщение на системы точек в многомерном пространстве и на точки нескольких видов. Статистические свойства системы случайных точек исчерпывающим образом описываются последовательностью функций распределения: 1~((~), 1з(гь гз),1з(гь гь гз) Здесь значения (ь ~ь берутся из области определения системы случайных точек. Указанные функции распределения характеризуют вероятность ЙР= (~,(Ги..., 1) + 0(Ь)] Ь,...Ь, (61) одновременного выпадения хотя бы по одной случайной точки на каждом из интервалов ~, <й<(,+~ь..., ~,<Г<~,+Ь, (62) (Ь„..., Ь, < Ь). Значения 1,,..., г, предполагаются несовпадающими (1, Ф 11 ни при каких г' ~ Г), а Ь достаточно малым, чтобы интервалы (2) не перекрывались. Для случайных точек, характеризующихся непрерывными статистическими свойствами, функции распределения являются непрерывными и их значения при совпадающих аргументах, например при (;=(1, целесообразно определять как предел, соответствующий 1~- ~;.

134 Описанные функции распределения удобны тем, что они характеризуют локальные статистические свойства в местах, соответствующих значениям аргументов, безотносительно к статистическим свойствам в других частях пространства. Выберем интервал О < ~ ( Т из области определения системы случайных точек и рассмотрим производящий функционал Тг [э(С)[ =(П [1+э(~~)]), (63) Здесь и — число случайных точек, выпавших в указанном интервале; 1„..., 1„— координаты места их выпадения, Класс функций о(1) ограничен определенными требованиями, которые зависят от рода случайных точек, их мы не будем касаться. Различные системы точек описываются различными производящими функционалами. Рассмотрим для примера несколько простых систем. П р имер 1. Пусть известно, что на отрезке О(1(Т,, (Т~)Т) выпадает фиксированное число У случайных точек.

Места их выпадения равновероятны н статистически независимы между собой. Тогда положение каждой точки описывается плотностью вероятности (~)= ~ при О<~ <Т[ и поэтому Учитывая, кроме того, что среднее от произведения И [1 -,'- о(~~)[ вследствие независимости распадается на произведение средних (1+ о(1;)), будем иметь ч е [ ин=[1~Ы (~)а1 о П р и м е р 2, Если производить пропорциональное увеличение длины отрезка Т~ и числа точек Ф, так чтобы 135 нх отношение И(Т, = р, равное средней плотности точек, оставалось постоянным, то в пределе будем иметь Такой производящий функционал соответствует пуассоновской системе точек, которая будет рассмотрена в дальнейшем (разд.

3). Более сложные виды производящих функционалов будут приведены в равд. 4. Для системы случайных точек с непрерывными свойствами производящий функционал выражается через функции распределения по формуле г т Т.г [и (~)] = ) + ~~~~,~, ~... ] Л (~„..., ~,) Х я=1 а о К и (~,)... в (1,) Ш,... ~й,. (6.4) Для других систем точек, когда функции распределения могут иметь дельтаобразные выбросы в местах,совпадения аргументов, равенство (4) может служить для полного определения функций распределения при помощи производящего функционала (3).

Производящий функционал полностью характеризует систему случайных точек, В этом отношении его роль аналогична роли, которую играет характеристический функционал в теории случайных функций. Производящий функционал Егд [и] для меньшего интервала [г', г"], являющегося частью интервала [О, Т~, может быть получен из Е [о] приравниванием нулю функции о(г) вне интервала [г', г'] (как н в случае характеристического Функционала) Р у функциями ), удобно ввести ф „ ляции распределения й'1И) йз(~1 ~з) йзИ1 (м ~з) ° ° ° (6.5) прн помощи равенства справедливого при произвольных гь гм ..., а также любых значениях 11, 12,...

из области определения системы случайных точек, Функции корреляции (5) находятся в таких же соотношениях с функциями распределения как корреляционные функции (1.64) с моментными функциями (1.63). Так, записывая применительно к 1', и д,формулы (1.69), имеем Л (~!) = а (11), .12( 1~ ~2) 82("! ~2) + К!(~1) а1(~2)~ .13 (~1~ ~2 ~З) КЗ ("1~ ~2 ~3) + 3 (Й! ("1) ЙЗ("2~ ~З))з+ (6.7) + К!(~1) К1(~2) К1(~3) Здесь (...), имеет тот же смысл, который объяснен на стр. 23. Система случайных точек называется стационарной, если описывающие ее функции распределения зависят лишь от разности времен Л(~1, ~2,, 1.) =Л'ИЗ вЂ” ~ * 3'. — ~ ). Чаще всего встречаются эргодические системы случайных точек, характеризующиеся тем, что корреляции между выпадением точек в различные моменты времени исчезают при раздвижении последних. Это значит, что функции корреляции распределения обращаются в нуль (6.8) к,И», 1) 0 если хотя бы одна разность аргументов ~1 — 1~неограниченно возрастает() г1 — ~1)- оз).

Сказанное не относится к функциям распределения: они обращаются при этом в произведение функций распределения низшего порядка (как и моментные функции при исчезновении статистической зависимости), Выбирая точки 13, 42,... в равенстве (6) все ближе н ближе друг к другу и распоряжаясь соответствующим образом величинами гь гь..., преобразуем выражение (4) к виду г %11 Г йг[о(()[=ехр~ 7~ —,) )... ~д,(~о..., 1,)оИ,)... 1я~ о о ...о(Р,) й,...И, . (6.9) Отсюда видно, что функции корреляции распределения могут быть определены как функциональные производные от логарифма производящего функционала м (и е (о (г)] -'-"(6)..А.

(~.)!.Ю=-. в то время как г 1~ ~~1 . 6.11 оо (г,)... оо (~,) [,и) = о Через производящий функционал просто выражаются некоторые величины и функции, характеризующие систему случайных точек, Так, для характеристической функции случайного числа и точек, выпавших на рассматриваемом интервале, имеем (емл) — ьг [ем (6.12) Вероятность того, что в нем не выпадает ни одной точки, дается формулой Р [и= — О) =Тг [ — 1]. (6.13) Приведем также без вывода несколько формул, связанных с условными функциями распределения р~(гь Т), ро((ь (ь Т),...

Последние определяют вероятность ((Р=р,(1„..., („Т) Ь,...Ь, +Ь'~'... (6.14) того, что в каждый из интервалов[(ь(~+А),...,[(„~,+Л) попадет по одной точке и при этом всего в интервал [О, Т[ попадает именно з точек (п=з). Условные функции распределения, в отличие от ~„уже не являются локальными статистическими характеристиками, так как их значения в моменты (и...(, зависят от выбранного интер- 138 вала40, Т).

Условные функции выражаются через безусловные по формуле т г р,(~„..., г„т)=,')', ' " '[... [Л„(~„..., г„„) х ь=а о о Х Ю„,...<й„,. (6.15) х=в т г Х[ .. [ тв,„.,(~о..., 1,„,)а'~,~,...а1,.„, (6.18) о о обратны формулам (15). Если число точек а не случайно, то (18) переходит в выражение Л(~ " ~)= , )... ~тв„(1о..., 1„) И,„...Н1„(з ~(п), (6.19) о о ( 1', (1„..., 1,) = 0 при з ) и). 139 Поделив на число перестановок з! выпадающих точек (которые могут по-разному распределяться между элементарными интервалами [(„1, +Ь,[,..., [1„~,4- Ь,[) и проинтегрировав по переменным 1„..., г„получим вероятность выпадения фиксированного числа точек г т Р [п=з) = — Р,= —,~...

~р,(~„..., 1„Т) Х о о Х гй,...<Й,. (6.16) Нормированные условные функции распределения тв,(~о..., ~,)= ~' "',",' ' (6,17) по своему смыслу близки к обычным плотностям распределения вероятностей. Решая обратную задачу, можно найти функции распределения )и (и ..., зная плотности распределения (17) и вероятности выпадения различного числа точек: Рь Р,, ... Соответствующие формулы У,((„...,~,)='~ '+," Р„,Х 2.

Случайные функции, построенные на основе системы случайных точек На основе заданной системы случайных точек можно различными способами построить случайную функцию. В ряде случаев приходится иметь дело со случайной функцией, определенной как сумма ч(я)=ХО(г ~у) (6.20) где г,— случайные точки; Я(з, 1') — некоторая известная функция; а обозначает совокупность каких-то аргументов и, в частности, может быть временем С Среди всех функций вида (20) особую роль играет случайная функция 1И) = Х3(~ — (!), 1 (6.21) которую мы будем называть «случ а й ной функцией плотности». С помощью последней может быть записана любая другая функция. Так, более общая случайная функция (20) может быть выражена через нее линейным преобразованием ч (г) = ) Я (г, 1') 1 (1') Ж'. (6.22) Следовательно, для определения статистических характеристик функции (20) достаточно сначала найти соответствующие характеристики случайной функции плотности, Как и всякая случайная функция, функция (21) полностью описывается характеристическим функционалом 1.60).

Если принять во внимание свойства дельта- функции, последний можно записать т и Вг (и (~)) =- (ехр ((Я ~ и Я 1(Е) Ж~) = (ехр ~1 „~~~ и (~ ) ~) или / и Вг (и(1)] = (, П еы'У ). ,1 (6.23) 140 Здесь, как и в (3), и — число случайных точек, выпавших в рассматриваемом интервале, (ь..., („— их координаты, Сравнение с равенством (3), определяющим производящий функционал, дает формулу связи этих двух функционалов езт [и(1)] = Ет [еьпо — 1] (6.24) Итак, зная производящий функционал, можно определить характеристический функционал, а следовательно, и другие характеристики, в частности корреляционные функции. Последние выражаются через функции корреляции распределения.