Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 22

Допуская противоположную возможность — выпадение импульса, перекрываюшего начало координат, мы дол кны были бы явь~екать выражение (110] на (11!) со всеми последуюшими изменениями. Для получения окончательного результата следовало бы усреднить два различных выражения (118) по указанным двум возможностям с соответствующими вероятностями Р~ и Рз.

Однако замена (110) на (111) ие изменяет выражений (120), получаемых предельным переходом в О. Поэтому надобность в указанном дополнительном усреднении отпадает, и формула (12!) является окончательным результатом. Чтобы найти спектральную плотность последовательности импульсов (102), остается воспользоваться формулой (104) 1 1 2 [1 — 0 (")1 [! — 0з(м)1 2 о !тй ) мз (р) -1- (е) гсе ! — н)(ь) 6,(м) ° (б 122) Здесь имеется произвол в определении значения 3 [т), ю) при в=О. Анализ выражения. (121) показывает следующее поведение при малых частотах: [1 — 6, (м)1 [1 — нз(м)[ мв (р) 11а + (а) Пр 1 — Нг (ы) нз (м) 2 [ (Р) + (а) [з Поэтому предел выражения (122) при ю- 0 конечен.

Взяв этот предел за определение функции го эя (й, оз) 162 Как показывает особое рассмотрение, область значений ю = О, 6~(ы)1)з(ы) = 1 не вносит изменений в последние выражения. Подставляя (120) в (118), получаем формулу 1 2 [1 — 6, ( )1 [1 — нз ('")1 — Я [$, м] ж ке ' ( . (6.121) В нуле в=О, получаем спектральную плотность про~ цесса т>(1) — (4 Я [Ч вЂ” (ч), в] =4м ' [(р? + (я)1 ' Х (6.124) Б [ч — (ч), 0] =-2 (~> 1 О> .ь (д>[з Из последней формулы можно получить ряд частных результатов. Так, полагая длительность импульсов фиксированной 6я(в)=е' 'и, а также 6,(а)йя(а)=6(в) (6.125) Ь+ =~), получаем из (124) 8 [я — (я),(ш)[ = ., Ке[(1 — 6) з(1 — е '"'ис ) Х что совпадает с (92) при О, = О. Далее, когда длительности импульсов и интервалы между ними имеют одинаковый закон распределения, т. е.

6, (в) .= 6, (в) .= Е> (в), (6.127) формула (124) дает 2 1 — н(ш> 2 1 — ~8(<о) Р 8 [ч — (ч), и]= „,,( > Ке, =„,< >, + „,. (6.128) Иногда основной формулой (124) удобно пользоваться, придав ей вид. Б[ч — (а), е]= —, (> „(> Х Х~е ~> — в,( > + 1 — е, 1~ (6129) Ц" А,(а) 1 (', 1 Б н,(.,)) 11 в,( И »Ра хв (р -Г а),1 см 1 — На (») На (в) следовательно, Пользуясь формулой (98), находим )1 — н~ (1Р)1 11 на (1Р)) (Р + а) Р» 1 — На (ГР) На (1Р) + (р) (а) 1 (р-1-а)а р (6.131) й 7.

УЗКОПОЛОСНЫЕ СЛУЧАИНЫЕ ПРОЦЕССЫ 1. Эквивалентность узкополосной случайной функции двум медленно меняющимся процессам Под узкополосным процессом мы понимаем стацио- нарную случайную функцию, которая имеет реализации, напоминающие синусоиду фиксированной частоты ва. Близость к синусоиде должна иметь место на протяже- нии довольно большого числа периодов 2п/вв Такой про- цесс имеет нулевое среднее значение.

На рис. 7.1 представлена фотография примерного узкополосного процесса, Узкополосный процесс на спектральном языке можно определить следующим образом. Его спектральная плот- ность имеет пренебрежимо малые значения всюду, за исключением узкой полосы частот Ьш й» в — — < в < ва-'à —. ю 2 х (ав « вр). 164 Тем же самым способом, каким была выведена формула (99), можно, пользуясь соотношением (124), найти изображение Лапласа корреляционной функции я (т). Записывая (124) в виде суммы двух комплексно сопряженных выражений, подставляя в (95) и учитывая, что один из интегралов исчезает, получаем при т)0 Если Ью — минимальная такая ширина полосы, то постоян- 1 ная времени Т,= — (значительно превосходящая пе- Ьо 2к х риод колебаний — ') характеризует быстроту изменений '"о амплитуды и фазы.

В течение этого времени накапливаются отклонения узкополосного процесса от идеальной синусоиды. Пусть заданы стационарные случайные функции у~(1), ув(1) с нулевым средним значением, быстрота из- Ркс. 7.1. Узкополосный процесс менения которых характеризуется постоянной времени Ть Образуем из них процесс х (~) = У, (~) сов ~о1 — Ув (й) в1п мо~ (7 1) 1 Если частота и, достаточно велика: и, )) — , так т, 2к что за время периода — функции у,(1), у,(1) не успе- ое вают существенно изменяться, то процесс (1) будет узкополосным.

Умножением (1) на аналогичное же выражение и усреднением получаем корреляционную функцию введенного процесса, (ххс) — (УсУ~ с) сов сепг сов мо (г+ с) (УсУе~) сов мог Х м в1п и, (й+ с) — (у,у„) в1п о от сов и, (1+ с) + + (у,у„)в1псо,~в1пао(1+с), 1Я или 1 (ХХо) ' — — ((У1УЫ) СОЗ ШОт — (УОУОо) З1П ШОт + + (у,у„) з1п шот+ (у,у„) соз шот) + 1 + 2 1(у1уы)созшо(2о+ т) (у1уос)з1пшо(2т+ т) — (у,у„)з1п шо(21+ т) — (у,уо,)созшо(2~+ т)]. (7.2) Отсюда видим, что случайный процесс (1) в общем случае является нестационарным, так как (хх,) зависит не только от т, но н от й Стационарность имеет место лишь при условиях (У1У,) = (Уоуо,) (У1уоо) = — (Уоу~,).

Предполагая, что последние выполняются, введем обозначения (у1у1 ) = (роуз,) =г(т), (у1уо ) =з(т) (з( — ) = — з( )) (7.3) Тогда вместо выражения (2) получим (хх,) = г(т) соз шот — з(т) мишот. (7.4) Записывая последнее равенство в виде (хх,) = — (г+ Ь) еп"и+ —,(г — )и) е ' " и совершая Фурье-преобразование, согласно (2.9) будем иметь Б (Х, ш! =р(ш+ ш ) — а(ш+ ш ) + +Р(ш "о) а(ш шо) (7 б) где р(2) = ~ е'"г(') г('=2~ соз(отг(т) Ыт, о а (Я) = — ) ) е~~ з (т) 1от — 2 ) з1п Ятз (о) 1К (7.б) о Легко видеть, что первая функция является четной, а вторая — нечетной; р( — Р) =р(Ы), а( — 12) = — о(а).

(7.7) Соотношения (7) позволяют разрешить полученное равенство относительно р и о р( ) 28[х' о+21 ] 28[х' ао 21' о(а) 2 8 [х' ао+ оо] 2 5 [х, ао — оо]. (7.9) 1 1 Тем самым функции р(11), о(о1), с одной стороны, и спектральная плотность 5 [х, а], с другой, связаны между собой вполне однозначным образом. То же самое можно сказать о функциях корреляции «(т), а(т), (хх,). Вместо двух случайных процессов уь уо можно рассматривать один медленно меняющийся комплексный процесс г(~) = у,(1) + 1у,(1).

(7.10) Последний имеет корреляционную функцию (зя,о) = (у,у„) + (у-,уо,) — Е(у,уо„) + +1(уоу„) = — 2 [Г(т) — ея(т)] (7.11) и спектральную плотность 8 [з, (21=4 [р(оо)+ оД)!. (7.12) Сравнивая это равенство с (8), видим, что спектральные интенсивности процессов х(1) и г(1) взаимно определякл друг друга: 8 [х,а] = — 8 [г, а — а,]. 1 (7.13) 1бт Ввиду того, что спектры р (12), о (оо ) существенно 1 отличны от нуля лишь в области Я вЂ” Ьа = —, функт, ции р(а+ оо,), о(а+ а,) вследствие неравенства а, » Ьа малы в области положительных частот а) О. Пренебрегая ими, получаем из выражения (5). Я [х, а] = р (а — ао) + о (а — а ), (а > О).

(7.8) Умножением процесса з(г) на гармонический множитель е' ~ получаем быстро меняющийся комплексный процесс з(~)=г(1) е ~. (7.14) Случайная функция х(1) является его действительной частью х(1) =Вел(1), (7.15) Сравнивая (4) и (11), нетрудно убедиться в справедливостй равенства (хх,) = — Ке [(зз,*) е ' ], (7.16) которое эквивалентно следующей формуле связи корреляционных функций действительного и комплексного узкополосных процессов: (хх,) = —, йе(гг,').

Наряду с этим, может быть рассмотрена его мнимая часть х(~) =!гп з Я = у, (1) з~п аз~+ уз(~) соз аз~, (7.17) которую называют функцией, сопряженной с х(1). Легко найти корреляционные функции (ххах) = Г (т) соз О>от — 3 (т) з!п а„т, (хх,) =г(т)з1пазт+з(т)созаот (7,18) и спектральную интенсивность сопряженного процесса Я [х, м] = Я [х, м]; Б [х, х, м] = — Кр(а+ во)+и(а+во)+ + ЕР(а — оэо) т Яа(м — ао).

(7.19) 16В Вследствие условия узкополосности (воЭЛ<о) из послед- него равенства получаем (р(м — м ) +)о(оэ -- м ) ж РВ [х, ы] при о)0, )Р( м мо) (о ( "' мо) = — Б [х, — м] при м(0. Я [х,х; м] = (7.20) Два быстро меняющиеся процесса х(4), х(1) связаны с медленно меняющимися процессами у1(1), уо(1) совершенно однозначно формулами (1), (17). Разрешая последние, имеем у, (1) =х(т) сов вот+ х(т) гпп юо1, Уо(г) = хИ)зш оо~+х(т)созао~.

(7 21) Как видно из (3), (18), процессы х(1), х(1) удовлет- воряют тем же самым соотношениям, что и уь ум (хх,) = (хх,), (хх,) = — (хх,) = — (х,х). (7.22) (Р (ио) =.— ~ е ' '6 (с) И) . (7.24) Можно показать также, что равенства (22) являкзтся необходимыми условиями того, чтобы медленно меняющиеся процессы (21) были стационарными (при стационарных х(1), х(1) ) . Выше мы исследовали узкополосный процесс (1), построенный на основе двух заданных медленно меняющихся функций у,(1) и уо(1). Рассмотрим противоположную задачу отыскания медленных случайных функций уь ум соответствующих заданному узкополосному процессу.

Определение функций уь уо вследствие (21) эквивалентно определению сопряженного процесса х(1). Пусть последний определяется стационарным линейным преобразованием х(1) = ] 6(~ — 6')х(1')ой' (7.23) от исходной узкополосной функции х(1). В спектральной форме это равенство можно записать х„= Р (йо) х„, Тогда, очевидно, 8 ( х, в] = — ] Р()в)!'8 (х, в], Я (х, х, в] =Р*()в) 8 ]х, в]. (7.25) Сопоставляя последние формулы с равенствами (19), (20), видим, что спектр преобразования Р((в) должен удовлетворять соотношениям — 1 при в — в,— Ьв, Р()а) = 1 при в+ в — Ьа. (7.26) то (23) будет преобразованием Гильберта Учитывая формулы (2.28), (24), комплексный процесс (14) при этом можно записать я(8) =х+ гх= — ~ е х„Йо (7.29) ~Т~ а < х = ~ е ~ ~х(1)Пг у2 l 170 Это соотношение обеспечивает выполнение равенств (20), (22), которые при использовании (2!) позволяют доказать формулы (4), (18) и другие приведенные выше результаты.

Выражение (26) описывает поведение функции Р(1в) лишь в тех узких областях ]в + во! — аьз, где имеется заметно отличная от нуля спектральная интенсивность 5(х, в]. В остальном выбор Р()в) произволен, Обязательным, в сущности, является то, чтобы преобразование (23) превращало ейп вь| в — соз вз1, а соз вз1 в ебп аой Мы укажем здесь два возможных конкретных вида преобразования (23) и функции Р()а), имеющих особые преимущества. Если выбрать Р(1в) = — )зипв (здпв = — "), (7,27) !"! Такой способ определения имеет то преимушество, что может быть непосредственно обобщен на случай не узкополосных процессов.