Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 25

При этом он является лишь компонентой двумерного процесса Маркова В(~), ф(~), описываемого уравнениями В В аз Š— — +,В + —,соз1Е+Ео (7.90) В ""1Е+ В т в 2В которые обобщают (бб) Здесь Еь Ет — нормальные независимые дельта-коррелированные процессы: (Е,) = (Е~) = 0; (Е,Е„) = (Е,Е„) = — Е (т). Для простоты, однако,-при решении некоторых задач может оказаться целесообразным заменять квазирелеевские флюктуацин амплитуды на одномерный марковский процесс, соответствующий уравнению В В а~ В (а2) — = — — + — + —. + Е, (?.91) в 2 2В 2 (ВВ и имеющий тот же самый стационарный закон распределения (88). Такая замена удовлетворительна как при больших, так и при малых отношениях Е?о.

ГЛАВА 2 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФЛЮКТУАЦИЙ И ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА НЕЛИНЕЙНЫМИ РАДИОТЕХНИЧЕСКИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ й 8. МЕТОДЫ АНАЛИЗА БЕЗЫНЕРЦИОННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ При рассмотрении нелинейных преобразований случайных сигналов, как и в теории нелинейных колебаний вообще, трудно разработать какой-либо универсальный и практически удобный метод решения, а для разных конкретных задач приходится применять различные способы, имеющие физическое оправдание. Целесообразно различать два основных случая, в зависимости от характера нелинейной системы. 1.

Среди нелинейных преобразований простейшим является такое преобразование, при котором значение выходной функции т!(1) в любой момент воемени определяется только значением входной функции $(г) в тот же момент времени: (8.1) ч(1) =а(1(1)), где д($) — некоторая нелинейная функция. Такое нелинейное преобразование называется безынерционным. К нему примыкают преобразования, когда входная функция $(1) подвергается дополнительному преобразованию линейной системой 1, а выходная функция †линейн системой П (рис.

8.1, б), причем эти системы не оказывают реакции на нелинейный элемент. Такое преобразование можно записать (8.2) где 1ч и 1.з — линейные операторы, описывающие пове- дение систем 1 и П, !87 Поскольку правило преобразования корреляционных, моментных и квазимоментных функций при линейных преобразованиях случайных сигналов известно, то для изучения всех указанных преобразований достаточно рассмотреть преобразование вида (1), ) И рфг]) о(й) а! Рис 8.!. Примеры нелинейных безынерционных преобразований (й = ЕД).

2. Более общими и сложными являются нелинейные инерционные преобразования, описываемые, в частности, нелинейными дифференциальными уравнениями. Один из простых примеров такой системы, поведение которой определяется нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка, приведен на рис. 8.2. 1 Пусть й(!) и т1(г) — напряжения входного и выходного случайных сигналов, Д вЂ” нелинейный элемент, имеющий вольтамперную характеристику г'=хо()г), Рис.

8.й. Пример инерционного нелинейного преобразования. Сянган раВНЫМ НУЛЮ Виутреннее сопротивление генератора входного сигнала, из очевидных соотношений ~,+~,=~, ~= — '~~,л=~,а получим дифференциальнпе уравнение ач 1 1 — + — з! = — зч(8 — з1). бг ЛС С (8.3) Решение этого нелинейного уравнения в общем случае при произвольной функции д' затруднительно даже для детерминированных функций, так как оно не выражается в виде конечного числа интегралов. Естественно поэтому, что решение его для случайных функций сопряжено с большими трудностями.

Относительно вида функции д($) можно сказать следующее. Обычно ее получают экспериментально как характеристику нелинейного элемента (лампы и пр.). Чтобы провести аналитическое рассмотрение, эту характеристику следует аппроксимировать тем или иным способом. Для теории удобны следующие три вида аппроксимации: полиномом, ломаной линией (кусочно-разрывная аппроксимация) и экспонентой.

Каждый из этих видов имеет свои преимущества и недостатки. При этом нужно иметь в виду, что требование точности аппроксимации и требование простоты аналитического выражения в известном смысле противоположны и, как правило, плохо согласуются между собой. При анализе преобразования случайных сигналов нелинейной системой задача ставится так: предполагая известными параметры системы и характеристики входного случайного сигнала Ц1), требуется найти статистические характеристики сигнала 21 (1), получающегося на выходе.

1. Преобразование плотностей вероятности Принципиальное решение указанной выше задачи для нелинейных безынерционных преобразований вида (1) вытекает из следующего известного положения. Пусть известна и-мерная плотность вероятности 22!2(1„ (м..., 1„) случайных величин 1, =1(г!), 12=1(12),..., 1„=! (2„) и нужно найти плотность вероятности 22! (д1, дл,, д„) для случайных величин '!1 Ы! ('1 12 ~л) "!2=82(2! 22 ° ° * .«) (8А) '!л Вл (1! "2 ~л) где функции д1 — кусочно-непрерывные. Если существуют однозначные 2!братные функции 11 ~1(Ч! !2 ' ' ' !«) 12 — йл ( !!! дм ° ° '!«) (8.5) 2« = пл (% чл 2!!«) 189 то интересующая нас плотность вероятности дается формулой где ΄— якобиан преобразования от случайных величин 1„1,, ..., 1„к случайным величинам г1„ ~2 '' 1Д дИ, дИ, дЛ1 ' ' ' дз~л (8.7) дИ„дИ„ дл1 ''' дЛи В тех случаях, когда обратные функции Ь, неоднозначны, следует в правой части формулы (6) взять сумму по каждой из подобластей.

Для одномерного случая описанное правило преобразования обосновано на стр. 10-11. Применительно к преобразованию вида (1) в двумерном случае нз формулы (6) получим то,(чо Ъ)=нц(й(п,), й( з)) ~й'(ч!)й'(чз)~, (8.8) где 1=6(Ч) — функция, обратная д(1). При применении формул (6) и (8) к практически интересным нелинейным безынерционным преобразованиям могут возникнуть затруднения.

Так, например, если функция д(~) в соотношении (1) является полиномом выше третьей степени, то в общем виде трудно найти функцию Ь(т1), т. е, аналитически разрешить уравнение (1) относительно 5. Поэтому здесь целесообразно аппроксимировать функцию дД). При кусочно-линейной аппроксимации функция И(г1) может оказаться разрывной и производная й'(П) во многих случаях равна бесконечности в некоторых точках. В этих точках плотность вероятности для г1(Г) имеет дельтаобразные выбросы.

Рассмотрим теперь несколько частных случаев. Пусть % = Ы1 (11) = 11 'чз = 8'я (1~ (з), (8.9) 190 однозначны. Якобиан этого преобразования равен 1 О аа, аа, ач, ач, аьт = ач. Поэтому ~ч (т11~ т1Я) — Ж~Е (т1ы Ьа (т1т~ т<2)) ~ ат ! (8.11) аат Из ~этой формулы получаем одномерную плотность ве РоЯтности длЯ одной слУчайной величины т1в: ( т)=~ ' (ч, й (Чо Ъ)) ~ — '~А, (8.12) Используя формулу (12), найти плотность вероятности суммы, разности, произведения и частного двух случайных величин: то((с+ Еа) =та(т1) = ~ же(Е~> т1 — Ет) с((м (8.13) А — (в) = (ч) = ~ тэе(1ы 1, — ч) с(1ы (8.14) '('т(в) ="(и) =~ ' ~1 ~ ) >~', (8 18) та ~ 1а ) = Яг (Ч) = ~ Я~а (с„т14,) / ст / йы (8.16) Для независимых случайных величин $~ и $я с плотностами веРоатности РД~) и 7(йт) в пРедыдУших фоРМУ- лах нужно положить я'е(1» (т) =Р(с~) 96в).

(8.17) Рассмотрим два примера на применение полученных Формул. 1. Пусть требуется найти плотность вероятности произведенич двух коррелироваеных случайных величин 5~ и $ь совместная плотность вероятности которых является нормальной: 1 ~е(с„ст) = - = Х 2ат,ет у 1 — Й' причем обратные функции ст=д,(т1,)=т1ы $в=яя(Чы т1в) (8.10) Воспольвовавшись формулой (15), при Ч ЕДа получим ка а тг1 — )аа ехР ~ а аа (! — гтв)1 Х 1 на а „/1 — дв [ аааа(1 — Яа)1 а~агав(1 — Ю)' (8.18) 1 га(н) = — — Х ка,аа т' 1 — тга Х~ехР~ — 2(1 оа)( а+,а а, )~МЕ~= о а,а у' 1 — )га н (аая — 2)гагааз + а,ачв) (8.19) 2. Моментные функции при полиномиальном преобразовании Пусть характеристика нелинейного элемента т)=д(Е) является аналитической функцией в определенной области.

Тогда ее можно разложить в ряд Тейлора й (Е) = па+ а, (Š— с) + ов (Š— с)'+... (8.20) (аа = е, д(а>(с)). Оставляя достаточно большое число первых членов, в зависимости от требуемой точности аппроксимации, можно положить й'(Е) = ао+ а, (Š— с) +... + оа (Š— с)" (8,2() Если этого сделать нельзя, то всегда можно найти степенной миогочлеи, аппроксимируюший фуикци(о ь'(в) 192 где Ка(г) — функция Ганкеля нулевого порядка от мнимого аргумента. 2. Вы ~ислам плотность вероятности частного Ч Еа(Е, двух коррелированных и нормально распределенных величин Е~ и $а.

В данном случае согласно (16) с нужной точностью для данной входной случайной функции, При подборе такой аппроксимации важно, чтобы полипом хорошо аппроксимировал характери стнку ю(о) на. том участке оси $, где имеет место достаточно большая вероятность выпадения случайной величины $(!). На тех участках характеристики, на которые случайная величина попадает относительно редко, может иметь место большая погрешность аппроксимации.

Можно указать следующий способ нахождения наилучшего приближения по методу наименьшего квадрата погрешности. Задавшись числом членов п+1 аппроксимирующего полинома, составим разность » й (1) — ~ а«($ — с)». «.о Неизвестные коэффициенты а„ находятся из условия минимума интеграла от квадрата погрешности » 1 и !2 1=) ~д(с+х) — ~ а«х»~ ах. (8.22) а «=о Пределы интегрирования а и Ь подбираются так, чтобы на отрезке а+с<$<Ь+с была сосредоточена основная масса вероятности выпадения случайной величины $, т. е. чтобы выполнялось равенство «+с ~ тв(1) сХЕ=1.

Если входной процесс $(!) задан моментами, то, не восстанавливая по ним плотность вероятности ш($), удобно положить При этом для плотностей вероятностей шД), не очень сильно отличающихся от нормальной, можно, например, принять Х=2 —:3. Необходимые условия минимума выражения (22) для 1 д! д! дао ' '''' дол 13 з»». «и дают систему уравнений и ь ) —.—.— Ь!474 !а! = Гх/д(х+с)4Хх, (8124) 1+/+ 1 1=3 2 из которых определяются коэффициенты а„а,,..., а„. Итак, предположим, что вместо общего преобразования (1) имеется равенство у(1) =а1х(с)+... + а32" (1), (8.25) гДе У (Е) = 21 (С) — а,; х (1) = Е (4) — с = Б (~) — (Е) .