Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 24

Ограничимся предположением, что х(1) есть гауссов процесс. Тогда знания его корреляционной функции (4) достаточно для того, чтобы определить всевозможные законы распределения не только его самого, но и медленно меняющихся процессов у~((), уз((). В самом деле, последние также будут гауссовы с нулевым средним значением, ибо линейно выражаются через х(1). Зная же их корреляционные функции (угу„) = (утум) г г(т) и взаимную корреляционную функцию (у~ум) = з(т), мы можем найти для них различные законы распределения, Если взять значения у~(1), ут(1), относящиеся к одному и тому же моменту времени, то взаимная корреляция между ними равна нулю вследствие нечетности функции з(т), и поэтому тв(У~ Уи) = 2,з е ~ (~'=г(0)).

(7.58) Совершая замену переменных (56) и интегрируя по всем возможным значениям фазы от 0 до 2я, получаем для амплитуды закон распределения Релея А л' тв(А)= ~з е 178 Случайная функция А(1), являющаяся амплитудой узкополосного гауссового процесса, носит название релеевского процесса. Чтобы найти двумерную плотность распределения амплитуды та(А, А,), нужно взять распределение случайных величин у„у„у„, у„, которые можно определить, зная их корреляционную матрицу г (0) 0 г (т) з (т) 0 г (0) — з (т) г (т) « (т) — з (т) г (0) 0 з (т) г (т) О г (0) АА, 1' Е АА, та(А А~) =,, (;) Уо ~ —,,') Х Аз+ А2 Х ехр 2м(1 (7.60) где Я= т ' 1'„+' '), а'=г(0), 7,(г)=1,()г) — модифицированная функция Бесселя. В случае узкополосного флюктуационного процесса, задаваемого дифференциальным уравнением, поведение амплитуды и фазы так же, как и функций уь ум определяется дифференциальными уравнениями, Остановимся на примере уравнения (35).

Дифференцирование выражений (55) дает А У|У| + У Уз ~ У1Уг УзУ~ (7.61) А ' А' Подставляя сюда (39) и учитывая (56), получаем следующие уравнения первого приближения: $ А = — — А — е( соз г — е1з з1п р — = еР 2 (7.62) = — [11 з1п т — 1з соз '7] — ЯРм $79 Затем нужно перейти от у„у„у„, у„к А, А„~г, г, и проинтегрировать по всем значениям т, 1,. Резуль- тат, как известно, имеет вид где $~(Г), $о(г) — гауссовы случайные процессы со свойствами (41). Чтобы записать уравнение Фоккера— Планка для амплитуды и фазы, изменяющихся в соответствии с (62), применим формулу (4.194).

Вычислим сначала входящие в нее коэффициенты, Как легко видеть, о о ) К [ЄЄ] И = ) ((8, сов р+1оз1п'р) Х Х (5„созе+ 8ы з1п ~р)) с1т =соз'ср ) ((А,) Ыт+ о +я~' р ) (1,1„) д~= — К,. (7..63) Аналогично получаем К Ты ~от) пт,р 7(о ) К Тг ~от) г~т Г дР, дт ~ ~ы~~~т Л ~ (( 1а!П'Р 8оСОБт) Х Х (1„з1п р — („соз р)) гЬ = —,' . (7.64) до Таким образом, в соответствии с (4.!94) искомое уравнение Фоккера †План имеет вид те(А, р)= — — [~ — —,+ —,„') 1+ (7.65) Ему соответствует следующие уравнения для амплитуды и фазы: о оЧО; А = — —,А+ ' +~8. 2 2А (7.66) 180 Здесь $ь Ц вЂ” такие же самые независимые случайные функции, что и в уравнениях (39) или (62), обладающие теми же самыми свойствами (41).

~в~о; Член —,, хотя он и выступает как член порядка я', мы удержали в уравнениях (66) по той причине, что интенсивность флюктуационных воздействий К, может быть довольно большой. Удобнее всего полагать К, 1 х порядка —, обозначая К,= —. Тогда все члены уравнения (65) будут первого порядка по а. Флюктуационные члены в (66) при этом целесообразно записывать у вчо у' ать.

Так, первое уравнение для амплитуды будет иметь вид А= — — '~А — — "~+т" ч 2'1 А~ о ((ч,)=0, (ч~ч„)=хВ(т)), (7.67) Ему соответствует следующее одномерное уравнение Фоккера — Планка — ти (А) = — лл ~(А — А ) та~+ т. а4, . (7.68) Мы знаем вид стационарного решения (4.49) произвольного одномерного уравнения Фоккера — Планка (4.33) . Применяя указанную формулу (4.49) к уравнению (68), находим стационарное распределение амплитуды м (А) = Се '" = — е '" .

(7.69) Оно, естественно, совпадает с (59), причем и=о~. Поскольку изменение амплитуды представляет собой процесс Маркова, большой интерес представляет выражение для вероятности перехода р(А„А), через которую могут быть записаны всевозможные законы распределения и, в частности, двумерный закон ш(А,А,) =- =Р(А„А)ш(А). Принимая во внимание (60), (59), для вероятности перехода, получаем следующее выражение: и(А, А,) А, Р(Ас А) = е(Л1 сз(~ — ~в) Х АА, 1 ( А~+ 0тлз ) Х 7,~ „...

1ехр~ —, ). (7.70) 181 Вследствие найденных ранее соотношений (43), относящихся к случаю уравнения (35), коэффициент Я(т) здесь имеет вид Я(т)=е (7.71) При другом виде этого коэффициента процесс А(о) не является марковским и условная вероятность (70) не играет такой особой роли, как в случае процесса Маркова,Подставляя (71) в (70) и заменяя оз на к, мы получаем нестационарное распределение для амплитуды тв(А).= 1о '„Х Ао Аоо 2х(е" — 1) ~ Хехр~ (7.72) 2х (1 — е ") которое изменяется в соответствии с уравнением (68) при дельтаобразном начальном условии ш(А) = б(А— — А,), когда т =- О. Это один из немногих примеров, когда уравнение Фоккера — Планка с нелинейной средней скоростью К, имеет точное нестационарное решение в виде конечного аналитического выражения через простые функции.

Иногда требуется определить статистические характеристики узкополосной случайной функции х(1) или других функций (57), (56), зная характеристики процесса изменения амплитуды и фазы. В общем виде эта задача сложна, поскольку преобразование к указанным функциям от А, чо нелинейно, однако она значительно упрощается в том случае, когда флюктуации амплитуды н фазы статистически независимы друг от друга.

Остановимся на вычислении корреляционной функции процессов г(1) =Аем и х(1) =Асов(оое1+чо) вэтом случае, Пользуясь независимостью между амплитудой и фазой, корреляционную функцию (гг*) = — (АА,е' 'о о') ) (7.73) можно записать (вз,') = (АА,) (енв "') . Среднее (ео" ") есть частное значение характеристической функции (его Мое-е)) (7.74) Пользуясь далее формулой (16), получаем корреляционную функцию действительного узкополосного процесса (хх,) = — (АА,) Ке [В,( — 1) е ' "). (7.76) Когда фазовое приращение имеет симметричное распределение относительно нуля, характеристическая функция 6(и) действительна и (76) принимает вид (хх,) = —,(АА,) В, ( — 1) созе,т. (7.77) Это означает согласно (4), что г (т) = — (АА,) В,( — 1), з (т) =-О.

(7.78) Рассмотрим для примера чисто диффузионный наоег фазы. При этом щ, — ~р есть нормально распределенная случайная величина с нулевым средним значением и дисперсией, линейно нарастающей со временем, Пй,— т)=К [ [. В этом случае В,(и)=ехр~ — ~ Кт[т[и'~ 1 и формула (77) дает — — гк (хх,) = — (АА,) е ' ' соз ь,т.

(7.79) 4. Квазирелеевский флюктуационный процесс Если к нормальному узкополосному процессу $(г) с корреляционной функцией оЧг(т) прибавить гармонический сигнал Е сов (оа1+ 6ю) с фиксированной амплиту. дой Е и случайной начальной фазой дм статистически не зависящей от $(1), то суммарный процесс х (г) =1(г) + Е сов (а,~+ Ь,) (7.80) 186 фазового приращения ~,— т при и= — 1. Поэтому (гг',) =- (АА,) В,( — 1). (7.75) уже не будет гауссовым. Для того чтобы процесс (80) был стационарным, требуется, чтобы начальная фаза Оз была совершенно случайной, т. е. имела равномерный закон распределения (7.81) 2к Тогда, используя статистическую независимость меж 'у Ц1) и Есоз(ыь|+ Оо),легко получить корреляционную и характеристическую функции указанного процесса: яз (хх„) = а% (т) + —, соз а,т, ам' (е' )=е ' ./,(иЕ), (7.82) (е'""+'""') = ехр ~ — — (и'+ 2ии„(т (т) + й)~ Х Х уо(Е)7и'+ из — 2ии,созшот).

Узкополосный процесс (80) можно записать в виде колебания х (1) = В (1) соз (а,(+ ) (1)) (7.83) с медленно меняющимися амплитудой В и фазой ф Для последних мы ввели новые обозначения, чтобы отличить от амплитуды А и фазы ~р гауссового процесса. Найдем плотность вероятности ш(В). Процесс Ц1) можно записать (7.84) ч=у, соз ь,й — у,жпв,1, где уь уз — случайные величины, имеющие нормальный закон распределения (58). Подставив (84) в (80) и сравнивая с (83), имеем у,+Есоз|,=Всозф, у,+Езшй,=Вз~пф, (7.85) так что у,'+ у,' = В'+ Е' — 2ВЕ сох (ф — Ь,), (7,86) 1М Путем замены переменных (85) перейдем от распределения у '+уа (7.87) к та(В, т, Ь,). Учитывая, что ау,ау,сРа=ВЫВЯЙЬ„и подставляя (86) в (87), находим в тя(В, т Ьо)= (2.

)з Х Х ехр ( — —,, [В'+ Е' — 2ВЕ сов (г — Ь,)]) . Отсюда, интегрируя по ф и до, получаем закон распреде- ления амплитуды (7.88) ю(В)= —,е " 7,( — „), являющейся обобщением распределения (59). Вычисление среднего значения (В)=] та(В) В1Вприводиткследующему выражению: (7.89) Флюктуационный процесс В(() будем называть квазирелеевским процессом. Его роль в радиофизике обусловлена тем обстоятельством, что часто, помимо флюктуацнй, в принимаемом радиосигнале присутствует полезный гармонический сигнал, амплитуду которого для простоты считают постоянной. К квазирелеевскому процессу можно подойти и с другой стороны, Предположим, что в формуле (1) функции у~((), у,(Г) стационарные гауссовы процессы с ненулевым средним значением.

Тогда процесс х(Г) будег нестацнонарным. Стационарность может быть достигнута путем введения неопределенности момента отсчета времени (достаточно физически неощутимой погрешности в моменте отсчета, имеющей порядок высокочастотного периода 2п/ио). Тогда амплитуда процесса (1) будет квазирелеевским процессом с Е= 1~(у1)'+ (Ут)' Квазирелеевский процесс (80) не является процессом Маркова, даже когда у, (1), уз(1) — экспоненциально коррелированные случайные функции.