Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 23

Интегральная операция (28), однако, неудобна, когда переходят не к спектральной форме, Поэтому укажем другой способ определения сопряженного процесса, заменив интегральную операцию на дифференцирование х(1) = — — х(1), Р(1ю) = — —. (7.30) Последний способ определения удобен при обобщении на случай нестационарных процессов и при выходе за рамки корреляционной теории, основанной на рассмотрении первых двух моментов, т. е. при использовании аппарата марковских процессов нли теории высших моментов, Его преимушество состоит в том, что он позволяет пользоваться дифференциальными уравнениями для х(1).

Вследствие (30) комплексные процессы (10) и (14) можно записать г(1)=х+1х=х+ —.; г(г)=(х+ —.) е ' '~. (7.31) Дифференцируя последнее выражение по времени, получаем = —. "("+ -~~) (7.32) Этой формулой удобно пользоваться, когда процессх(1) описывается дифференциальным уравнением вида х-1-ш,'х=в„'~(х, х, 1). Тогда (32) дает (?.33) а= — йоое 7 (х, х, г), где (7.34) Согласно вышеизложенному, один узкополосный сигнал эквивалентен двум медленно меняющимся сигна- лам.

Их можно заменить на узкополосный и, обратно, выделять из него, причем это может быть достигнуто линейными операциями. 2. Узкополосные случайные процессы, определяемые дифференциальными уравнениями В радиофизике узкополосные случайные процессы образуются в частотно-селективных элементах, содержащих емкости, индуктивности и сопротивления. Такие элементы описываются дифференциальными уравнениями.

Выходной сигнал будет узкополосным дажевтом случае, когда на указанные элементы действуют внешние или внутренние широкополосные флюктуации, Поэтому мы будем рассматривать дифференциальные уравнения, содержащие быстро меняющийся случайный процесс. Начнем с линейного уравнения второго порядка х+ ях+ х=а1(1), (7.35) описывающего поведение колебательного контура под воздействием флюктуаций Здесь з — малый параметр, который обеспечивает выполнение условия узкополосно- сти Лсо(( 1 (ыэ= 1), эквивалентного неравенству е((1. Медленно меняющиеся случайные функции вследст- вие (21), (30) будут у, = х соз 1 — х з1п 1, у,= — хз!пг — хсозг. Дифференцируя их по времени, имеем у, = — — (х + х) ып 1, у, = — (х + х) соз | нли, если подставить (35), у, =а(х — 1)з1п1, у, = е (х — 1) соз 1.

Здесь х следует выразить через у„у,, применяя фор- мулы Х=У,СОЗ1 — Уээ1П1, — х = у, з1п 1 + уэ соз 1, обратные к (36). В результате, вместо одного уравнения (35), получаем $ Е Е У|= — 2 У~ — йз!пг+ ~ У~соз2г — ~ Узз1п2г, Уз= — ~ Уз — (созг — — У з~п2г — — Узсоз21. (?,37) Е у = — — у — е(51п г, 2 (7.38) у,= — — у,— е(созг. 2 При достаточно малом з последние уравнения могут рассматриваться при помощи методов, изложенных в54, равд.

7 — 9, которые соответствуют замене реальныхпроцессов у,(1), уз(Г) на процессы Маркова. Согласно указанным методаьь уравнения (38) могут быть заменены на эквивалентные «упрощенные» уравнения 1 2 У1 (7.39) В 2 где $ь $д — дельта-коррелированные случайные функции с нулевым средним значением и корреляционными функциями (~А,) = Ж ) ) (((,)ы~~ ~ы~(~+ ) 4~, (1Д,) =3(т) ) (Ы,)соз1созИ+т)И, 173 Наличие малого параметра в правых частях подтверждает, что процессы у,, у, имеют малую быстроту изменения. Уравнения (37) могут быть названы уравнениями в стандартной форме. Члены двойной частоты — у, соз 21, —, у, з1п 21, — у, з1п 21, — У, соз 21 в (37) носят название вибрационных членов.

Их результирующее действие за период мало и в первом приближении может не учитываться. Тогда из (37) будем иметь уравнения первого приближения ((~аз ) = й (т) ) (й ) Б!п гсоз (г + т) пт. (7.40) Входящие сюда интегралы можно записать в виде суммы интегралов, например, (Ы~) з~п г з1п (г + т) пт = —, ) (Е~) соз тпх— — — ) (11,) с з(2~+ ) ~~ . 1 Г Второй интеграл здесь представляет собой нестационарную вибрацнонную добавку, которая в среднем за период мало сказывается в уравнении Фоккера †План. В первом приближении ее можно опустить. То же самое относится к двум другим интегралам в (40), из которых должна быть выделена невибрационная часть. В результате, вместо (40), будем иметь (.1'ы) (~2.2с) КОй (т) (?.41) (Е,Еы) =-О, где К, = ~ .) (11,) соз и(т = — Я (ч, 1].

(7.42) Вследствие (39), (41) процессы у~(1), уз(1) — одинаковые независимые экспоненциально-коррелированные случайные функции, Такие функции были рассмотрены в разд, 10 (9 4), где были вычислены их корреляционная функция (4.217) и спектральная интенсивность (4.212). Применяя указанные формулы к уравнениям (39) (Р= ~ ',К=е'Кз), получаем е — — 00 (У~У~ ) =(Узуея)=г(т) =зК,е (у,уы)=а (т) =О, (7.43) а также.

вследствие (4) и ® < 2 (хх,) аКое соз юот, Я [х, ю) = ',, (ю ) О), (о< о<О) + 4 (7.44) (?А5) т. е. — + 1)(х + х) + 2< (х 1- х) + <5 (х — Ьох) = <ос (1), ('н описывающего поведение двух слабо расстроенных колебательных контуров. Обобщая (36), введем четыре медленно меняющихся процесса: Уг = ХС05 1 — Х 51П й Уо Х51П1 ХСО5С Х -1- Х х ь х Ут = сов 1в 51п й < Е (7Аб) х+х х+х у< =— < 51п 1— < С05 й 175 Разумеется, последние соотношения можно было бы получить непосредственно из уравнения (35) Приведенный способ рассмотрения удобен тем, что допускает обобщение на случай нелинейного исходного уравнения. Такие нелинейные уравнения будут рассмотрены яами в гл.

4, посвященной статистической теории нелинейных колебаний. Там же будут указаны способы построения более высоких приближений по е, При обобщении на нелинейный случай медленно меняющиеся процессы у1(1), ух(1) остаются процессами Маркова, и это обстоятельство весьма существенно, так как обеспечивает применимость эффективных методов их анализа. Все скасанное допускает также обобщение на случай дифференциальных уравнений вающих порядков как линейных, так и нелинейных. Чтобы проиллюстрировать методику обобщения, остановимся на линейном дифференциальном уравнении четвертого порядка (рв + <р + 1 + <Д) (ро + <р + 1 — <Д) х = <ос (1), Соотношений х+ х = у, соз ! — у, 5!и г, Х = У1С05 ! Уз 51П Г (7.47) х+х = уз 51П ! + 54505 ! Х = у1 51П ! + уз С05 й являются обратными соотношениями. Дифференцируя (46), получаем равенства у, = — (х+ х) з!и 6 Уз (Х+Х)С05! Уз ~( 4715 + 1) 1 5!п 1; — '((лж +1) 1созп (7.48) Из последнего равенства, используя (45), илгеем у, = — 4 ~ — 2 '' + (1 + йв) х — х — х+ Е~ з!п й (7.49) х+х У4 = — «1 — 2 + (1+ Ьз) х — х — х+ 5~сов!.

У1 — — «(Уз СО5 ! — У« 51П !) 5!П й уз = — Е (уз С05 ! — 54 5!П !) С05 г, уз = — «[2 (у, 5!п ! + у, соз !) + (1 + 55) (у, соз ! — у, 5!п !)— — 5 (у»сов! — у,з!п!) + Ц Шп5, У4 = — 4 [2 (Уз 51п ! + У4 с05 !) + (1 + Пз) (У1 соз ! — Уз 5!п !)— «(уз сов ! — у« зш !) + 1[ соз й (7.50) В правой части от произведения тригонометрических функций следует перейти к сумме синусов и косинусов от нулевой и двойной чистот. В первом приближении по е «внбрационными членами» двойной частоты можно пренебречь так же, как я не вибрациоиными членами высшего порядка, пропорциональными вз.

После этого из (50) будем иметь уравнения первого приближения: 176 Выра1кенин в правых частях (48), (40) следует, конечно, выразить чеРез У1 Уз У».Уь подставляя (47). В результате получим следую щие точные уравнения в «стандартной форме»: з 2 У»' « Уз= 2 Уз « Уз «з — «Уь + 2 (1 + аз) Уз + «Е з 1п й (7.51) у» = — «у» — 2 (1 + Ь~) У, + «Е соь й Последние уравнения имеют форму (4.185) и при малом в процессы уь уь уз у«можно считать марковскими Это эквивалентно замене флюктуационных членов Е з!и й Е соз 1, входяп»жх в (51) на дельта-коррелированные функции Е«(!), Еь(!), которые обладают свойствами (40), пере.одящими после нового отбрасывания колебательных членов в соотношения (41).

Получаемая в ре. зультате этого система уравнений распадается па две совершенно не связанные системы. Если к гому же обозначить уь † то эти системы будут совершенно одинаковыми Уь У» «2 у, 1+аз — =-У» — 2 Уь+Е (7.52) Уз Уь «2 Уь !+а — ь = — у«в Уь+ Е«, « 2 Отсюда нетрудно получить, что процессы у,(!), уз(!) имеют сгектральную плотность р(ьь)ит ~ з 1 )з,, «(и) =О (7.53) 7»ь «з 2 «3 и согласно формуле (5) табл. 2.1 « К вЂ” — 1!1 «1 г(ь) 2 1 1« е 1соз 2 Дт+ а Мп 2 ( «(). (7.54) В случае нелинейного уравнения (45) мы будем иметь нелинейные уравнения для медленно меняющихся процессов уь, уь уз, у», но к ним по-прежнему может быть применен аппарат процессов Марнова.

3. Амплитуда и фаза узкополосного процесса. Релеевские флюктуации Рассмотренные ранее медленно меняющиеся функции Удобны тем, что они связаны с исходным узкополосным 177 12 Ззк. ЗП процессом х(1) линейным образом. Иногда вместо них целесообразно рассматривать медленно меняющуюся амплитуду и фазу, которые имеют вполне наглядный смысл и определяются равенствами А(~) =У у,'-1-у,э, ~(1) =агс 1ц — '. (7.55) Обратные соотношения имеют вид у,=Асозю, у,=Аейпр.

(7.56) Рассмотренные ранее процессы (1), (17), (10), (14) записываются через амплитуду и фазу следующим образом; х=Асоз(а,~+~), х=Аз1п(а,~+~), (7.57) г (1) = Ае", я = Ае'"'~" Поскольку амплитуда и фаза связаны с х(~) нелинейным образом, то для вычисления их статистических характеристик требуется знание законов распределения процесса х(1).