Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 26

Для нахождения моментных функций для у(1), которые мы обозначим т„„перемножим правые и левые части этого равенства, относящиеся к различным моментам времени, и выполним статистическое усреднение. Тогда получим т! И) = ай" 2 (8 С) + азр3 (~, С, Ь) + +... +а„н„(1, ..., 1), (8.26) гл2 ("1 ~2) а1 442 (~! ~2) + а!а2 11 2 (~! ~3 ~3) + + р3 (~! ~! с2) + 431а3 1444 (~! ~3 ~2 ~2) + + И!(с„с„1„32)1.+а22р4(11, 11, 12, 32)+... Здесь — моментные функции процесса х(1), совпадающие при с=(1) с центральными моментами функции $(1).

Из формул (26) видно, что моментные функции случайного процесса 31(1) выражаются через моментные функции входного процесса $(1) линейно, но формулы для моментных функций на выходе включают более высокие моментные функции на входе. В последнем состоит одна из характерных особенностей нелинейного преобразования по сравнению с линейным. Рассмотрим два примера. П р и м е р 1. Пусть на нелинейный элемент с характеристикой у (1) = д ($) = а!22 (1) — а!14 (1) (8.27) воздействует стационарный нормальный гнум $(г) с нуле- вым средним значением (Ц = О и функцией корреляции й (т) = оЧ~ (т).

Вычислим среднее значение и дисперсию величины у(!). Для одномерного и двумерного моментов в данном случае имеем (у(!)) = (!за)> — .(5'И)>, (У А) У (! )) = азз (Р (1,) !'(!з)> + а,'(с'(1,) Й' (1,)) — (8.28) — аза, [(5Я(Е,) 5з (Ез)) + (!'(1,) 5Я(!з))]. Известно, что одномерные моменты нормального распределения определяются формулой (5> = ( =~ 1 3 5 ... (р — 1) он при р четном, (8.29) 0 при р нечетном.

Разло:кение (3.!4) дает простой способ вычисления двумерных моментов нормального процесса. Для двумерных моментов имеем ,+, ъч )с' Ой ("> ="' ~ 10.аМ,а Л а=о (8.30) где дгг» = ) хгРтечо(х) мх. Совокупность коэффициентов Ига образует матрицу, приведенную в табл. 7.1. Таблица 7.1 Значения коэффициентов 0 1 2 3 4 5 6 1Зэ 195 1 0 1 0 31 0 531 0 — 1 0 — 31 0 — 531 0 0 г1 431 0 6531 0 0 0 — 321 0 — 5431 0 0 0 0 0 432.1 0 6-5-4.3 1 0 0 0 0 0 — 54321 0 0 0 0 0 0 0 654321 Можно указать следующее правило заполнения матрипы Ей)д(': а. Элементы выше главной диагонали (1(й).равны нулю.

б. Ниже главной диагонали и на самой диагонали (1- А) отличны от пуля только элементы с индексами 1 н й одинаковой четности. в. Элемент йГр строится так. К заданному числу 1 добавляем в качестве сомиои ителей числа 1 — 1, 1 — 2, 1 — 3 и т. д. так, чтобы всего было й сомножителей. Затем добавляем в качестве сомножигелей все нечетные числа от 1 — А — 1 до 1. Например, 1чзэ ка б 5 3 1.

г. Знак элемента йчэ зависит от четности й для нечетных й это минус, для четных плюс. Применяя это правило, нетрудно получить следующие формулы: (ЕэЕ э) = аа11+ 21Еэ(т)), (ЕэЕ а) = аг, $3 4 12И (т)) (Е'Е 4) = аз ~9 + 727Ев (т) + 247Е'(т]). (8.31) Воспользовавшись формулами (29) и (31), согласно (28) находим (у) = а аз — За аэ, (уу,) = а,'а' (1 + 2йэ) — ба„а,а' [1 + Яз) + + а ааз (9+ 72)се+ 2404) (8 32) Отсюда для дисперсии получим формулу Ру = 2а,'а' — 24а,а,а'+ 96а,'аз.

(8.33) П р и м е р 2. Рассмотрим нелинейное преобразование с параболической характеристикой у(г) = а,х(х) + а,х'(г), (8.34) причем в качестве входного сигнала возьмем сумму х(й) а-а(й) +Е(й) (8.36) флюктуаций й(1) и гармонического полезного сигнала з(й) =Есоз(шэт+ 'ра) (8.36) 198' с фиксированной амплитудой и равномерно распределенной начальной фазой, Флюктуационный процесс й(С) предполагаем таким же, как и в предыдущем примере, т. е. стационарным гауссовым с нулевым средним значением. Подставляя (35) в (34), перемножая полученные выражения, относяшиеся к моментам времени г и о + т, и усредняя, будем иметь (у) = а (з') + а (Р) (уу,) = а,'(зз,) + а,о(Ы,) + а '(з'з ') + + 4а '(зз ) (Ы,) + 2а '(з') (Р) + а,.'(Ро,о> (8.37) При выводе последних равенств было учтено, что (зо ) (з) (о ).

(зоо о) (зо) (о а) ( ,11.> = ( ,> (11,); Ф,'> = (з> (1.'> и т, д., вследствие статистической независимости между функциями з(1) и $(З). При этом (з1,) =О, (з1,') =О, (зоз,1,) =О, ..., так как (з) = (з,) = О, Д = (В,) = О. Кроме того, здесь использованы соотношения (зоз,) = О; (Ро,) = О, вследствие которых (хх,') = (х,х') = О. Поскольку средние значения (оо,) = оЯ, (Ро,') = =о'(1+2Р') уже известны [см. первую формулу (31)[, в соотношении (37) остается подсчитать моменты полезного сигнала (36). Преобразуя выражение (зз,) = Е'(соз(о~о~+ ~о) соз(ооо~+ оот+ро)) к виду (зз,) = 2 Ео(соз(2ао~+ вот+ 2то) + сов гроот> э 1 замечаем, что первый член в правой части выпадает после усреднения по начальной фазе оро, второй член не случаен и остается без изменения.

Поэтому (зз,>=2Е соз о ° 1 Аналогично имеем (з'з,') = Е'([1+соз2(о,1+~,)] Х Х [1+ соз2(о~о~+ мо'+ то)[) = Е' [1 + — сов 2оот1. 4 ~ 2 (8.39) Подстановка полученных выражений в (37) приводит к результату (У) = — а,Е'+аког, 1 (уу,) = —, а 'Е' соз ы т + а,гог)~ (т) + 1 + 4 а'Е'~1+ 9 соз2юет~+2аггогЕЖ(~)созые + + а.,'о'Е'+ а,'о' (1+ 2Дг (т)) (8 4()) Отсюда легко найти корреляционную функцию выходного сигнала )г (т) = — а гЕгсоз юге+ а гггй(т) + — а,'Е4 соз2ыет+ + 2аггогЕ% (т) Созе „т+ 2аггоЯ'(т',.

(8А!) П р и м е р 3. Предположим, что характеристика нелинейного ~элемента имеет внд у = а,(А — с) + а,(А — с)' (8А2) или у — а,'= а,'А+ а,А' (а,' = агс' — агс; (8.43) а,' = а, — 2а,с). Пусть на него действует релеевскнй флюктуационный процесс А ((), который представляет собой огнбаюп(ую некоторого гауссового узкополосного процесса (разц. 3, $7). Формулы (7.59), (7.60) определяют законы распре- деления релеевского процесса А(().

Из (43) обычным способом получаем (у) = а,'+ а,'(А) + а,(Аг), ((у — а,') (у, — а,')) = а,'(АА,) + + а,'аг [(АА,') + (АгА,)) + аг'(А'А,'). (8А 1) Вычислим икодипгие сюда моменты функции А(() при помогци распределений (7.89), (7.80). Введем новые переменные Аг А г (8.48) через которые легко выражаются амплитуды 1 1 1 1 А=2'а", А =2'ав' (8Лб) Перел1енные и, г„в свою очередь, являются случайными величинами. Закон их распределения находим при помощи указанных формул из $7 нг (х) — е-г1 Мох1но показать, что зта двумерная плотность распределения мо- акет быть представлена в виде ряда пО ортогональным полиномам Лагерра (ср. 4.74): ю(х,в]=е ' '- 7 Ел(з)Ел(х) — „,, ~за» л О (8,48) Последчие определяются соотношениями лл Ел (х) = е' — „,л (яле-').

(8А9) г г г ГГ1 (А') =2 а'(»и) =2 аг) е-ля Из=2 аг( — 2~! (850) о Вычисление двумерных моментов произведем, применяя разложе- ние (48), г+а / г а'1 г+л (А А ) па 2 агоа'(г х ) =2 а'+л ахйгпйап ) (85)) ,4„1 " " (и!)а' и=о где обозначено Д „— ) в з е-«Ел (х) ~Ув. О (8.52) 199 формула (47) для одномерной плотности распределения позволяет получить, учитывая (46) и используя обычное интегральное представление гамма-функции (факториала), выражения для одномерных моментов Подставим сюда (49) и после л-кратного интегрирования по частям будем иметь г 1) 2 'х2 1) ''' (2 "+1)3 е о (8.53) г Когда г — четное число, то пРи л> 2 величины «гл обРаптаются в нуль. Поэтому разложение (5!) содержит конечное число членов, ести хотя бы одно из чисел г, о четно.

Для г = 2 согласно (53) имеем «,о— - 1; «от— - — 1; «и— - «токо ... жо. (8.54) для г = 1 все коэффициенты (53) отличны от нуля: у' 1 т"- 1/ 1')тг 'о 2 ' 2 ' " 2 2 ' то 2 1, 2 ) 2 «13 2 1 2)1 2 ) 1 ° ° ° !«1л! ж (2п — 3)8 лет . (8.55) 21 2)~ 2) 2 ' ' ° ьо — — -2лчт. Подставляя значения (54), (55) в (51), получаем (А'А ') =4о'(1+ Яв), (АА,') = (А'А,) =о''Рг2 (1+ — Я'), (8.56) (АА,) = — оз (1 + — ()'+ —.Я'+ — (,(о+...), Пользуясь формулами (44), приходим к результату (у) = ао' + а,'о )/ — '+ 2а,оз, ((У вЂ” П~')(У.— По')) = 2 Пт о'(1+ — Я'+ + 819'+ ...)+ 2а,'азо'уг2п(1+ —,Яз) т-4аа'(1+(со), () 8П (л + Я +64(о +''')+ + так ат" азазело + 4азтЯз. (8.57) 3.

Моментные функции при кусочно-разрывных преобразованиях. Прямой метод Вычисление моментных функций случайных сигналов, подвергшихся кусочно-разрывным преобразованиям, можно выполнить двумя тесно связанными методами: при помсици разложения двумерной плотности вероятности в ряд (прямой метод) и методом интегрирования с характернстнче- (() ской функцией (ме- рЛ тод Райса). Преследуя цель получить практически интересные количествен- с, 0 с са ные результаты сущность обоих методов й'О) выясним на типовых примерах.

а) Преобразование нормальных о флюктуаций. Вычислим среднее значе- р"О) ние ('й) и функцию коРРелЯции А~ (с) Ь,с(рс) ь Ь'д-с,) для флюктуаций т) (Ь), получающихся на выходе элементов с кусочно-линей- ь ф-сД ными характеристи- ьв )-сс) ками 0(й) (рис. 3.3)~ рис, зл. Кусочно-линейная хараите- когда на вход их воз- риетииа и ее производные. действуют нормальные стационарные флюктуации $(Ь) с нулевым средним значением и функцией корреляции Гс (т) = о-ут(т). Тогда одномерная плотность распределения будет а двумерную плотность тв(2, 2,) целесообразно взять в форме разложения (3.14). 201 г 8" (1) =~6>~(! — с,). (8.59) Среднее значение (ч) = ~ К(~) и> (~) й = —, ~ й'6) Р' ~ —,) Ж (8.60) можно записать в форме (Ч) =11п> ) д($)аР( — ).

(8.61) Интегрируя по частям, имеем г~ ~ К(1)ЙР( — )=К(1,) Р( —,') — ~ д'($)Р( —,)Ж. (8.62) Введем функцию с Р> '> (х) = ) Р (х) Ых = — хР(х) + Р' (х», (8.63) которая обладает свойствами — Р~ '>(х)=Р(х); Р( '>( — со)=0. Используя эти свойства, из (62) после вторичного инте- грирования по частям получаем ) д($) п>Р~ — ) =д(Ид)Р( — ') — а ~ д'(1)сЕР> >>~ — ) = Функцию д($) мы предполагаем непрерывной и кусочно-линейной, имеющей разрывы производной в точках сь см ..., с, (рис.

8.3). Это означает, что Подставляя в последнее выражение также (59), находим а ~ у (() Ра ~ — ) — = — на' (со ) + о ~ Ь,Р ( — '), (8.67) ! 1 Полученные выражения остается подставить в формулу (66). Перейдем к рассмотрению различных частных Р са Рис. 8.4. Типовые кусочно-линейные преоорааования.