Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 27

случаев (рис. 8.4). Когда нет ни одной точки излома (г=О, Ь, =0), в выражении (66) остается лишь один первый член. Этот случай соответствует увеличению сигнала в д' раз (н, возможно, изменению постоянной составляющей) . Пусть имеется олиа точка излома 3=с„по левую сторону от нее наклон д'=а, а по правую д'=~. Тогда д'(со) =р, Ь,=р — а и мы имеем д (т) =аз ф+ (а — р)Р~ — ~)~ я+ В частности, при центральном положении точки излома (с~ О): й,(т) = —,( +Р)'й+ + аз(р — а)з ~, (Р<"-0(0))~ —,= — (а+ Р)Щ + а 4 + — '(р — а)' (гс агсз1п Я + у 1 — й' — 1).

(8.69) Случай Я(Š— с,) при Е) с„ т. е. а=О, р=о, позволяет рассмотреть выбросы случайной функции Е(1) и оценить степень их коррелированности. В этом случае имеем а„(.~=г~ф( — — ')я~.~~- .~. З; — (г~' мЯ я'~ )). (8.71) Результаты вычислений коэффициента корреляции А (ч) Й (т) = — по этой формуле с учетом членов ряда вплоть до и= 7 при пяти значениях уровня 7= †, с, представлены на рис. 8.

5 вместе с функцией гс!(т) = е "'> изображенной пунктиром. В качестве примера характеристики, имеюшей две точки излома, рассмотрим несимметричный ограничитель 5с, при 8 )с„ ч=д(() = 5( при с, <Я< с„(8.72) 5с, при Я <с, (д'( о)=0; Ь,=5; Ь,=-5), я(г) которому соответствует корреляционная функция й,( )=5' э Х х ~ ~г!.-'> ( — ")— л 1 -Гм- ~ — )]'Х ЯЯ ! !Х ~~г Рис. 8.8, Грифик коэффициента корреляции й (е). и по (66) среднее значение (ч) =5си+5~с,Ь( —,')— — сит'~ — ") + оР ( — ) — оР'( — ')1. (8.74) 208 Чтобы получить дисперсию выходного сигнала, в формулах (68), (69), (71), (73) можно положить т=О; )с=1. При этом дисперсия получается в форме ряда. Отметим, однако, что удобнее ее находить обычным способом как разность (тэ) — (т~)', пользуясь одномерным законом распределения ср($).

Тогда результат будет иметь вид конечного выражения. Эффективность использованного метода, основывающегося на интегрировании по частям, проявляется также при вычислении высших моментов. Этот метод может быть обобщен на случай кусочно-разрывных характеристик более общего вида, например имеющих разрывы первого рода, или составленных из кусков пара.

бол. Так, в случае характеристики /!7 при Е) с„ 10 при Е ( с! (8.75а) достаточно однократного интегрирования по частям, а при р(Š— с,)' при Е ) с„ (8.75б) ~ ~О 1 ~ ~ < о при Е(с! интегрирование по частям следует производить три раза. Результирующие выражения соответственно имеют вид й (т) —,7! ~~~~ ~'<г и>( ')~ 7,!~(т) (8 76а) л=1 й„(т) =4~!ч! ~ —.АМ вЂ” з!~ ' )1 й~~(!) (8 766) л ! )!7 при А ) А„ (О при А(А,. (8.77) Если, как и ранее, перейти к процессу з(!) = —.„ А! (с) то будем иметь 7 пРн а) гм и= 0 при я(з,, А! лов вы 207 б) Преобразование релеевских флюктуаций. Рассмотрим два частных кусочно-линейных преобразования. Е Пусть огибающая А(!), имеющая закон распределе- /А г Аг! ния Релея ы ехр ( — — нз), подвергается преобразова- нию ~1 ()Гчи) = ()л ~~) —, ~ ~ Ел (я) е ивов ~ . (8.80) л )) ли При вычислении последних интегралов воспользуемся определением (49) полиномов Лагерра и получим 1 л (а) Š— лая (2лŠ— и) ~л — ! л и ли и Это выражение при помоши полиномов лл ,(.)1) (я) - а — 1Ел (ял))Š— и) лЛи (8.81) можно записать так: Е„(г) е иЫг = — аль„"), (гл) е — ".

ла Поэтому корреляционная функция выходного процесса т1 (1), представляющего собой последовательность импульсов, согласно (79), (80) определяется выражением й,(1) =)71Е "гол,~~ )" (ьн~ (я )11 (883) п 1 (8.82) Выпишем для справок несколько первых полнномов (81): Ц)(г)=1, Ц)(я)=2 — а, Ц)(а)=6 — 6г+ял, Ц) (г) .= 24 — 36г + 12гл — гл, ... (8.84) А„а Пользуясь ими и полагая в (83) ял= —,,",, находим Д 1 (8.85) 208 Используя законы распределения (47), (48) процесса я(1), находим ())) =)7 ) е — лггг=)уе (8.79) Для вычисления дисперсии можно положить здесь т=(), Я = 1.

Однако проще для этого воспользоваться одномерным законом распределения и получить (г)г) =7ге г" Пг)=й,(0)=дге "(е" — 1). (8.86) Поделив (83) или (85) на дисперсию 0т), будем иметь следующее выражение для коэффициента корреляции: 7~ ()=В,Яг(г)+ л«' +ВД'(~)+ВД' (~)+ +...), (8.87) где в.=ф ~ ' — г) В (1 А)г  — (1 а + " . Рис. 8.6.

График.коэффициента 2аг 2яа'/ корреляции Я (г). Результаты вычислений по формуле (87) с учетом лишь выписанных членов приведены на рис. 8.6. Эти данные соответствуют коэффициенту корреляции Я(т) = =е ".', представленному на графике пунктиром, и относятся к различным уровням ограничения Аа (А) (для релеевских флюкчуаций — =1,25). (А) а 2.

Предположим теперь, что производится преобразование 5(А Аа) при А > Аа (8.88) =( при А<А„ ~оторое выделяет выбросы огибающей над уровнем А=Аа 14 за«. зд Для отыскания корреляционной функции й (т) воспользуемся разложением двумерного закона (48). При этом замечаем, что преобразование (88) эквивалентно пре- образованию 1 1 а а при в)ао 0 при а<я,. (8.91) После вычитания квадрата среднего (!1> согласно (48) будем иметь Л (з) а=25!аз~~)~ —" Я!а(1) (8.92) а -1 где / 1 1 ! "а = ~ (,г — ге'/ Е„(г) е 'тЬ.

В последнем выражении произведем интегрирование по частям, воспользовавшись соотношением Е„(г) е '!а=о! [гЕ!1!1(г)е '], которое эквивалентно равенству (82). После этого полу- чим л„= — ) аЕ„'~1(г)е '1Ь' . (8.93) аа Вводя параметр р и производя по нему дифференцирование, запишем этот интеграл в форме 1 л, = — Ео1, ( — — ) ~ е-'*1!а аа а 1 (8.94) 210 Пользуясь одномерным законом распределения Релея (7.89), находим средние (ч) =5эу'2ч!Р( — а), (111) =25'оз(е з — у 2чаР( — а)~, (а= — ") (8.89) и дисперсию аа ~...

— — 2е з — 2 у' 2т~аР ( — а) — 2яР' ( — а). (8.90) Если при подсчетах ограничиться этими коэффициентами, положив все остальные равными нулю, то коэффициент корреляции флюктуаций п(1), т. е. последовательности выбросов огибающей А(1) выше уровня Ам будет равен + — Ь,,'Я' + —. Ьз'Я~), (8.98) где. «~ т 2 Х аг'( — з) — чР~ ( — а). а 4л 41 ~и Яг Зависимоцть Д„(т) для коэфра . зд фициента корреляции огибающей Я(т) =е "'при значениях Ао уровня ограничения 7= †'' — 1,25 = — 1; О; 1; 2; 3 приведена на рис.

8.7. Из рисунка видно, что коэффициент корреляции выбросов может значительно отличаться от коэффициента корреляции самой огибающей (пунктирная кривая). При малых уровнях он несколько расширяется, а затем, начиная с некоторого у (приближенно у=О), сжимается. 4. Вычисление моментных функций при экспоненциальном преобразовании. Метод Райса Моментные функции сигнала на выходе нелинейного элемента, имеющего экспоненциальную характеристику ч(1) =Ье' ~о, (8.99) выражаются через характеристические функции входного сигнала $(1).

Это можно использовать в тех случаях, когда указанные характеристические функции являются известными [например, в случае гауссова сигнала $(1)) 212 Путем усреднения из (99) получаем (ч) =Ю,( — (а), (тгч,) =л26,,( — юа, — (а), (8.100) где 6,(и) = (е'" ), йз (и„и,) = (ежа~'"") (8.101) — одномерная и двумерная характеристические функции. Если $(1) — стационарный гауссов процесс, имеющий нулевое среднее значение, то, как известно, 6, (и) = ех р ( — ~ ч'и'), е,( „.,)=,.Р[-т(., ~-зэ~ ~.;,~-~ ~[. э1ои Когда характеристика нелинейного элемента не является экспонентой, для вычисления моментов выход.

ного сигнала при помощи характеристических функций можно применять метод Райса. Сущность этого метода состоит в том, что характеристика нелинейного преобразования представляется контурным интегралом .„э (1) — — ) Р (И) ем~НУ, (8.104) г где соответствующим образом выбранный контур интегрирования Е проходит в комплексной плоскости Й. Когда функция д($) обращается в нуль на бесконечности ($=+.со), в качестве преобразования (104) может быть выбрано преобразование Фурье, причем Р(йЗ) =- ) д(1) е ниг(Е, (8.105) Отсюда согласно (100) получаем искомые выражения для (ч), (чч,), а также для выходной корреляционной функции й,(т) =е'" [е'~~в~ — 1!.

(8.103) и можно ограничиться лишь действительными значениями 11. Когда д(5) обращается в нуль при $(0 (или хотя бы при $ меньше некоторого фиксированного числа), можно применять теорию преобразований Лапласа, а (104) рассматривать как интеграл обращения: д(1)= —,„. ~ е~-"Р(р)Фр 1 с-1 Если при этом нарастание функции дД) при $- со происходит не быстрее некоторой степени аргумента $, то в качестве контура интегрирования в (104) может быть взята действительная ось (с=0) с обходом начала координат снизу (в плоскости р=Ю обход начала координат справа).

Когда функция д($) возрастает в обе стороны (как при $ - оэ, так и прн ~- — со ), целесообразно пользоваться теорией двустороннего преобразования Лапласа. Перемножая выражения (104), относящиеся к различным моментам времени и усреднения, мы выразим моментные функции через характеристические функции входного процесса (ъд) = 4,) ~ Р(И) Р(И )(ехр((Я+ 26])сИсИ„ ьс (ч) = — ~ Р (И) (ехр (И1)) сИ, 1 с (8.107) 1 гг Ф ('л) 4 ~~ ~ Р(И)Р(И,)ехр — 2 Х с е Х Р'+Мха,+ .,']) ИИ,. 214 которые должны быть известны. Если, например, процесс $(1) нормальный и стационарный, то согласно (102) имеем Когда последний интеграл вычислить не удается, целе- сообразно воспользоваться разложением е = ~~' ойле(1лм л (8 108) гд ь=а После этого (103) примет вид (И,) =',)'„— "„"', а"й" (.), и 0 (8.109) где коэффициенты Ь„= —, ~ о"Р(И)е т а~2 1 (8.110) вычисляются уже значительно легче.