Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 15

Подставляя (233), (236) в (232), заменяя 1,„' на и и приравнивая коэффициенты цри одинаковых функциях Л„)'„, получаем систему уравнений ('Т „+ иТ „=ч 1г( —," 1'и+1 ~~~~~а аТ а в~ -) >, — н1~ — )'и Ь„,э„Ть „ (4.237) ((и, и=О, 1, 2,...), которая эквивалентна двумерному уравнению Фоккера — Планка.

Когда параметр р достаточно мал, уравнения (237) удобно решать методом возмущений. Полагая и=О в (237), получаем 'гРТ а = Р' 1( 1 ~~~ а~ьТм. Здесь и в дальнейшем через Р обозначен оператор ( д дифференцирования Р= —.) Ко Т„, можно найти, полагая в (237) и = 1, что дает Т т'2~ 1I' Х 'ь э г' 2 аа(7( (+эр )' —, ", ~ — ' ~Ь„лТ„, н*й Для отыскания 7'и в (237) следует положить а = 2: у'Зи ч/ .

~~ Тж — — 2,, в' 9 са ацТгз —," ~'„~/ — ' я~Ь„.~,,Т1, 1 н подставить во второй член предыдущее равенство. В результате такой процедуры получим разложение по четным степеням малого параметра 11 (1 + Изрр (9 + Ч,) ~~ ПтаЛьбыЛ,Тм -1- р' . (4.238) м Задавшись определенной точностью, можно отбросить члены более высокого порядка и несколько упростить остающиеся члены. Так, во втором приближении будем иметь р+ +, 1 Т, = гУ ~~~~а„„л ь,л,Тм + р' ... (4.239) [ м Преобразуя выражение в квадратной скобке, получаем р )- Л (( 4- р р)-'= р )- ˄— р Л„р,— 1 =(( — ИзЛ„) [Р+Л„() 1,зЛ.)-)+9 ... = =() пзЛ )(Р-)-Л -)-Р~Л 1.~ „...

Следовательно, с той же степенью точности, что и (238), можно написать Тто= — (Л +НЛ'„)Тто+ 9'Хп~аЛиЬмЛТмЬ~Р' "(4 240) ы Найденное уравнение определяет изменение во времени коэффициентов Т,. Если 1г=О, то каждый коэффициент Т а уменьшается во времени по экспоненте с постоянной времени Л„ (кан это было получено для одномерного процесса Маркова); возмущение, имеющее форму собственной функции Х (х), при этом уменьшается без 109 изменения формы.

Когда (х ~О, возмущение, которое уменьшается зкспоненциально, имеет уже несколько другую форму. Рассмотрим форму того возмущения, которое уменьшается медленнее всего (с временным множителем е~' ) и которое при р=О совпадает с первой соб. д ственной функцией Х,(х). Полагая в (240) — =рь находим при гпчс! р~+ Лщ+ ~'~ а Полагая же и=1, получаем постоянную затухания Р = — Л вЂ” (ьзЛ з+ РтЛ ~ а ЛаЬа + (ь4 ...

(4.242) Одномерная плотность распределения гв(х) выражается формулой ю(х)= ~~!, ТтоХ (х), (4.243) т о которую можно получить путем интегрирования по у разложения (229). Подставляя (241) в (243) и удерживая лишь члены порядка )га, находим форму нестационарного возмущения ( )=г„[х,( )-Ь~')ч ~ '"' ' "— х„( )], Н.244) тег которое медленнее всего исчезает по мере установления стационарного распределения и которое пропорционально изменившейся собственной функции Х1(х). Таким же способом могут быть найдены форма и постоянные затухания других изменившихся собственных функций. Отметим, что уравнение (240) эквивалентно некоторому дифференциальному уравнению длн одноыерной плотности м(х), Чтобы его вывести, следует в соответствии с (243) умножить (240) иа Хщ(х) и просуммировать по щ. При этом следует учесть, что со. гласно (233), (230) Х д кч Хщ (х)атаСа = д Хтва Ха (х) Сь та а Х- - -~= — — ~Х Гд д чсч Хщ(х)ЛщСт ) дхУ(х) — 2 д — „а) ~4Хт(х)Сщ.

Таким образом, а а соответствует оператору дифференцировании, Ьа~ — оператору йнтегрированив, а Лт соответствует оператору 110 дГ х д1 — ~у(х) — — — 1!. 1!есложные вычисления приводят к следуюдх[ 2 дх]' щему дифференциальному уравнению: д 1, Г х ди~(х)1 ю(х) = дх []! гвУ'(х)] ] — х'(х) ю (х) + 2 д [], (4.245) ( /' (х) = г)/ (х)/дх). Если его рассматривать как обычное одномерное уравнение Фоккера.-Плавна, то ему будут соответствовать функции х Кт (х) г (х) рвг (х) г (х) — !хз 2 г (х) Кт (х) — т.

!1 — !ьЧ~(х)]. Разумеется, при учете более высокик порядков по р соответствующее уравнение будет более сложным. 3. Когда параметр р не является малым, решение уравнения (223) целесообразно проводить другим способом. Рассмотрим противоположный крайний случай 1 больших значений )ь. При этом, обозначая — =и и заменяя время ( на (/е, уравнение (223) можно преобразовать в уравнение х -1- ах — /(х) =)ге.с(1). (4.246) Когда в мало, это уравнение описывает поведение системы, совершающей нелинейные колебания в условиях малого трения и под действием слабых флюктуациоиных сил.

Удобно ввести в рассмотрение «энергию» Е =- -'- + и (х), (4.247) где х и(х) = — ) /(г)гав Х~ — «потенциальиая функция». Умножая (246) на х, полу- чаем Е = — ехв + )Ге хс ((). (4.248) Таким образом, вследствие (247), (248) мы имеем два флюктуационных уравнения х = )г 2 [Š— и (х)], Е = — 2а [Š— и (х)] + ~l 2е [Š— и (х)] с (а). (4.249) Обычным способом им можно поставить в соответствие уравнение Фоккера — Планка для плотностк распределения щ(Е, х) та (х, Е) = — — — 1)~ 2 (Š— и) та( + д + 2а —.

~(Š— и — — '~та~+ их — [(Е - и) и) (4.250) дЕ((, 4 ) ~ дба Если е мало, энергия Е сохраняется в течение значительного числа периодов колебаний. При этом время пребывания координаты х(() в точке х обратно пропорционально скорости х = т' 2(Š— и). Поэтому при фиксированной энергии имеет место условное распределение 1 о 1((Š— и(х)1 ', где и(х) <Е, (4251) (О, где и(х) ) Е.

Нормируя это распределение, записываем двумерную плотность распределения в виде тв(х, Е) =я(Е)а~(х~ Е) =, — — . (4.252) 2т'(Е) у'Š— и (х) Здесь введено обозначение (4.253) причем интегрирование проводится по области )с(Е), где и(х) (Е, Распределение (252) можно обосновать также непосредственно при помощи уравнения (250). После установления квазиравновесного распределения, которое характеризуется тем, что и имеет порядок в, из (250) мы получаем , (ьЕ () 1=,...

и после интегрирования тв = гс (Е) +и у' Š— и (х) 112 Таким образом, отклонение щ(Е, х) от (252) составляет величину высшего порядка малости е. Подставим (252) в (250) и, проинтегрировав по х, получим одномерное уравнение Фоккера — Планка для энергии 1в(Е)=з де [( —,д — 2)та~+ 2 и,,~, д |в], (4.254) где 7(Е) = ) )/Š— и(х) их. и 1Ю Сведение двумерного уравнения Фоккера — Планка к одномерному существенно облегчает задачу исследования нестационарных флюктуационных процессов. Стационарное же решение уравнения (254) при учете (252), (247), естественно, совпадает с полученным ранее решением (228).

Б. Рассмотрим несколько другое уравнение х+аи(х, х) — 7'(х) = [7Я((1). (4.255) Для соответствующего ему уравнения Фоккера— Планка уже нельзя так просто, как для (224), написать квадратуру стационарного распределения. Однако прн малых значениях параметра е можно применить изложенный выше метод, позволяющий, в частности, получить стационарное распределение. Умножая (255) на х и рассматривая вместо х энергию (247), получаем уравнения х=3/2(Š— и), (4.256) Е= — ау'2(Š— и) й [х, 312(Š— и) ) +)~ 2в(Š— и)1(1). Соответствующее ему уравнение Фоккера — Планка будет отличаться от (250) лишь видом второго члена в правой части, где вместо 2(Š— и~) теперь будет стоять "г' 2(Š— и) Ь [х, у 2;Š— и)[.Подставляя (252) в это уравнение и интегрируя по х, получаем одномерное уравнение то(Е) ='де ~(т,(е) — 2) тв1+ (4.257) 113 Здесь ь(Е) = ~Л[х, )У'2(Š— и)] Ых.

(4.258) О1н) Выведенное уравнение позволяет обычным способом найти стационарное распределение ну (Е)=сопя(о'(Е)ехр[ — — ~, ЫЕ'~. (4.259) 2 Г ф(Е') х ~ т(е') Если равенством кР(е) т (Е) ие т (Е) (4.260) ввести функцию Г(Е), то двумерное распределение (252) запишется в виде та„(х, Е) =- е * . (4.261) 2 тУ Е вЂ” и (х) Переходя к х и учитывая, что АхЫЕ=-хдхдх, будем иметь тн„(х, х) = —, екр ( — — Р( 2 + и (х)))', (4,262) 1 ( 2 1Ф где Лг=~ ехр 1 — — Р11 — + и(х))~ ихиу. 2 У уз тн„(х)= —, ~ ехр ~ — — Р(1 —, и(х))~Ыу.

(4.263) Когда Ь(х, х) =рх, функции )(Е), ч (Е) пропорциональны друг другу и распределение (262) совпадает с (226). В. В заключение рассмотрим уравнение р'х+ )1+ р'Ь(х)) х — ~(х) =1(() (4.264) 114 Интегрирование по х дает плотность распределения по х более общее, чем (223). Ему соответствует уравнение Фоккера — Г1лгнка райш(х, у) — — р,~у — + г'(х) — 1+ + рви (х) д (у'ш) г ду ~уте) г 2 д з (4.265) (у =- рх). Параметр р будем полагать малым и использовать его при решении последнего уравнения методом, который является развитием метода, примененного на стр. 106 — 110. Запишем плотность распределения шах, у) в форме ш (х, у) = ~~~ те„(х) У'„(у), (4.266) где У„('у) — собственные функции (235) уравнения (231).

Прн подстановке последнего разложения в (265) следует учесть первое равенство (236), а также равенства — (у1'и) = — 1 й+1)~ й+ 2 1лез — й)и~ д ду (4.26?) у)'„— — $/ — ()~"й+ 1 1'„.,1+ у' и)'„,!, которые вытекают из (23!) и (236). Группируя в (265) коэффициенты при одинаковых собственных функциях, получаем систему уравнений (и+~ Р+р йЬ)ш.— ~~I —,1 и+1 „+ (4.268) — 1 2 К и — 1 7 и Ьта„, Ее будем решать методом последовательных приближений. Задаваясь той же степенью точности, что и на ыз стр, 109 †1, достаточно учесть лишь три первых уравнения, которые соответствуют п=0, 1, 2 и имеют вид т/х д !" Ртво = !" у У яд т/х У2 а - — "2,+,.„м,,х-+ -,'— н ~ „,,„, Рте„, (4,269) Г 2 2+ я'р+ 2рХИ дх 1,/2 у2 Р ету2л +! Г х 2+рЛр+2!да г 2+Глр, 2Н2Л м х д где обозначено Р= — 7+ — —.

2дх' Подставляя второе равенство в первое и третье„ а также используя третье равенство, получаем уравнение, которое с треоуемой степенью точности можно записать д ! Ртво= ах. 1.! гзр Ч пзл Ртво+ д~ х д2 +!2 Раю „2 ьта + „4 дхт о 2 дхт Преобразуя (1+н2р-)-при)-' к 1 — и'р — рЧ, перенося д член — р'р — Рте, в левую часть и поделив обе части д равенства на 1+ !х' — Р, будем иметь дх д ,~а ° 2,д рта = — Рте — р'( — Р~ тв + р' — Р-'тв— о — дх а ( ах ! о дхе о !х д йРтео р 2 дх' А'Юо' (4.270) 1!6 Учитывая вид оператора О, объединяем второй и третий члены в правой части дгд д1 д =- — [ — У-У вЂ” ~~) = — — Х'О дх ~дх дх ( дх Таким образом, полученное уравнение (270) можно за- писать — —, — Ь'Ьм)).

к дз 2 дха (4.271) тд„ (х) = сопз1 Х х р(Р(р) ))) ) рр) ))ш~рч) )(. )рр)р) Последнее выражение является обоб)пением формулы (227). Для флюктуационного уравнения, взятого в форме ах+ Ь(х)х=у(х)+1(х), (4.273) полученная формула записывается м)„(х) = сопз1 Х (4.274) 117 Здесь ю,(х) заменено на и)(х), поскольку юр(х) есть не что иное, как одномерная плотность распределения по х. В этом можно убедиться, интегрируя по у разложение (266). Таким образом, мы получили одномерное уравнение Фоккера — Планка, которое с выбранной степенью точности эквивалснтно двумерному уравнению.