Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 10

Длв доказательства соотношений ортогональности выпишем уравнение (51) дли различных собственных функций д д д а[Х!=л Х; д 6[х„[=л»Х», ( 1 д 6 [Х[ = — о дх [~;л[+ К,Х). Х» Хт Умиожим первое уравнение на —, второе на — и проинтегриШст тст руем по х. При этом будем иметь г д Их Г с)х лдхт~т)лт Лл д 6 [Хт[ — Лт ) Х»Х,» —, (4.57) д с)х Хт д а [Хл[ — Лл ) ХтХ» †. (4.58) Докажем, что левые части равенств (57) и (58) равны между собой. Рассмотрим интеграл д 1=1К д. 6[ш„ядхл» 1 С дз 1' д = — 2 )К дхв [Хзш-Лдх+~ К дх [Цгш..У[. Другие собственные функции Х удовлетворяют условию ) Х (х) с[х=О. (4.54) Ого можно записать в виде г) ЛКгигст д«в Дх — ) а дх [Кгюсг! дх «1» 1 Г д' à — ) ~У д,я [Кгпгст! «1»+ йК«таст д, дх+ + ь«У дх [К«юст! дх.

Д Третий и пятый члены выпадают вследствие того, что стацнонардй [агст! нос распределение юст удовлетворяет уравнению . = О. дх Из (47) видно, что при условии П [тв«т! — О (4.59) Ду второй член равен — 2~йК«юст Д Дх и его можно обьединить с четвертым членом, Поэтому 1 Г дЧ Г ду ) ОКгюст дхг «(~ вКгпгст дх ~~' Интегрируя последнее выражение по частям, получаем 1 Г Дв Г Д 7= — 2 ) «),г [Кгтвстй!Лх+ ) д» [К«юстй[Ф»= Г д = ) д,, П [Ф«тб[Удх прн условии, что Ду Дл а дх дхг илн уП [юстУ! — 6 [встл! У = О, (4.60) на границе рассматриваемой области. Хл Хсг Таким образом, положив л = — ", 7" = —, мы убеждаемся игст ' и'ст в справедливости рзвенства д Нх Г д Фх Ха дх с«[Х«г! и, ) Хлг дх тт [Хл! „, ° (4.61) 67 Для его~о достаточно условия (59) и хотя бы одного из тра. ничных условий: Х сг [Х) = О или — = О на границе.

~ст Учитывая (57), (58) нз (51), имеем йх (Лсс — Ла) ~ХссХа — —— О, Шст откуда следует ортогональность (с весом 1/таст) собственных функций, соответствующих различным собственным значениям. Каждая из собственных функций порьтируется так, чтобы интеграл лх 1 Х,т — равнялся единице. Приведенное рассмотрение докаты~ст вает соотношение (55) в случае, когда существует стационарное распределение, удовлетворясоцтее равенству (59), и собственные функции имеют не совпадающие собственные значения.

В большинстве практических случаев система функций Хас(х) является полной. Пользуясь соотноптениями (56), выразим Т через начальное распределение пт(х, са). Полагая с= со в (55), умножая обе части равенства на —, интегрируя по х )(сс таст и учитывая (56), получаем Т =из(х, йе) Х„(х) . (4.62) Если начальное распределение дельта-образно: (ит(х, ге) =5(х — х,), то распределение тп(х, г) совпадает с вероятностью перехода р„ (х, х,). Согласно (55), (62) в этом случае Хсс (х) Хсс (хс) — х (т — тс) (4 65) Р„ххо —— Х () е" пс =о При помощи вероятности перехода (63) и начального распределения можно записать плотности распределения различной кратности Особенно короткое выражение получается для двумерной плотности распределения ттт,(х, хо) = р...

(х, хо) тр„(хо) при стационарном начальном распределении тр,(х, х,) = «~ Х (х)Х„(х,) е '"1''. (4.64) сс О 88 Отсюда, в частности, можно получить выражение для корреляционной функции и спектральной плотности случайного процесса у(1) = Г(х(1)): Ф, (с) = ~' й(„,'е ~л -! а„и' Б(У, 1=,'» .',"1„л, л) = ( (4.65) (4.66) где 7(,л=) Р(х) Л,„(,х) (Ь. (4.67) Примеры. 1) Рассмотрим в качестве примера уравнение та — Охи)) + —,—,, д К дз(л Уравнение (51) при этом принимает вид дл)( л~ д ~-+ дх (хХ) +-р-Х- — -О, ~л~= 2~). (4.68) Решение должно обращаться в нуль при х- + л.

Пользуясь формулами 7.355.3 и 7.351 из справочника (1Ц, получаем, что указанному уравнению соответствуют соб)'л ственные значения — =и, (п=О, 1, ...), и собственные функции, пропорциональные ~(лл)) Н где л( ~(ли() (х) " е 2 д л Подбирая соответствующим образом нормировочные постоянные, имеем 69 Х„(х)= ) — Р(" '~(~); ),л=и~. (4.69) Разложение (64) при этом совпадает с разложением (3.14), где 77=е — ~)'(. Если рассматривать уравнение (68) не при всех значениях х, а лишь при х ) О, присоединяя граничное уоло- и разложение (64) имеет внд 2 ~~ ! /х1 (х,,)=- -2„— — го: >ЯХ а —,у,Д~ (> ( а! е=О ХР<-""'"п~ — ') е з ~' ~. 1 о/ (4.71) 2) Рассмотрим уравнение тв == — ~~8х — — ! ю~ + — —, (4,72) дх ~(,' 2х! ~ 2 дхв описывающее релеевский флюктуационный процесс, Уравнение для собственных функций е' — + — (хХ) — а' — ~ — ! + — — Х = О, ( а' = — ! хз после замены переменной а = —,, переходит в уравне- ние ,Г 1 Л В качестве граничных условий нужно брать нулевые условия при х =- 0 и х = Согласно формулам 7.302 н 7.142.1 собственные функции указанного уравнения, соответствующие собственным значениям Л„= 2пр, пропорциональны 1 х' е Е„(г), где Е„(а) =е' — „,„(г"е ') — полииомы Лагерра.

Следовательно, гд /хэ1 (4.73) то вие 0 (тв)„,= О, то из указанных выше собственных функ. ций надо будет удержать лишь функции с четными номерами. В этом случае '-' 1 /х1 Х„(х) = — — — -- — Рм еп(, !; Л,„=2тР (4.70) и разложение (67) имеет вид хоах В ххо, ~с1 1 (ха 1 тв (х, х )= — е '*,г — ь 11 — ~ Х о ~Г4 (и!)о о(, 2оо ~ о-о /хоо ) -Ооо)-.~ "'1 2оо! (4.74) 3) Возьмем уравнение несколько более общего вида та= дх ((Рх — г) та)+ 2 дхо (4.75) с нулевыми граничными условиями при х О и х: оо.

Соответствующее ему уравнение для Х оо — Х + — (хХ) — оо .:)х — ~ — Х~ + -оо- Х = О до д дхо дх дх '(х (1 Х 1 2+н+2з 4 н (4(о = — 'т — 1) . Используя формулы (7.302), (7.142.1) указанного справочника, находим собственные значенич ) о=-2и2 и собственные функции ии(г), пропорциональные 2 'е '7.„' (). Переходя к старым переменным и нормируя соб- ственные функции, получаем Х„(х)— 1 Х т' и! Г(и -, '2н+ !) Г(2н + 1) хоо+1 -"— , ~ хо о Х з, е 2о' ь(ои) ( —,) . 2оо 4о.~-о л 2о (4.76) 71 ха заменой переменных х= —,, и=а 'Х преобразуется к виду Согласно (67) имеем разложение «'~-х,' .4 1 Си Г (и + 2Н + 1) Г 12я + 1) ~с 7<а) ( ) 7(Я~)( " ) (4.77) которое является обобщением разложений (71) и (74), б, Многомерное уравнение Фоккера †План Содержание первого раздела настоящего параграфа непосредственно обобщается на многомерный процесс Маркова, составленный из нескольких случайных функций х,(1), ..., х (1).

Такой процесс описывается вероятностью перехода р„,(х,(г),..., х„(1); х,11'),..., х (1')), через которую могут быть записаны многомерные распределения. Вероятность перехода есть условное распределение р,г (х,,..., х; х,',..., х„') = е'(х~ .. хе хг . х~и ) (4.78) и (х,..., х„) тв(х,,...,х )= д — [К. (х,, х„) тв (хо, х„)] + а 1 — (К,а(х„..., х,„) тв(х„...,х )1, (4.7Э) «,) 1 ~ Ф ?2 случайных значений х,(Е) =х„..., х (Е) =х„в общий момент времени 1 при фиксированных значениях х, (1') = = х,', ..., х (г') =х ' в предыдущий момент времени 1' ( 1. Одновременная плотность распределения тв (х, (г), ..., х (1)) в случае непрерывного марковского пропесса удовлетворяет многомерному уравнению Фоккера — Планка где коэффициенты интенсивности К„, К,о определяются формулами К„= 1!т — ( х„— х,); 1 .-о К„о — — 1!п1 — ((-х„, — х,) (хо, — хо)) (4,80) 1 -о ' по аналогии с (20). В частном случае, который может быть назван случаем флюктуационной изотроп ности, матрица !! К.о !! имеет вид К„,=К3„,.

(4,81) При этом уравнение Фоккера — Планка (79) можно за писать в виде д0„ (4.82) а 1 Здесь О,=К. (х) тэ(х) — — д [К(х) в(х)) (4.88) а (х означает совокупность координат хь ..., х ) суть составляющие вектора потока в т-мерном пространстве. Как можно видеть из (82), стационарное распределение вероятности в„ удовлетворяет уравнению: (4.84) Теперь при т ) 1 поток вероятности 6 не обязательно обращается в нуль внутри области рассмотрения Я, даже если на границе ее заданы нулевые значения потока: 6,(х).=0 (о=!, ..., т), (4,85) так как могут иметь место вихревые перемещения вероятности. Нулевой поток внутри всей области Ки(х) «'ст (х) — = = (К(х) тест (х)) =0 (4.86) 1 д к будет иметь место лишь в частном случае, который мы будем называть потенциальным, случаем.

Положив в (86) К(х)тэ„(х) = е (4.87) 73 получим дУ К Я В дх (4.88) Отсюда видно, что в потенциальном случае составля- К (х) 1ощие (а=1, ..., т) образуют компоненты гра- К(х) диента некоторой функции и, следовательно, удовлетворяют условиям (4.89) При выполнении последних функцию У с точностью до аддитивной произвольной постоянной можно определить контурным интегралом У(хо ...,х )= ге,,к, К (К,Ас,+... +Кщдха)+С, (4,90) ае..., а, причем аддитнвная постоянная в (90) определяется из условия нормировки )...~ те,,г1х„..., дх =1. Полученное решение (90), (91) является очевидным многомерным обобщением формулы (49), Если выполняются условия потенциальности (89), то всегда можно чапнсать стационарное распределение (9Ц, которое удовлетворяет уравнению Фоккера †План и нулевым граничным условиям для потока (85), При других граничных условиях или при нарушении условий потенциальности (89) задача нахождения стационарного распределения сильно усложняется.