Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 12

(4.120) Взяв производную по времени от обеих частей последнего равенства и подставив под знак интеграла в правую часть выражение (119), будем иметь в = ~; — ', — ) ((и)'е '" ~ -" > 6 (и, ~) Ыи, (4.121) х-1 Отсюда, учитывая, что ((п)ие-и (х-хи Вг(п 1 Р 2и ) =( — ) ~е-!и(х хагаи — ( ) тв 8 Зии, ЗЛ 81 находим е ( — 11' ' д'со те= й —.

дх' е 1 (4.122) Мы получили для немарковского процесса стохастическое уравнение типа (19), Даже для стационарного флюктуационного процесса коэффициенты се зависят от времени. Однако эта зависимость существенно проявляется лишь для временных интервалов порядка времени коРРелЯЦии 1 — е„ер1 пРи вРеменах 1)) е„,р коэффиЦиенты практически не отличаются от постоянных. В самом деле, из (118) и (2.2) имеем с с ),=е"~... ~'2,(~, ~„..., с,,) 7х„..., Ю,,= о о о о =е'з ~... ) 7е,'(ео ..., е,,)сне,,..., й-, с (4.123) -с Если предположить, что интегралы о о )... ) Ае'(е„..., е,,)сй,...с(е,, (з> 1) (4Л24) где о о К,=з ~ ...

) 7е,'(е„,, „е, с) сй„..., сй, „(з)1) (4.126) — коэффициенты интенсивности процесса $(1). Можно доказать, что для них справедливы также выражения Кс =- ) ... 1 )гс'(о„..., о,,) (о,...Ь,,= в е $ =з! ~ Ые, ~сне... ~ 8е'(ос,, те с)сйс с. (4.127) о о 82 являются абсолютно сходящимися, то отсюда вытекает с8 — е'К при 1 - со, (4.125) Коэффициент К, при этом совпадает с (2.8): К, = К = 2 ) А (~) с(~. о Итак, для достаточно больших временных интервалов уравнение (122) имеет вид ю 1 (4:1 28) При наличии малого параметра а роль высших производных мала, основную роль играют лишь низшие производные. Если отбросить член с з ) 2, то уравнение (128) перейдет в уравнение Фоккера — Планка.

Справедливость стохастического уравнения для плотности распределения, конечно, еще не означает, что процесс является марковским. Для этого нужно, чтобы многомерное распределение выражалось произведением вероятностей перехода. Вероятность перехода в этом случае записывалась бы через плотность распределения (120): р, (х, х,) =та (х -- х„т).

Если многомерное распределение распадается на произведение таких функций, то это значит, что случайные приращения за последовательные интервалы времени Х, = х (~,) — х (О), Х, = х (~,) — х (1,),... (4.129) (0<г,<~,<...) иа соседних интервалах, зз независимы друг от друга. Условие Маркова, следовательно, эквивалентно условию независимости указанных приращений, В реальном же случае, когда время корреляции конечно, между случайными приращениями (129) имеются корреляции.

Рассмотрим для примера парные корреляции между приращениями Х, = х (~,) — х (О) = а ) Е (1) Н, о 1 ° Х,=х(~,+ ~,) — х(~,)= ) 1(1) И,... (4.130) ч (4.131) —.,о При абсолютной сходимостн интеграла о ]««(«о- ««) «й««йо=) ой(о)«й, (4.132) --ь о Парная корреляция для ннх определяется формулой К [Х,, Х,] = о ] ] 1«(~ — 1«) ЮА'«о=— о о в —,),) ~ (~о ~«)Е «~~А~о.

Удобно определить время корреляции формулой ) тй(т) «2т о = — ~ ~А (~) «~~, .(4.134) 2 г ()1 о несколько отличающейся от (2.7), но дающей величину того же порядка. Тогда при достаточно больших т«и то парная корреляция приближается к постоянной величине К [Х„ Хз] 2 нокор. (4.135) Дисперсия случайных приращений при этом будет зна- чительно больше ее: 7 ° в РХ,=.

] ] йР,— г,) а,~С= оо =2оо ] (т« — с)А(т)Фс=ооК(т«ткор)+1Рм (4.136) о из (131) имеем К [Х„Хо] =оо ] ой(т)«И+Р, (4,133) о (Р— О при тд, т -«со). РХ2 — — 222 (ср — с) )о (2) Ыс = 22К (сс — скор) + Рс, (Р,— О при с,; Р, О при с, со). Отсюда следует, что коэффициент корреляции а (Х1) а (Ла) о т'(11 скор) (ка око ) будет малой величиной при (4.138) 21 )) скор 22 З ~кар Поэтому если рассматривать лишь интервалы, которые по длительности значительно превосходят время корреляции, то парными корреляциями можно пренебречь. То же самое относится и к корреляции высших порядков с той лишь разницей, то в качестве времени корреляции теперь следует брать время ак а-2 21 1" скор — — К ) ссатс~сйк...

~ Фа'(21,..., ка 1)сйк „(4.139) о о о (з> 2) которое характеризует быстроту убывания корреляций высших порядков. Для интервалов времени, сильно превосходящих времена корреляции, приращения (!29) можно считать полностью независимыми, а процесс х(1) — процессом Маркова. Это значит, что функцию $(с) с корреляционными функциями )с,(11, ..., 1,)( можно заменить на дельтакоррелированный процесс, который имеет корреляционные функции К,Ь(~, — с,), ..о(с, — ~,) (4.14О) с теми же самыми коэффициентами интенсивности К, = ) ...

) кс, (1„12,..., 1,)к(112... И„(4.141) что и реальный процесс 1(1). 3. Замена реального случайного процесса процессом Маркова. Общий случай Перейдем к рассмотрению более общего случая, когда на функцию, стоящую в правой части уравнения (115) х=ОР(х, 1(1), а) — = ОР(х, 8) (4.142) не накладывается каких-либо особых ограничений. При этом вывод сгохастического дифференциалвного уравнения для одномерной плотности распределения более сложен. Зафиксируем значение (4.143) х(гО) =х, в начальный момент времени 1О и рассмотрим приращение х(д) — хО=Н(хО) =Н(х„1, 1О), (4.144) которое теперь существенно зависит от начального значения х, Функция Н(х,) вычисляется путем решения уравнения (142) с начальным условием (143). Будем ее искать в форме разложения Н(хо) = ОНО (хО) + ООНО (хо) + (4 145) Подставляя в (142), получаем ОН, ]- О'Н, +...

= ОР (х,) + = — (х,) [ОН, + О'Н, + дР О дОР +...]+ — —,(хО) [ОН, +О'Н + ]'+. Приравнивая члены одинакового порядка по О, находим Н, (х„) = Р (х ), Н, (хч) = — (х,) Н,(х,), дР НО(хО) д (сО)НО( О) + 2 д12 ( О) 1 ( О) интегрировании разложения (150) с функциями )(хо) более или менее широкого класса, при атом имеем та(х, х,)~(х,) Ых,=у(х)+ Мы видим, что функция )(х) здесь сначала умножается на (Н' (х)), а затем все произведение подвергается дифференцированию. Удобно .ввести оператор Е = ~~й — ( — — ) (Н' (х)), (4.151) в котором операции умножения и дифференцирования производятся именно в таком порядке. При помощи его равенство (150) можно записать тв=-(1+1) 3 (х — х„]. (4.152) После дифференцирования по времени получаем то= 1А (х — х,).

(4.153) Используя формулу (152), последнее равенство записываем в виде (4.154) и = Е (1 + Е) 'та, где (1+1) '=1 — Е+Е' — П+... (4.155) — оператор, обратный оператору 1+1. Уравнение (154) есть искомое стохастическое уравнение. Оператор Е (1+ Е) ' в нем задается разложениями (155), (151) и (145). Поскольку Н и А имеют порядок а, все три указанных ряда сходятся как ряды по степеням малого параметра. Подставляя указанные разложения и объединяя члены с одной и той же фиксированной степенью параметра е, получаем результирующее разложение для Е (1+ Е ) ', первые члены которого будут нами конкретно вычислены. При увеличении временного интервала 1 — 1г сходимость рядов (145), (151), (155) ухудшается, между тем как сходимость результирующего ряда не ухудшается, и он стремится к некоторому предельному ряду, не зависящему от начального момента 1г.

Задавшись целью найти те члены результирующего ряда, которые имеют порядок е и ег, мы будем в промежуточных выкладках удерживать лишь нужные для этого члены. Согласно (155), (151), (145) имеем Е = ( — —,' ) (Н) + ( — +)' (НН) + "... = <1+Е)- =1 — Е+"... =1 — ( — -' — ) <Н>+. дт =1--$( — — '(йг>+$ ... После перемножения находим Е(1+Е) '= — е — (Нг+аНг) +ег д г (НгН,) д < > д < у + (4.156) легко видеть, что Н, (х) -д — —— д (Н, (х)) — д (4.157) и, следовательно, В последнем члене переставим порядок действия опед раторов д и (Н, (х)).

Из тождества Для интервалов времени 1 — 1о, значительно превышающих время корреляции т„,р функции Р(хД(1)) (или функции $(()), уравнение (154) практически не отличается от уравнения Фоккера — Планка та = — — ~[М (х)+ — К' (х)~ та ~ + (4, 162) Время корреляции по аналогии с (134) целесообразно определять соотношением о = — о' ) ! (К ('гт, гт,) д~. (4.163) При временных интервалах 1~ — (о, (о — (ь..., значительно превосходящих время корреляции (163), много.