Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 16

Указанное уравнение позволяет найти, в частности, стационарное распределение 12. Переход от процесса Маркова к сглаженному процессу Процессы Маркова удобно рассматривать потому, что для их исследования можно применять эффективные ма1ематические методы. Вместе с тем, замену реального процесса на процесс Маркова нужно проводить с известной осторожностью ввиду того, что процессы Маркова обладают рядом специфических черт.

Они отличаются от процессов, встречающихся в радиофизике, тем, что им не свойственна гладкость. Пусть, например, процесс у(г) описывается уравне. нием у — у (у) =1(г). (4.275) Если случайная функция в правой части имеет малое время корреляции т„,р (( т,, где в соответствии с (188) (ду1 «« — ~ — ), то соглатно изложенному в п.

8 можно поль 1 ду / зоваться уравнением Фоккера — Планка (162) для ю(у). Тем самым реальный процесс у(() будет заменен на процесс Маркова х(г), удовлетворяющий уравнению (4.276) х — 7(х) =г.(1), где "(1) — дельта-коррелированный случайный процесс, имеющий ту же интенсивность К, что и $(() . Поскольку ~(Г) имеет бесконечную дисперсию, из (276) следует бесконечная дисперсия производной; ьух= со, которая говорит об отсутствии гладкости функции х('Г), об изрезанности ее графика.

В радиофизике емкости и индуктивности, всегда имеющиеся в схеме, сглаживают процесс. Чтобы получить подобие того, что имеется в действительности, процесс х(1) или Г((), нужно подвергнуть сглаживанию с постоянной времени «„, (( «, (в случае (275) «„ порядка времени корреляции процесса $(()). Процесс сглаживания существенно меняет поведение процесса х(г) в масштабах времени пà — т„, «крупномасштабные» же флюктуацин (ц( — хв )> т„) остаются почти без изменения.

Результаты, полученные путем применения аппарата процессов Маркова, ценны только в той части, в какой они характеризуют именно эти «крупномасштабные» флюктуации. Чтобы представить себе, как влияет операция сглаживания на процесс Маркова, рассмотрим конкретный пример сглаживания, а именно положим (4.277) Это соответствует тому, что $(() в (275) предполагается экспоненциально-коррелированной функцией, удовлетворяющей уравнению т„,1+1=г..

(4.278) Согласно (275), (278) для сглаженного процесса у1'() будем иметь уравнение второго порядка т„,у + 11 — ~„,7'(у)]у — 7'(у) = 1(1). (4.279) Приблизительно к тому же уравнению мы придем, если в (276) подвергнем усреднению не ~(г), а х(1), по- ложив, у(8) = ) — е "' х(1') гИ', (4.280) т. е. (4.281) Вытекающее из (276), (280) уравнение т,.у+ у — 7(т,.у+) ) =~ те„(у) = сопз1 ехр —,, ) 7'(г) Фг— ~2 Г У вЂ” 1","Р(У) — '-У'(У) . (4.282) 119 совпадает с (279), если разложить 7'(у + т„,у) в ряд по т„, и пренебречь членами высшего порядка малости. Уравнение (279) соответствует двумерному процессу Маркова.

Оно является частным случаем уравнения (264), решение которого было рассмотрено в равд. 11. Применяя формулу (272), его стационарное решение можно записать Отсюда видно, насколько сглаживание искажает стационарную плотность распределения. Если Г' линейная функция: )(х) = — рх, то х(1) будет экспоненциально-коррелированным процессом, причем а[С, а>) 2К К щ,~ Б [~, ~[ = „, ' „, =, й,; А„(~) = — е В соотвегствии с формулой 7 табл. 2.1 его корреляционная функция имеет вид й,(т)= — (1 — Р'т„',) '[е гв1 — [1т„.е Я. (4.284) [Ву — „(1+8„„) ). Условие рт„, сс' 1 позволяет несколько упростить это выражение К~ -Ми Описанная операция сглаживания является неполной Из (279) видно, что дисперсия второй производной остается бесконечной.

Чтобы устранить эту бесконечность, оставаясь в пределах теории процессов Маркова, потребовалось бы рассматривать уравнение как минимум третьего порядка. Реальный радиотехнический случайный процесс является аналитическим, все его производные с вероятностью единица конечны, поэтому точно описать его в рамках теории процессов Маркова нельзя. Чем точнее мы хотим аппроксимировать его марковским процессом, тем больше компонент последний должен содержать, тем больший порядок уравнения нужно брать.

Рассмотрим для примера аналитический случайный процесс, имеющий корреляционную функцию Я(т)= = е ч, и спектральную интенсивность 1 8 [1 а[= "у'пе (4.285) 120 Сглаженный процесс у(1) будет иметь спектральную плотность 8 [У~ и[ — т — т †. (4.283) а~т + 1 (шатт + 1)(ш2+ йй) Разлагая экспоненту е 2' в ряд Тейлора и оставляя лишь п членов, заменим ее в выражении (285) на сумму щ» щ»» При этом процесс «(1) заменится иа процесс Маркова «„(1), и формула (285) примет вид (1+ 2+. + — „~ й2»)8[(л~ щ!= е ф»«.

(4286) 8[г., щ]= — ф»«, Тогда (286) примет вид [Р„()щ) [28 [«„, щ] = Я [~, щ] и будет эквивалентно дифференциальному уравнению и-го порядка »(«22)» ( ) (4.287) Из последнего следует, что "'-.„(г) вместе с производными ",, ..., „," образует в совокупности и-мерный процесс Маркова. Чем больше п, тем меньше «„(1) отличается от 1(1).

Процесс $~(1) (п=1) есть экспоненциально-коррелированиый марковский процесс, удовлетворяющий уравнению 1 — (,+1,=С. При этом (~Д») = а2 ф»«е И ~ . (4.288) 121 Подобрав соответствующий полином Р»(р), представим щ2 щ2» 1 + й» +... + — „, —,„в виде Р„()щ) Р„( — )щ), а правую часть равенства (286) представим как спектральную интенсивность дельта-коррелированного процесса Более близкий к Р(Ь) процесс!,(1) имеет корреляционную функцию (1 1 ) = 2>2 212' Е " [СОЗЬт+ Ь З1ПЬ| т /~ (4.289) , 2=>1' ~ь, — =-> 221) и соответствует уравнению 1 '~+3' 1+т>2 '+ ррах' 2 й 5.

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ Случайные процессы, встречающиеся в радиотехнике, не исчерпываются стационарными процессами, рассмотренными в $2. В связи с развитием статистической радиотехники как экспериментальной, так и теоретической, все чаще приходится иметь дело с нестационарными процессами. Из обширного класса нестационарных случайных процессов нами будут рассмотрены лишь некоторые важнейшие типы.

!. Процессы с медленными нестационарными изменениями Этот тип ннстационарных процессов характеризуется тем, что случайная функция ведет себя почти как стационарная на больших интервалах времени, не слишком сильно превосходящих время корреляции. Среднее значение т> (1) и корреляционные функции Ар(1, 1+т), 12р(1, 1+ +т>, 1+та);..., хотя и зависят от абсолютного времени 1 (а, не только от разности времен), но мало изменяются в течение времен порядка времени корреляции ~„,р.

Г1рименнтельно к и> н корреляционной функции Ар это условие аналитически записывается следующим образом: Для такого процесса можно определить спектральнук> плотность 5 11, и, Ь! =2 ) >яр(Ь, 1+т)е"'д~, (5.2) 122 медленно меняющуюся со временем й Под знаком интеграла в (2) вместо тр(г, г+т) можно взять тр(г — т, г) или симметричное выражение тз [ ( — —, 1+ ) .

Спек- 2' 2)' тральная плотность (2) для процесса с медленными не. стационарными изменениями играет ту же роль, что и обычная спектральная плотность для стационарного процесса. Реальные процессы, встречающиеся в радиотехнике, всегда имеют медленные нестационарные изменения вследствие нестабильности параметров приборов. Этп изменения несущественны, если время нестационарнор дал стн й„/ —" значительно превосходит постоянные времени, существенные для данной задачи. В противном случае необходим учет .нестационарности.

2. Процессы установления В радиотехнических устройствах флюктуационные процессы устанавлива|отся ие сразу, первое время после начала работы этих устройств сказываются начальные условия С течением времени влияние начальных условий ослабевает и флюктуационный процесс асимптотически приближается к стационарному.

Возьмем для примера нормальный стационарный случайный процесс $((), имеющий среднее значение т и корреляционную функцию о%(т). Если в начальный момент воемени г = О функция Ц1) имела известное детерминированное значение $(О) = а, то согласно формуле (3.26) в дальнейшем флюктуационный процесс описывается условным средним значением т,(1) =т+Л(г) [а — т[ и корреляционной функцией йр(г ~ + т) = а~ [Я(т) — У~ (Г) Д(~+ т)[.

Последние зависят от г и поэтому флюктуационный процесс 5(() является нестационарным. Однако спустя время, значительно превосходящее время корреляции (г)) т„,р, 1+ т )) т„,р) функции )х(1), Я(1+т) обратятся в нуль н приведенные выражения перейдут в вы- ражения т, оЧг(т), которые соответствуют стационарному процессу. Время установления в данном случае совпадает с временем корреляции исходного про. цесса. Во многих случаях флюктуационный процесс в радиотехническом устройстве описывается дифференциальным уравнением, например первого порядка (=У(()+~И (5.3) в которое входит стационарное внешнее случайное воздействие ь(г).

Функция ~ обычно такова, что в системе с течением времени устанавливается стационарный флюктуационный процесс Первое же время в системе протекает нестацнонарный процесс установления, который можно исследовать при помощи методов, изложенных в разд. 4 $ 4. 3.

Процессы со стационарными приращениями При некоторых видах функции )($) в уравнении (3) флюктуацнонный процесс $(Г) не переходит в стационарный процесс при сколь угодно большом времени ~, прошедшем с начального момента. Так обстоит дело, в частности, в случае уравнения (5.4! которое описывает пропесс с(~) со стационарными приращениями. Вследствие стационарностп функции У(5) приращение за интервал времени длительностью Т имеет одинаковые статистические свойства независимо от выбранного момента Г,. В дальнейшем ради сокращения записи будем полагать ~0 = О, Ц~о) = О. Вычитан из интеграла 124 его среднее значение, возводя я квадрат и усредняя, получаем ~ с Р1(Ь)=) )Ь;(Ь, — 1я)Ж,Ж,=2) (~ —;)Ь,(т)~Й.

(5.6) оо о Если продифференцнровать (6) по г, то будем иметь с — „, И(Ь)=2 ~lгс(т)г(т. о (5.7) Иногда последним равенством удобно пользоваться,при- дав ему внд — Ей ( Ь) = 2 ~ А< (т) г(т — 2 ~ Ь~ (т) гй о или — Р((1) = — Я!Г. — ", О) — 2 ~ Угг (;) сК (5.8) Для определения дисперсии Р$(() при помощи равенства (7) нли (8) следует проинтегрировать обе части равенства по г' с учетом начального условия (5.9) РЕ(0) = О. аЬ = — (а'+ Ь' — (а — Ь)г] 1 подставить а =((Ь) — 1(1,~, Ь =.'(1,) — (Ья) и усреднить, то легко получить 2 ( Однако вследствие стационарности приращений имеем Р [((г,) — 1(г Ц =Р(К вЂ” Я), 125 Отыскав дисперсию П(г) как функцию времени, мы можем вычислить корреляционную функцию Ф1(1,, (,). Если в тождество Поэтому АГ(Г~ Га) = 2 [Р1(1~)+Р(((з) — Р1((Г~ — Гэ!)).