Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 8

Главную роль играют лишь первые члены разложения. Ограничиваясь некоторым числом низших членов, более высокие члены можно не принимать во внимание. В том частном случае, когда и = 1, мы будем иметь одномерную плотность распределения вероятности, При совпадающих индексах полиномы (39) выражаются через обычные полиномы Эрмита Индексы а, ..., ьо в формулах (39) теперь могут принимать лишь значения 1 или 2, Если отмечать индексом в скобках число повторений указанных значений Н...„, = Н(..ь 1раз зараз (3.44) то из (39) будем иметь: "ы = "(2О) = У 2 Н,, = Н(„) — у,у, — апь "22="(ог) =Уз агг "и ="(зо) =У( Заму( Н„г = Н(21) = уг'уг — 2аму, — аь,у„ Наг = Н(м) = уьуг' — 2амуг — (тогу(, Нгм = Н(м) = = у,' — За„у, (3.45) или 1 1 Н(го),г,а (яь 1)1 Н(п) — агег (~1~2+ 'ь) 1 Н(ог) = 2,2 (яг 1) (3.46) 1~(зо) оз з (х1 х1) Н(21),заз (~1 ~2+2'а~1 ~2)ь 1 1 Н(12) з з (хьюг + 2Щ2 хь) Н(оз) оз з (яг кг) при обозначениях х, — Лхг 1 Йг=рг, яь=О(ьу = ь — РХ1 ХС Хг ~2 О)ауг о)ь (3.4У) м,((„(,) =(1 +,'» — „.', Ьо„) [((Г) — й,(1)1~ Х Х тггг'(Щ) (3 48) При объединении в разложении (40) тех членов, которые отличаются лишь перестановкой индексов 1 и 2, двумерную плотность распределения можно записать Разложение подобного типа есть в сущности разложеннс по ортогональным полиномам.

Квазимоменгные функции выступают как коэффициенты разложения плотности вероятности в ряд по обобщенным полиномач Эрмита при любом количестве выбранных случайиык значенкй 1(й), ..., $(Гл) исходного процесса. Если точки Гь ..., Гч выбн. рать все ближе и ближе друг к другу, мы будем иметь соответствующее разложение для функционала вероятности. й 4.

ПРОЦЕССЫ МАРКОВА И РОДСТВЕННЫЕ ИМ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 1. Определение процесса Маркова и стохастическое уравнение Процессы Маркова, или процессы без последействия, являются удобной абстракцией. Хотя реальные процессы, встречающиеся в радиофизике, не являются в точности марковскими, иногда целесообразно рассматривать их приближенно как процессы Маркова. Подобная замена позволнет получать ряд конкретных результатов путем применения эффективных математических методов теории процессов Маркова. Мы начнем с рассмотрения идеальных точных процессов без последействия, а затем остановимся на том, когда и в каком смысле реальный радиофизическнй процесс можно представлять себе как процесс Маркова. Пусть имеется случайная функция х(г). Возьмем ряд ее значений х(гг), х(гз),..., х(г'„) в последовательные моменты времени 1, > гз »,..., г'„и рассмотрим условную вероятность значения в самый последний момент Процесс х(() является процессом Маркова1 если указанная условная вероятность зависит лишь от последнего условного значения х((з) и не зависит от предыдущих (1з)'...х (1„), ((я > (з, ..., (з) (л).

Конечно, может иметь место зависимость от х((1), (ь (ж поэтому для марковского процесса можно записать ог (х, ! ха,..., х„) =рс,а (х„хз) (и ) 2) (4.2) (х, =х(г,),..., х„= х((„)). Если учесть, что условные вероятности (1), соответствующие различным значениям а, согласно определе- 53 нию, всегда связаны между собой соотношениями согла- сования ) тв (х, ~ хз,..., х„) тв (х,,..., х„) 1х„= =-те(х,~х,,..., х„,) ю(х,,..., х„,), (4.3) то можно видеть, подставляя (2), что для всех и в фор- муле (2) фигурирует одна и та же функция рая(х„х,), которая к тому же равна условной вероятности: рбь(~го хз) =те(х,~ хз), (1, ) ~ ), (4,4) тв(хо..., хд)=те(х1~хз,..., хр)тв(хз~х,..., хд)...

..., тв (х„, ( х„)те (х„). (4.5 ) Учитывая (2), (4), из последнего равенства легко получить, что многомерная плотность распределения в случае процессов Маркова распадается на произведение вероятностей перехода тв(х„..., х„) =,~ьь(х„х>)Ров (х„хз)... ° Рг,,к„(х„о х„) тв(х„). (4.6) Таким образом, зная начальное одномерное распределение и вероятность перехода, мы можем записать любую плотность распределения.

Следовательно, функции рн (х, х'), в(х(Г)) полностью характеризуют случайный процесс без последействия. Вероятность перехода удовлетворяет нескольким условиям. Сюда относится условие нормировки ~рп (х, х')Их=1, (4.7) вытекающее, например, из (4). Далее, интегрируя рас- пределение (6) по некоторому промежуточному значению 54 Функцию рьа(хо х,) называют вероятностью перехода. Из определения условных вероятностей вытекает формула х(1„), 1 < Й < п, мы получим плотность распределения меньшей кратности гв„,, для которой, в свою очередь, справедлива аналогичная же формула. Сопоставление результатов дает следующее интегральное уравнение Смолуховского: ~ рпь(хо х,) р,,~, (х„х,) г1х,=рпь(хо х,) (4.8) (~ < "з < ~з) В самом деле, взяв хотя бы равенство ) из (х(1,), х(1), х (1з)) Йх(~,) = тв, (х(г,), х(гз)) и записав в нем гвь щз в форме (6), мы получим (8).

Рассмотрим как изменяется во времени одномерный закон распределения. Полагая в (6) л = 2 и интегрируя по х(1~), находим уравнение тв(хо г~) ) Рьь(х~ хз)тв(хз 1~)Ихг [1, ) 1,; тг(х„1,) =те (х(~,))~. (4.9) Перейдем от него к дифференциальному уравнению, для этого рассмотрим момент 1ь близкий к 1ь Если положить г,=г+т, х,=х, х,=х„ случайного приращения х, — х, имеющего место за время от 1 до 1+т при условии, что х(1) = х. Подставляя в (1О) обратное преобразование р,+„,(х„х) = — ь, ~ е '"' ' "'В(и, х)аи, (4.12) получаем те,(х,)= —,, О е '"' 'Й(и, х)битв(х)пх. (4,13) то (9) можно записать в виде тв„(х,) = ~р,„„, (х„х) тв (х) Ых. (4.10) Введем в рассмотрение характеристическую функцию 'о'(и, х)= — ( е"'" "') =) е. '" ~р,~„,(х„х)Их, (4,11) Характеристическую. функцию (11) по обычной формуле (1.22) (з(и, х)=1+ ~ (--,) — т,(х) (4.14) 5=! можно выразить через момент т,(х) =((х, — х)') (4.16) указанного приращения.

После итого будем иметь тв„(х,)=. ~~~ —,— Ое ' ' Х 5=0 Х ((и)5г(ит, (х) ти (х) с(х. (4.16) Но поскольку 2п — е "'" ") ()и)5с(и= ( д ) 2 ] е ига ( д ) 8(~,— х),(4.17) то отсюда находим м1,(х,) = та(х,) + ~~ — 1 ( — †] [т,(х,)тв(х,)]. (4.18) Разделив на т и перейдя к пределу т -ь О, получим тв(х) = )' —,( — — ) [К,(х)ти(х)], (4.19) 5=1 где К,(х) =1)щ -о (4.20) когда последний предел существует. Отметим, что равенства (18), (18) имеют простой операторный смысл. Так, первое из иих можно записать ш =Е(1 д,х)ю, (4.21) 86 если условиться, что действие второго оператора х в функции тт д от операторов 1 — и х всегда предшествует действию первого опедх д ратора 1 дх тс (х) = К, (х) т+ тз... т, (х) = К, (х) т + ~'...

тс (х) = — К, (х) т + с'... (4.22) Пользуясь формулами (1.24), отсюда легко получить совершенно аналогичные соотношения для кумулянтов л,(х) случайного приращения х,— х: й, (х) = К, (х) т + сз... (з = 1, 2,...). Если определить 1(г', х), как производную 1(1', х)=1(1') =,, (с'> с) (4.24) от условного случайного процесса х(1'), имеющего значение х(с) = х, то сэ х,— х= ~ 1(г')сй' (4.26) с и кумулянты й,(х) будут выражаться через корреляционные функции й,(1„..., с,) процесса 1(г): с+ с+. 7гс(Х) = ) ... ) сс,(с„..., Гс)~СН„..., Сйс (4.26) с с (з = 1, 2,...).

Сопоставляя последнее равенство с (23), можно получить, что корреляционные функции сс,(с„..., г,)г содержат дельта-образную особенность йс (гс,..., ~с)с —— К, (х) 3 (Гс — ~з),..., 8 (~, — Гс) + А, (427) (з =-.'?, 3,... ). 57 Уравнение (19) мы будем называть стохастическим нли кинетическим уравнением. В том случае, когда сумма производных в правой части имеет бесконечное число членов, она эквивалентна интегральной операции.

В противном случае уравнение (19) есть дифференциальное уравнение в частных производных. Согласно (20) моменты сн,(х) = ((х, — х)с) имеют следующую зависимость от с: Здесь А, обозначает возможные другие функции, менее сингулярные, чем первый член (имеющие спектр, быстрее убывающий с увеличением частот). Прн подстановке в (26) онн дают после интегрирования слагаемые порядка т', т',, ..; К, (х) — есть коэффициент интенсивности производной (24), соответствующий данному значению х(() = х н данному моменту времени й Эти коэффициенты интенсивности входят в стохастнческое уравнение (19); в нетривиальном случае хотя бы один из ннх отличен от нуля, Как показывает приведенное рассмотрение, случайные функции Маркова тесно связаны со специфическими случайными процессами, имеющими дельта-образные корреляционные функции.

Подобные случайные процессы мы называем дельта-коррелированными. 2. Дельта-коррелнрованные случайные функции Пусть имеется дельта-коррелнрованный случайный процесс $(Г), который описывается корреляционными функциями 'У) " '(г — (,) (4,28) (з=2, 3, ) где К,(() — коэффициенты интенсивности, зависящие в общем случае от времени. В частном случае, когда процесс ((г) стационарный, коэффициенты К, суть постоянные. Полагая в (28) (~ = (з = .

= („ легко получить, что дельта-коррелированный случайный процесс имеет бесконечные кумулянты. Отсюда видно, что практически дельта-коррелированные процессы в радиофизике не встречаются. Однако имн подчас удобно пользоваться как приближенными нлн вспомогательными рабочими понятиями. Особую роль играет нормальный стационарный дельта-коррелнрованный процесс. Если его среднее значение равно нулю, то среди функций (28) отлична от нуля лищь вторая корреляционная функция йэ И~ — ~а) = Кзэ (Г~ — Ги) (4.29) Такой случайный процесс согласно формулам (29), (2.13) имеет равномерную спектральную плотность х(в)=К,=К, 5[1, и[=2К (4.30) Поэтому его мы будем называть иногда нормальным «белым шумом», или, короче, просто «белым шумом», по аналогии с белым светом, нмеюшнм равномерный спектр.