Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 5

Поскольку стационарный процесс Е((] не возрастзег ка бесконечности, лрсобразоваг~не Лапласа (25), а следовательяо, и <(Ь! з> определены при Ке р>0. Полагая $ рье 2 — Е (.>0), будем иметь предельный переход р — (м при стремлении в к О. Поэтому вместо (26) можно записать 3 (Е, 1 = 2 Вгп ( ~ Ь ~Е, ~ — гм1 ' ) . (2.27) 3.

Случайный спектр и его связь со спектральной интенсивностью Спектр у(ш) процесса Е(() определяется равенством у(ш)= — -~ е ' Е(г)Ш. (2.28) Ь у (и) = ( (Ь е г"') Е(г)лс (2.29) В таком же смысле понимается известное формальное соотно- шение ч(т) = — е 2к,) (2.30) Выражения (28], (30) являются обобщенными функциями. Напомним, что обобшенная функция являешься определенной, если определены интегралы от этой функции, умноженной на любые гспрерыэные фун кции. Требование же, чтобы для каждого значения аргумента было определено значение функции, является необя. хате.тьным.

Как известно, с обобщенными функциями типа (28), (80) можно обращаться в основном так же, как с обычными функциями. 29 Он представляет собой случайную функцию частоты. Для стационарного случайаого процесса последний интеграл, строго говоря. расходится, поэтому равенство (28) носит наскол~ ко формальный характер. Его нужно понимать в том смысле, что мы будем иметь самое обычное равенство, если применим к (28) некоторое линейное интегральное преобразование Ьи и переменим в праной части порядок интегрирования: Умножая выражение (28) на аналогичное, но комплексно-сопряженное выражение, получаем после усреднения < у(м)у*( ') >=+Де ' '+'"' Х х ( Е (~) 1(~') ) аЪЙ'.

(2.31) Сделав замену переменных т=~' — 1; ~,=(1+ ~')~2 (С=~,— т/2; Е'=г,+.т/2), можно интегрировать по го, что в силу (30) даст дельта-Функцию: '+И (у(м)у*(м') > =Ь(м' — м) ~ Е (Б, ) ~й. Остающийся интеграл есть спектральная плотность (9), поэтому ( у (и) у~(в') ) = —, Ь (в' — е) Я (1, а]. (2.32) Преобразованию (28) соответствует обратное преобразование Б(~) = ) е~ 'у(в) сна. (2.33) Вследствие действительности процесса я(1), взяв комплексно-сопряженную величину от выражения (28), легко получить у* (и) = у ( — в). (2.34) Это соотношение позволяет преобразовать выражение (33) к виду 1(1) = ф' — Ке ) е' 'у (и) Ые. (2.35) Флюктуационный процесс при этом представляется как суперпозиция гармонических колебаний, имеющих амплитуду, пропорциональную модулю ~у(а)1, и началь- зо К(мм Га) = — ~ е' 'у(м) ла, дм мя будем иметь согласно (29) 1 г 1-е га <г га> г (ао Га) = — — ) Е<ьп Го>я (Г) Г<1 у'2гс гам (1 — Го) (2.36) Произведя аналогичное интегрирование обеих частей равенства (32) по ю и ы', получим < ) У(шо го) )з > = — ~ 8 (1 м) '<м.

з 2бма юя При достаточно малом Лм, когда спектральная интенсианосгь почти не меняется на интервале от ма до ма+ Лм это рааенсгно дает (2.37) Выаеденная формула показывает связь между спектральчой плотностью и функцией У(юа, 1о), которая с некоторым приближением заменяет истинный спектр у(гаа)е ' ~' флюктуаций. При малой ширине полосы Ью множитель[1 — е ~ <' г'>)дбоз<1 — 1,) а (36) изменяется медленно. Он осуществляет как бы ограничение области ннтегрнрозания а расходящемся интеграле (28). Влияние гет промежуткоа времени, для которых р — 1а~ )) 1/Ьа, становится пренебрежимо малым.

Конечно, ограничение области интегрирования (28) можно производить также многими другими способами. В соотзет таин с этим интегральная операция йм а (29) будет иметь другой аяд. ную фазу, равную аргументу агй у(<о) комплексного спектра у(ю) при данной частоте. Запись колебаний в комплексной форме (35) обычна в радиофизике (метод комплексных амплитуд). Случайный спектр у(оз) входит н формулу (38) лишь под знаком интеграла. Чтобы пользоаатьгя ею, достаточно соотношения типа (29), формальное л.е равенство (28) не является необходимым.

Аналогично этому, стремясь к большей строгости изложенич, мы далнгны потребоаать выполнения не самих равенств (31), (32), (34), а аыполнепиг соотношений, полученцых из них применениеь» интегральной операции Г.. Такая интегральная операция опранлыаается также физически благодаря толгу, что экспериментально мы нс можем получить точной гармоники, а можем выделить лишь сумму гармонических состааляющнх, лежащих а конечной, хотя н малой, полосе частот Ьм.

Взян н качестве й интегрирование по интервалу частот от ма ещгя до ма+ Дм с весом — и обозначив ' О+а Поскольку в реальных условиях с точным спектром у(а) не приходится иметь дело, рассмотрим функцию 1 ("~ ~ф)= ] 6(то — ~)1(т) И, (2.38) которая является при узкополосной функции 6((з — 1) приближением к спектру у(ы). Пусть функция 6(1з — () действительно является узкополосной, т. е. в спектральном разложении 6 (1„— г) = -- = — (,е'~' "д (и) Ы~, у'2с,) () 8'(м) ~йо = 1) (2.39) функция веса п(и) существенно отлична от нуля лишь в узкой области — (ь « ), (2.40) Когда функция д(ы) существенно отлична от нуля лишь в области (40), такой узкой, что в ией 5($, ы] практически не .меняется, то функцию Я$, а] можно вынести за знак интеграла и найти (] 1'(мм ~,)1~ > = —,8 (1, ) ~ !й.

(м) ~'с(~, (2.41) В соответствии с этой формулой для получения спектральной плотности нужно, вели выражаться радиотех- 32 примыкающей к ь,, Это значит, что 6(8,— 1) представляет собой гармонику е' И' ~, умноженную на некоторую медленно меняющуюся функцию (время изменения которой !/Ьа). Подставляя (39) в (38), меняя порядок интегрирования и учитывая (28), имеем 1'(мз 1о) =) е' "д(а)у(м) Ыа. Умножая равенство (32) на д(е)д*(е') ед " и интегрируя, получаем <Т( ~а)Г>=~~8(1 1~8'( )Г4' ° ническим языком, пропустить случайную функцию через узкополосное линейное звено, выходной сигнал подвергнуть квадратичному детектированию и затем усреднить.

В этой связи следует, однако, отметить следующее. Реальные радиотехнические системы имеют действительную переходную функцию 6(~ — 1о). Это значит, что д(ы) обладает свойством Д' ( — м) =д" (и), согласно которому функция д(ы) должна быть отлична от нуля не только в области (40), но и в симметричной области 1ы + ыа~ — Ьа. В последней области спектральная плотность ЯК, ы] вследствие четности принимает те же самые значения, что н в первой Поэтому ее по- прежнему можно вынести за знак интеграла. Таким образом, в случае действительного узкополосного сигнала У(ым 1а) формула (41) не изменяется.

4. Усреднение стационарных случайных процессов по времени т = 1пп — 11(1) ~й. г Г У о (2.42) Разумеется, пригодны также и другие формулы, и з частности формула, где интеграл заменен суммой т =!1гп — ~э '1 (1 + ЙЬ). н-- 1Ч и Ф-1 (2.43) Здесь Л вЂ” любая положительная величина. 3 зан. зд Среди стационарных случайных процессов важное место занимают эргодические процессы.

Если известна одна-единственная реализация эргоднческого случайного процесса на всей бесконечной прямой — со ( 1 ( со, то путем сдвигов по времени может быть получен бесконечный статистический ансамбль реализаций. Следовательно, по одной реализации эргодичеокого процесса можно узнать всевозможные его статистические характеристики. Возьмем для примера среднее значение. Его можно вычислять по формуле Чтобы доказать формулу (42), рассмотрим случайную величину лтт = г ) ~ (1) ай, 1 Г о (2.44) которая имеет среднее значение ( тт ) =тп. Покажем, что дисперсия Р тт стремится к нулю с ростом Т. Возводя (44) в квадрат, усредняя и вычитая то, получаем т т Плот — — —., ) ') й(г' — 1') г(гМ.

о о Совершив замену переменных т=т — т'; (о=(1+а')(2, или, если учесть (5) т 2аа Г/ Птт —— — ) ~1 — —.) (с(т) ао. г,) ~ о Переходя от модуля суммы к сумме модулей, имеем следующие очевидные неравенства: т г,) (1 т) ~ 7~ ( ) ~ а~ ~ о т т ~~(~(") ~"'~ т ~ ~(~(') ~ ' о о Последний интеграл есть время корреляции (7), поэтому Плот (2оо — ", ' (2.46) можно видеть, что при фиксированном значении т пределы интегрирования по 1о равны (т )(2 и Т вЂ” ~ т )!2. Интегрируя сначала по 1„а потом уже по т, имеем т 0тт = —,. ) (Т вЂ” ~ т ~) й (о) Ыт (2.45) 1 Г -т Отсюда видно: если стационарный процесс $(1) имеет конечное время корреляции т„,р и конечную дисперсию о, то Ртг- 0 при Т- оо, Это означает, что величина тг с ростом Т стремится к,неслучайной величине, равной среднему значению и. равенство (48) дает также оценку быстроты сходнмости: 1 т 2 ~, ~1(г)а7 — т а(2 — ) о (2.47) ( 11,) =Вш ~ ~6(~) Б(г+т) ~Й, (2.49) о пригодную в том случае, когда функция т1(г) имеет конечное время корреляции.

Желая получить спектральную интенсивность, мы должны согласно (41) произвести усреднение квадрата функции У(оо, Го) Как функция .времени (з процесс 1(ыо, Гз) и его квадрат являются стационарньгми, Ввиду того, что он более узкополосный, чем исходный процесс, он имеет большое время корреляции, которое по порядку величины обратно ширине полосы Лсо. Естественно предположить, что его квадрат 1У(ым гз)Р имеет приблизительно такое же время .корреляции: (ткор) г' 1/А~О Интеграл усреднения по времени (44) и~мест такую же быстроту сходимости, как среднее арифметическое одинаковых независимых случайных величин й(Г;), число которых равно Ф = Т(2т„р.