Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 3

Если же условное 15 распределение (39) не совпадает с безусловным рас ° пределением, которое равно та(Е„..., Е2)=[... [ та(Е„..., Е,)2<Е21.1... Ж„(1.40) то между указанными группами случайных величин имеется статистическая связь. Удобно ввести в рассмотрение числовые характеристики, описывающие степень статистической связанности и обращающиеся в нуль при ее отсутствии. В качестве таких характеристик рассмотрим корреляции различных порядков. Парную корреляцию случайных величин Е1 и $2 обоз.

начим К[$1, Е2[ и определим равенством К[Е1 Е21= (Е1Е2> <Е1> (Ег>. (1.41) Для независимых случайных величин вследствие (37) имеем ( Е1Е2 ) ( Е1 > ( Е2 ) и, следовательно, парная корреляция обращается в нуль. В других случаях она отлична от нуля. Согласно определению, парная корреляция случайной величины с нею самой есть не что иное, как диспер- сия К [Е, Е[=Ы. (1.42) Иногда, вместо К[Е1, Е2], целесообразно .рассматри- вать пропорциональную ей безразмерную величину — [12! 2<Е1> <Е2> ' (1.43) <Е1Е212 > — (Е1 >.(Е2) (Е2) (144) 16 которая удобна тем, что при совпадении случайных величин обращается в единицу. Эту величину будем, в отличие от (41), называть коэффициентом корреляции. Наряду с парной корреляцией, существуют корреляции высших порядков.

Рассмотрим три случайные величины $ь Е2, Е2 и введем тройную корреляцию, которая должна описывать тройную статистическую связь указанных величин и исчезать, если хотя бы одна из них независима от остальных. Вычитая произведение средних значений, образуем величину которая обладает тем свойством, что обращается в нуль, когда все три случайные величины независимы друг от друга. Эта величина, однако, может быть отлична от нуля не только в силу тройных связей, но и вследствие двойных корреляций.

Предположим, что одна из величин, например $з, не зависит от остальных. В этом случае тройная связь отсутствует, но величина (44) может оказаться отличной от нуля вследствие наличия парной корреляции между 5г и Ег. В самом деле, при этом <Е1ЕгЕз> = <Е1Ег><Ез> и величина (44),равна ( Ез ) К1Е» Ег) ° (1.45) Совершенно ясно, что для получения коэффициента тройной корреляции следует вычесть из (44) члены вида (45), су~ществующие благодаря парным корреляциям.

Из Еь Ег, Ез можно составить пары тремя способами: Е» Ем или $г, Ез,. или $» Ез. Вычитая парные корреляции всех типов, определяем тройную корреляцию формулой К (Е» Ем Ез) = ( ЕгЕгЕз > ( Ег > К (Ег Ез1 — ( Ег ) К (Е» Ез) — < Ез ) К!Е» Ег)— ( Ег > ( Ег > ( Ез ) . (1.46) В случае совпадения всех трех случайных величин корреляция третьего порядка совпадает с третьим кумулянтом К(Е, Е, Ц =йз. (1.48) По аналогии с (43) можно ввести коэффициент тройной корреляции: Йг — — К(Е» Ег, Ез) Х Х (К (Е» Е» Ег) К (Ег, Е, Ц К (Ез, Ез, Е 1) ' (1.49) Чтобы определить корреляцию четвертого порядка для четырех случайных величин, следует из разности г Ез )(, ~з У Р'80) 2 зз . зп Пользуясь равенством (41), это выражение можно записать в виде К (Е» Ег, Ез1 = ( ЕгЕгЕз > — < Ег > ( ЕгЕз > < Ег') ( ЕгЕз > — < Ез ) ( ЕгЕг > + 2 < Ед ) ( Ег > ( Ез > ° (1 4У) вычесть всевозможные парные и тройные корреляции.

Число вычитавмых членов определяется числом возможных сочетаний элементов $4, сь а,, $4 по группам, состоящим из одного, двух или трех элементов. С увеличением порядка формулы для корреляций становятся все более сложными. Наиболее кратко выражения для средних значений произведения нескольких случайных величин могут быть записаны при помощи характеристической функции 6(и„..., и,) = (ехр4'(и,д., +... +и,.',) ) .

(1.51) Средние значения ( 1,...1, ) определяются по формулам (1,...6,) = —,.„„„"'""„"') ~ . (152) l Соответствующая формула для коэффициента корреляции г-го порядка отличается от (52) лишь заменой характеристической функции на ее логарифм: К 11о..., 1,1 = —,, "„.";;„" "'! . (1.5З) и, ... и 0 ии 3. Случайная функция и способы ее описания Перейдем к рассмотрению случайной функции $(1) от одного действительного аргумента 1 (времени), изменяющегося, например, на интервале 0 <1 < Т.

Если случайная функция является заданной, то это значит, что известны устойчивые условия опыта, позволяющие получить конкретную реализацию функции $(1) на указанном интервале. Такую реализацию можно представить себе как некоторую единичную фотографию (или осциллограмму) случайного процесса, вид которой зависит от случая. Если зафиксировать произвольное число г каких-либо моментов времени 1ь ..., 1, из интервала определения случайной функции, то ее значения $4(14), ..., $(4,) будут образовывать совокупность случайных величин. Когда случайная функция является полностью определенной, указанные случайные величины также оказываются совершенно определенными, каковы бы ни были г, (ь ..., 4,.

Следовательно, можно считать известной описывающую их плотность распределения та($(1,), ..., ~(«,)), которая является функцией от г, «ь ..., «, и обозначается (3 (х, — 1(«,))...3 (х,— 1(«,)) 1 = =та,(х1,..., х,; «н...«,). (1.54) Каждая плотность распределения (54), рассматриваемая как функция от хь ..., х„удовлетворяет обычным требованиям, предъявляемым к плотности распределения вероятности (условие нормировки, положительности). В то же время, как функция от «ь ..., «„ плотность вероятности (54) удовлетворяет некоторым дополнительным условиям, вытекающим из способа ее определения. Сюда относится условие симметрии: тв,(..., х,,..., х„...;...«„,..., «н...) = =та,(..., хн .. хм..., ..., «„..., «ы...) (1.55) и условие согласованности: а',(хн..., х,; «„..., «,) = =~та,+„(хо..., х,„,; «,,..., «,~,)ах,~,...«(х„„.

(1.56) Случайную функцию 9(«) можно считать определенной, если заданы плотности распределения (54) при любых сколь угодно больших г.,Выбрав точки разбиения «ь «,,, «, достаточно близко друг к другу при большом г, мы с точностью, достаточной для любых практических задач, можем заменить случайную функцию Ц«) последовательностью значений $(«~), $(«з),, з(«,) Таким образом, случайную функцию Ц«) можно характеризовать неограниченной последовательностью плотностей вероятности тд)(хн «); таз(хо хз, '«м «з)' ~ (1.57) удовлетворяющей всем необходимым требованиям. Зная г первых плотностей распределения, мы можем отбросить плотности распределения шь ..., ш,, как не несущие никакой дополнительной информации по сравнению с той информацией, которая содержится в плотности распределения та, (х,, х,; «,, 1,). В этой связи следует отметить, что идеальным было бы описывать случайный процесс одной плотностью распределения максимально большого порядка, если бы последняя существовала, Вследствие непрерывности аргумента 19 конечного максимального порядка не существует.

Однако иногда оказывается возможным рассматривать функционал вероятности Щ(1)], который определяет «континуальпую плотность распределения» (т. е. распределение в функциональном пространстве). Вместо плотностей распределения (57) можно задавать последовательность характеристических функций В,(ио Г)= (е па); В (и и Е ~ ) = ( '"""ьньц"') (1.58) задание которых эквивалентно последовательности функций распределения. При этом по-прежнему можно оставлять лишь самую высшую из всех известных характеристических функций, имея в виду, что низшие функции могут быть получены из нее приравниваннем нулю некоторых аргументов В,(и„..., и„Е„..., Е,)= =В,~ь(и„..., и„О,..., 0; 1„..., Е,~„).

(1.59) Увеличивая порядок г н стремясь приблизиться к самой полной характеристической функции, дающей исчерпывающую информацию, ыы в пределе будем иметь характеристический функционал В 1и (1)) = ( ехр 11 ) и (1)1(1) Ж) ), (160) который полностью описывает случайный процесс. Интегрирование в экспоненте последнего выражения производится по всей области определения случайной функции. Характеристические функции (58) можно получить из (60), взяв аргументную функцию в виде и(~) = ~', и„3 (~ — ~„), (1.61) Случайный процесс в общем виде не может быть описан конечным числом функций от конечного числа переменных, поэтому он н характеризуется нли бЕсконечной последовательностью функций или функционалом.

Вместо последовательности функций (57) или (58) удобнее было бы, однако, рассматривать такую последовательность функций, в которой функции более высокого порядка не повторяли бы информации, содержащейся в предыдущих функциях, а вносили бы только новые све- 20 дения. Поэтому перейдем к другому способу описания случайных процессов, который обладает этим, а также некоторыми други~ми преимуществами. Средние значения (1(~,),..., 1(~„) ) ==т,(~о..., 1,), (1.62) рассматриваемые как функция от (ь ..., г„называются м о м е н т н ы м и функциями.

Неограниченная последовательность моментных функций т, (8,); т,,(1о ~,); т„.,(1„8„1.,);... (1.63) дает исчерпывающее описание случайного процесса. Еще лучше характеризовать случайный процесс последовательностью корреляционных функций (1.64) которые по определению суть корреляции рассматриваемые как функция от моментов времени (ь ..., т„Корреляционные функции так же, как и моментные, являются симметричными функциями своих аргументов. С повышением порядка физическая значимость многократных корреляций уменьшается, На первых местах в последовательности (64) стоят наиболее существенные функции, и это составляет преимущество описания случайного процесса корреляционными функциями.