Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 4

Подавляющее большинство случайных процессов, встречающихся в радиофизике, обладает тем свойством, что при раздвижеиии моментов времени (ь ..., г, пропадают корреляции между соответствующими значениями случайной функции. При этом корреляционные функции (65) (если г > 1) обращаются в нуль, что является весьма удобным. Зная корреляционные или моментные функции, можно найти другие характеристики случайного процесса, в частности, характеристические функции илн плотности распределения. 21 Пользуясь формулой (52), запишем характеристическую функцию в форме многомерного разложения Тейлора: 22,(и„..., и;, ~„..., ~,)=- = 1+ ~~Э вЂ”,, ~~1~ ~т, (1„,..., ~ ) и..

и . (1.66) р 1 р,..., - 1 р р~Д вЂ” '„л 4,3... ).) .. „(. ))41) 4=-1 «,...,р 1 Суптественным является то обстоятельство, что внд этого выражения не меняется при изменении выбранных моментов времени 11, ..., 1„, а также их числа г, Пользуясь этим, можно записать континуальный характеристический функционал (60) по формуле 31 И)= р(~ — '„)...)4.)Р,..,Р,)Х Х и(~,)... и(~,) 422,...4(т, .

(1.68) От характеристических функций можно перейти к плотностям распределения, это будет рассмотрено в $3. Ввиду особой роли, которую играют моментные и корреляционные функции, приведем формулы, связывающие их между собой: т, (11) = 441(11), тг (21, 22) = йэ (41, 42) + й1(~1) К1('2) тз(11 12р ~3) '21( 1р 2р 3) + + 3 (й)(~1) йг(~г ~з))4+ й)(~1) й)(42) й)(~з) тр (~1 ~2 ~Э ~4) '24 (~1 ~2 ~З ~4) + +3(442(4„42) )42(42, 44))р+4(й)(41) )43(42 43 ~4))3+ 22 Совершенно аналогично, учитывая (53), можно найти, как выражается характеристическая функция через корреляционные функции: й,(и„..., и,; ~„..., 4',) = + 6 (724 (14) 424 (~2) 722 (~„14) ), + + 72,(1,) й, (1~) й,(1~) й, (~,), (1.69) е Здесь символ(...), обозначает операцию симметризации стоящей в скобках функции относительно всех ее аргументов, Если симметризуемая функция, зависящая от п аргументов, не имеет никакой симметрии, то, естественно, следует совершить и! всевозможных перестановок аргументов и взять среднеарифметическое от и! членов.

При наличии же в функции симметрии относительно некоторых аргументов среди л4 указанных членов будут тождественно равные члены. Поэтому можно совершить усреднение не по всем перестановкам, а лишь по тем, которые дают несовпадающие результаты, Интересно отметить, что коэффициенты в формулах (69) перед кажды~м симметризованным членом равны именно полному числу таких различных несовпадающих тождественно членов. Усредняя по несовпадающим членам, мы должны разделить сумму на число членов, которое сократится с коэффициентом, стоящим впереди. После этого в (69) остаются только сум|мы, распространенные на те перестановки аргументов, которые дают несовпадающие результаты. Последовательна разрешая систему (69) относительно корреляционных функций, нетрудно получить обратные формулы. Следует заметить, что корреляционные функции не совпадают с центральными момента~ми.

Расхождение между ними появляется,.начиная с А4. Так, положив в (69) АЗ=0, получим, что центральный момент четвертого порядка т4 отличается от й4 членами Зпз(44 42 42 44) й4(44 42 Зз 14) = ~2 (4! ~2) ~2 (~З 24) + 22(~4 ~З) '22 (~2 ~4) + + '(2 (~4 ~4) 22 (~2 ~З)' (1.70) 5 2. СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС И СПЕКТРАЛЬНАЯ ИНТЕНСИВНОСТЬ 1. Основные понятия Стационарным называется такой случайный процесс, статистическиехарактеристики которого не меняются при сдвиге времени, т. е, при замене 1 на 1+а, где а — произвольная величина. 23 Плотности вероятности та„(1„1„..., 1,; ~ь гм г~) а также моментные и корреляционные функции т (г», Г,), А„(~о..., ~„) зависят не от абсолютного положения значений 1„..., 1„на оси времени, а лишь от их относительного расположения, иначе говоря, зависят лишь от разностей г, — 1„..., г„— 1,.

Возьмем для примера корреляционную функцию Й„(1„..., 1„). По определению стационарности имеем /г„(1ь..., г„)=А„(1, +а,..., 8„+а). (2.1) Выбирая а= — ~, и обозначая й~(0 ~и ~ь ° °, ~~ т1) = йл'(~1 т~ тп ~А находим '~л(гь . ° > ~ц)=Фц'((~ — 1ь..., т,— ~,). (2.2) Итак, корреляционные функции стационарного процесса, действительно, зависят лишь от разности времен. Отсюда следует, в частности, что среднее значение й1(11) стационарного процесса (которое равно й,(0)) может быть только постоянной величиной.

Обозначим его через и: й, (1) = — и, (г) = т, (2.3) Вторая корреляционная функция йа(ть 1,) является функцией от 12 †(ь Введем для нее особое обозначение: йг К гг) — й (тг т~) (2.4) (/г(т) = й ( — т)). Будем записывать ее также в виде А (т) = а~Я(т), (2.5) где в=а(1(~)) = — т ЦО) — среднеквадратичное значение, а Й (т) = — — безразмерный нормированный й (с) коэффициент корреляции (1.43), обладающий свойством тс(0) = 1.

Для более высоких корреляционных функций мы не будем вводить особых обозначений в виду того, что опи не так важны. Отметим, что при совпадении аргументов третьей и четвертой корреляционной функций получаются кумулянты йз, йо входящие в определение коэффициентов асимметрии н эксцесса (1.29): 7, = ч 'й~'(О, 0), 7, ч — 4й4'(О 0 0) (2 6) В дальнейшем часто будем использовать понятие «в р е м я к о р р е л я ц и и», определяемое соотношением ткор — ) ~Й (т) ~ от — ~ ) ~ ~ (~) ! г(т. о о (2.7) Время корреляции т„,р дает ориентировочное представление о том, на каких интервалах времени имеет место коррелированность между значениями случайного процесса. При значительно больших интервалах парные корреляции уже можно не принимать во внимание, Величину К= ) й(т)с~6 (2.8) В общем случае, когда среднее значение ($) = лт не равно нулю, аналогичная формула имеет место после вычитания из $ его среднего значения: 81Š— гп, м) =2х(м) =2 ) е "А(х)~(т.

назовем коэффициентом интенсивности случайной функции. Этот коэффициент играет большую роль в теории процессов Маркова. Введем важное понятие спектральной интенсивности нли спектральной плотности случайного процесса: 8 [Е, в) = 2 ) е ' ( ЕЕ, ) Ыт = 4 ) соз ю~ ( ЕЕ, ) ~(т. (2.9) о Здесь, как и в дальнейшем, индекс т у функции Е, в присутствии аналогичной функции без индекса обозначает сдвиг аргумента: Е,=Е(с+т), в то время как Е=Е(~). Для процесса с нулевым средним значением 5[Е, а] есть преобразование Фурье корреляционной функции: 5 1Е, а]=2 ) е' 'А(т)~6. (2.10) Как следует из (8), (11), коэффициент интенсивностл связан со спектральной плотностью соотношением К=-,8[1 — т, О]. 1 (2.13) Применяя обратное преобразование Фурье, из (11) имеем й (т) = — ]Г е 8 [1 — т, в! Ыш = 1 2к, = —,, ~ совет 8 [1 — т, м] о4о.

о (2.14) Отсюда, в частности, находим дисперсию ат(1) — = й(0) = —, ] 8 [1 — т, и] Ыю. (2.15) 1 Г о Можно доказать, что при всех частотах спектральная интенсивность неотрицательна. Поэтому ее можно физически интерпретировать,как распределение мощности флюктуацнй по спектру. Формуле (9) соответствует обратное соотношение ( Ы, ) = — ] совет ° 8 [ь, а] дю. (2.16) Г, Иногда для вычисления спектральной плотности удобно использовать равенство, вытекающее нз (9): 5 [1, м]=4КеЬ [(Ы,), (м] (2.17) (где Ь [у, р] обозначает преобразование Лапласа: ~ил=1 -'том~ ° ф р у -р---"-.

о слепня. 26 Полная спектральная плотность $ [1, м] содержит еще дельта-образный выброс прн нулевой частоте. Подставляя (Ы, > =Й(т)+т' в (9), получаем Б [1, в] =Я [1 — т, м]+4втЧ(а). (2.12) Примеры, Пусть Е(1) — экспоненциально-коррелированный случайный процесс, имеющий корреляционную функцию А (т) =ооЕ (2.18) В соответствии с формулами (11), (7) он имеет спектральную плотность Б [Š— (Е>, оз) = (2.19) (2.20) Если корреляционная функция имеет вид А(т)=аое и" созвот, (2.21) (2.23) спектральная плотность сосредоточена в относительно узкой полосе частот о) †(оо — р н справедливы прибли- женные соотношения 8 [Š— (Ц и] ж 4рао 2 1 коз= „ (2.24) Некоторые другие часто встречающиеся виды корреляционных функций н соответствующие им спектральные интенсивности указаны в табл.

2.1. Таблице 21 М по. Б (1 — ов, ш) - 2* (в) о (~) КЬ(о) оое 2 21 и время корреляции 1 оор 1' ' то спектральная интенсивность равна При выполнениг. неравенства Р((ео 2А 4аао ее+ зо' Продолжение табл. 2.1 пп. 515 — ж, »] 2*]») а (5) 1 — — 3-'5 »2г »йе З]"'совьют 2. Вычисление спектральной плотности при помощи преобразования Лапласа Рассмотрим преобразование Лапласа стационарной случайной функции 5.[Е, р[ = '[ е Р)Е(т) 5]д (2 25) о Умножая последнее выражение на комплексно-сопРяженную величину н усредняя, получаем ([и [Е, р[[2 > = [ [ е Рте Р'1 <Е(т)ЕРЛ) > а]5»р. о о После замены переменных т т т=з+ —; р=з — —, отсюда имеем Р— Р* — ] Р -1-Р*) 5— ( [].

[Е, р] [2) = ~ и» ~ е (Е Е) гтз. ] 5] Интегрируя по ж получаем . ]Н Р вЂ” Р*. 1(11)22 ([1 [Е р[[2) = 1 е 2 й (ЕЕ )лт, р+р' 28 е ]' ' ]хоев нот+ — — в]п ] но=] "о е й] ]~созн໠— — 51п [ ыо Ре ']' — е ей р — а Мп Рт »й 1»2 тг-,, е Э' »2 й юо»+ 52 41452 — — — с ( 2 — ы й — 52>2.1 452 2 мой+ Рй (»2 — ы,й — Ей)'+ 4рй й 552 4Р— (»2 „„2»в,'в+.][52 2 4»8 (» + р) 5.2 (,.й +»5) ( 2.]. Р2) 2»»2 [ 1 При м(Р [1 [ О при ш>р Умножая на р т р' н сравнивая полученное равенство с выражением (9), находим формулу 3 (Е, ) = 2 Нш (р + р ) <!Ь (Е рЦя ), (2 26) л 3ш которой иногда удобно пользоваться для вычисления спектральной интенсивности.