Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 9

Спектральная плотность практически встречающихся гроцессов является равномерной лишь в определенных пределах. Всегда имеется некоторая частота м„ограничивающая сверху диапазон возможных частот в спектре реального процесса. Если это учесть, то формула (2.15) В1= — '~.( )а о (4.31) даст уже не бесконечное, а некоторое конечное значение, которое по порядку величины равно Коо,1я — К «„,р.

Замена реального процесса на дельта-коррелированный означает, что граничная частота не вводится явно в рассмотрение. Это допустимо, когда она значительно превосходит все другие частоты, существенные для данной системы или задачи. 1 Время корреляции т„.„р--- — — при этом, напротив, мало, "*в меньше всех других существенных постоянных времени системы. При этих условиях можно сделать замену: Ао(1о — 1,) о(1о — 1,) ) й,(~) сй. (4.32) Здесь коэффициент при дельта-функции подобран таким образом, чтобы обе функции давали одинаковый резуль- тат интегрирования по 6о — 6ь 3. Уравнение Фоккера †План и уравнение Колмогорова 59 Процесс Маркова называется непрерывным, если высшие коэффициенты интенсивности Км Кь .

равны нулю. В этом случае уравнение (19) принимает внд а(х) = — — [К (х) тв(х)[ 4- — —, [Ко(х) тн(х) / (4.33) и носит название уравнения Фоккера — Планка, или диффузионного уравнения. Вводя поток вероятности 6 (х) = К, (х) в (х) — 2 д [Кз(х) тв (х)!, (4.34) уравнение Фоккера — Планка можно записать в форме (4.35) и интерпретировать как уравнение сохранения вероятности. Поток (34) описывает количество вероятности, проходящей в положительном направлении через сечение х в единицу времени.

Рассмотрим отрезок х| < х < х2 между сечениями х = х| и х = хз Тогда 6(х~)т есть количество вероятности, пришедшей иа указанный отрезок за время т через сечение х = хь в 6(хз)т есть вероятность, ушедшая через второе сечение. Если на отрезке х, < х < х, вероятность никуда не исчезнет и если не существует ее источников, то разность указанных количеств составит приращение суммарной вероятности Х гв(х)г(х, сконцентрированной на этом отрезке: х, са к, ж, (х) Ых — ) тв (х) Их = 6, (х,) т — 6, (х,) т.

с, Х~ Поделив на т и х,,— х, и перейдя к пределу т О, х, — х, О, мы получим уравнение сохранения (35). Перемещение вероятности, о котором шла речь, аналогично диффузии или теплопроводности, с той разницей, что в последних рассматривается перемещение не вероятности, а количества вещества или теплоты, Математически указанные явления описываются тем же самым уравнением (33) В каждой отдельной реализации марковского процесса траектория х(() имеет весьма запутанный вид.

Изображающая точка движется на осн координат так же, как броуновская частица или частица, участвующая в диффузионном процессе. Взяв большое число реализаций случайного процесса,мы будем иметь большое число изображающих точек, совершающих случайные блуждания. Эти точки образуют как бы «газ», находящийся в процессе диффузии, плотность которого в какой-либо путем решения уравнения (33) мы найдем дальнейшую эволюцию этого распределения, т. е. найдем ж(х, () прн (> (». Если начальное распределение взять дельта-образным (ш»(х) = б(х — х»), то получаемая плотность распределения будет ни чем иным, как вероятностью перехода ра, (х, хо).

Поэтому последнюю можно найти как решение уравнения дрп, (х х«) — '-д,— - = — д Ж (х Г)рп. (х, хо)1+ + 2 д,» [Кя (х, 1)ри, (х, х«)) (4.36) с начальным условием рца(х, х,) =3(х — х,). (4.37) Вероятность перехода р~а (х, х»), как функция от ха и Га, удовлетворяет другому дифференциальному уравнению: др~ (х, д1о хо) др„(х. хо) — д 7('1 (хо) 1 д»р„(х, х«) дх«» (4.38) точке пропорциональна плотности вероятности. Каждая отдельная изображающая точка образует «молекулу» этого «газа». Она перемещается, но не может уничтожаться или возникать. В приведенном выше рассуждении можно говорить не о «количестве вероятности», а о к, числе изображающих точек и трактовать ) ш(хИх «, как число точек на отрезке х,<х<хь т.е. как число случаев, когда изображающая точка попадает на этот отрезок.

Конечно, при такой терминологии речь идет не о полном, а относительном числе изображающих точек, которое совпадает с вероятностью. Чтобы получить решение уравнения Фоккера — Планка (33), его следует дополнить начальными и граничными условиями. Задав в некоторый начальный момент произвольное начальное распределение та(х ~о) = тао(х) Это уравнение, которое является сопряженным уравнению (36), называется уравнением Колмогорова, Для стационарного случайного процесса, когда К,(х), Кз(х) не зависят от 8, вероятность перехода др р„,,= р, зависит лишь от с, а не от 1. При этом — '= дРсп др = — — = — — и уравнение Колмогорова (38) даст в дополнение к (36) второе выражение для произволдр ной — ': дс Перейдем к граничным условиям, которые должны приниматься во внимание при решении уравнения Фоккера — Планка (33) или (36).

Когда функция х(1) может принимать всевозможные значения от — до уравнение Фоккера — Планка справедливо на всей бесконечной прямой х, В качестве граничных условий при этом следует брать условия на + со. Интегрируя (35) по х от — до и учитывая, что условие нормировки ) ш(х)с(х= 1 выполняется тождественно при всех 1, нетрудно получить обязательное условие 0 ( — о, 1) = 0 ( со, 1). (4.40) Однако, помимо этого, обычно выполняются более сильные условия О( — со, 1) =0( о, 1) =О, (4.41) а также та ( — оо, ~) = и (со, 1) = О, (4.42) Равенства (41) говорят о том, что изображающие точки не могут появляться из бесконечности или уходить в бесконечность.

В тех случаях, когда функция х(() может принимать лишь ограниченные значения из некоторой области х,(х(х,, (4,43) уравнение Фоккера — Планка рассматривается лишь в этой области, а граничные условия имеют вид 0(х„1) =О; 0(х„1) =О. (4А4) Последние означают, что отсутствует поток изображающих точек через границу, т. е. каждая случайная траектория не может войти в рассматриваемую область через границу, а также закончиться при достижении границы.

Разумеется, в зависимости от конкретной задачи могут иметь место и другие граничные условия, Так, в В 18 будет рассмотрен случай, когда в качестве граничного условия выступает условие периодичности ш(х + 2п,() = =- ш(х, г). Иначе ставится вопрос о граничных условиях в задачах, связанных с достижением границ, о которых будет речь ниже. 4. Решение уравнения Фоккера — Планка Выбранные начальные и граничные условия однозначно определяют плотность распределения ш(х, г) как решение уравнения Фоккера — Планка.

В том случае, когда коэффициенты К~(х), Кх(х) не зависят от времени, распределение ш(х, () с течением времени обычно стремится к стационарному распределению ш„(х), которое не зависит от начального распределения в(х, 1с). Стационарное распределение уже не меняется со временем: (4.45) ат„(Х) =О, Учитывая исчезновение временной производной тв„ в (35), получаем, что поток вероятности 6„(х) = 6,т = сопз1 (4.46) является постоянным как по сечению, так и по времени. При фиксированном значении б„равенство (46) согласно (34) есть линейное дифференциальное уравнение относительно ш„: д !Кг (х) шст (х)! 2Кт (х) тат (х) = — 26ст.

(4.47) Общее решение этого уравнения может быть получено обычными методами. Если обозначить Кз(х)ш„(х) = о, то указанное уравнение принимает вид; — — 2 — и= — 26 до К, К вЂ” ст. г к., Умножая его на ехр — 2) ~;, Ыу и интегрируя по х, находим его решение ( |= — ю„).*р Ц~а~~ ь + к, к' л ~-С.*Р [Я~<Ш~~, следовательно, тв„(х) = ехр 2 1 — ' с(у х (4.48) .с, Х Здесь С вЂ” произвольная постоянная интегрирования.

Предел интегрирования х~ также произволен. Однако в решении (48) в сущности имеется лишь одна произволь. ная постоянная (не считая 6,„), поскольку изменение х~ эквивалентно изменению С. Выбор постоянной С (или, что то же самое, х~) определяется из условия нормировки. Величину же потока б„следует находить из граничных условий, Если в качестве таковых берутся условия (41) или (44), то выражение (48) упрощается тв„(х) = —.ехр 2) ) ду . (4.49) с 1 ГК,1т) х, Итак, зная функции К~(х), Кз(х), можно непосредственно написать квадратуру стационарного распределения. Это показывает эффективность стохастических методов, основанных на использовании уравнения Фоккера— Планка. К сожалению, исследование переходных процессов, связанное с вычислением вероятности перехода путем решения нестационарного уравнения, является значительно более трудной задачей.

В некоторых частных случаях, однако, задача упрощается, например, когда Кз(х) является постоянной, а К~(х) = а+ Ьх — линейной функцией от х. В этом случае процесс является гауссовым и может быть исследован, кроме того, на основе теории гауссовых процессов, В некоторых случаях может оказаться полезным следующий метод решения нестационарного уравнения Фоккера — Планка.

Вудом искать решение ш(х, 1) в форме Х(х) ТЯ (метод разделения переменных), Поделив обе части уравнения (33) на и = Х(х) ТЯ, будем иметь + — 1, [К,„(х) Х (х)] 1Х ' (х) = — Л, (4.50) где Х вЂ” постоянная. Полученное уравнение — —; [К, (х) Х(х)]— 1 дз — — [К, (х) Х (х) ] + хХ (х) = 0 (4,51) при определенных граничных условиях (обычно нулевых), соответствующих данной задаче, имеет своим решением последовательность собственных функций Х0(х), Х~(х), Хз(х), ... Они соответствуют собственным значениям 1., ).ь 1а,.... Проинтегрировав (51) по х, нетрудно получить Л ) Х (х)сЕх=О, (4.52) Х, (х) = и„(х) .

(4.53) $5 5 звк. зи если разность потоков 6 [Х ] = — — — [К,Х„] + К,Х 1 д через границы исчезает. Отсюда видно, что или =0 или ) Х„(х) Их=О. Нулевое значение 1 =О, действительно, является собственным значением. При этом уравнение (51) совпадает со стационарным уравнением, так что собственная функция Х,, соответствующая 1,=0, есть не что иное, как найденное раньше стационарное распределение (48) или (49): При помощи собственных функций решение уравнения (33) записывается в виде и(х, ь) =Т,Х,(х)+ ~~'„Т е "" "Хт(х), (4.55) где коэффициенты Т выбираются в соответствии с начальными условиями, Для их вычисления удобно использовать соотношения ортогональности собственных функций: ~Хт (х) Хл (х) ш (х) =йтл (4.56) соответствующих несовпадающим собственным значениям Л„чь Лл при т чьи.