Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 2

С другими способами изложения читатель может познакомиться в других руководствах. при беспредельном увеличении числа реализаций, по которым производится усреднение. С помощью теории вероятностей могут быть рассмотрены только такие опытные данные, для которых подобные пределы существуют и не зависят от способа выбора реализаций $ь $ж..., й„нз полного статистического ансамбля, (Подразумевается, что прн этом выборе не используется информация о конкретных значениях реализаций.) * Другие статистические характеристики случайной величины могут быть определены путем предварительного перехода к новой случайной величине т)=1(й) и применения формулы (1) для т). При этом берется конкретный вид функции Я).

Так, полагая Я) = ($)т, определяем средний квадрат формулой 1~э+ чгв+ + 6 в П и +ег+...+е„)/л равно отношению числа и тех случаев из и, когда выполняется неравенство $;<х (1 < 1 < и) к полному числу взятых случаев. Поэтому выражение (4) можно записать в виде Р(1<х)=1!~ — "„.

(1.5) Среднее значение ( О(х — $) ), рассматриваемое как функция от х ( Э(х — 1) > =Р,(х), (1.6) будем называть пл отно стью р а сп редел ен ия вероятностей, нлн, короче, распределением случайной величины $. Подставляя выражение (6) в (7) и производя дифференцирование под знако~м усреднения, получаем формально те, (х) = ( В(1 — х) ), Э(я) = — „Э(я) (1.8) где — дельта-функция Дирака, обладающая свой- ством ) 7 (г) Э (г — г,) Ыг = 7 (я,) при любой функции ~(я). С плотностью распределения мы будем часто встречаться в дальнейшем. Для краткости иногда целесообразно значение х обозначать той же буквой, что и саму случайную величину (х=$), а в записи а~г($) опускать индекс.

При этом распределение случайной величины $ будет обозначаться как ге(я). Распределение вероятности удовлетворяет усло в и ю нормировки ) я($) й=1, (1.9) носит название ф у н к ц и н р а с п р ед е л е н и я. Ее производную м,(х) = д Р (х), (Р (х) = ~ в (х') а!х') (1.7) которое в силу (8) эквивалентно тривиальному равенству (1 ) =1.

(1.10) или, короче те (ч) = ~ 3 (д (1) — ч) тв (1) Ж. (1.12) Последний интеграл будем вычислять, пользуясь известными свойствами дельта-функции. Если функция 'а=к(1) (1.13) монотонна, то она имеет единственную обратную функ- цию (1.14) Е=Ь(а), (А=К '). Плотность распределения полностью характеризует слу- чайную величину. Зная ее, можно вычислить среднее зна- чение (Я) ) при любой функции Я). Пользуясь свой- ством дельта-функции, запишем 1(4) в виде У(1)=1У(х)8(1 — ) Ф . Усредняя и внося знак усреднения под знак инте- грала, получаем (у'(1) ) = ) у (х) ( 6 (1 — х) ) Их или, если учесть (8), (у(1) ) = ') у(х) та,(х) Их. Рассмотрим, как преобразуется плотность распреде- ления при преобразовании случайной величины. Пусть новая случайная величина определяется равенством а=к(1), (1.11) где д(х) — известная функция.

Применяя формулу (8), запишем искомую плотность распределения новой ~величины в виде ° „(у)= <8(П вЂ” У) ) = <8(8(1) — у) >. Используя выражение (10), находим те,(у) = ) 3(д(х) — у) та,(х) Нх, Моменты ть та,... в своей совокупности дают полное описание случайной величины. При этом больше всего физической информации несут в себе первые моменты. Моменты высоких порядков характеризуют лишь малосущественные детали в поведении плотности распределения главным образом при больших значениях. По ряду причин случайную величину удобнее характеризовать не последовательностью моментов, а последовательностью кумулянтов (или семиинварнантов) йа, йа, ..., определяемых равенством (1.23) Сравнивая (23) с (22), можно получить формулы, связывающие моменты и кумулянты, л! =та; /га = та — т,', йа — — та — Зт,та+ 2т,', (1.24) яа = т, — Зт„' — 4т,т, + 12т,'та — бт,', Из структуры этих формул видно, что, зная первые и моментов, можно вычислить и первых кумулянтов и наоборот.

Следовательно, выбранное число первых кумулянтов несет в себе столько же информации, сколько и первые моменты, взятые в таком же числе, Ограничившись определенным числом первых кумулянтов, высшие кумулянты удобно положить равными нулю, Поступать аналогичным образом с моментами (приравннвать нх нулю, начикая с некоторого порядка) нежелательно ввиду того, что при этом характеристическая функция приобретает такое поведение на бесконечности, которое затрудняет вычисление интеграла обращения (19) (ш(Ц при этом выражается не наглядной суммой производных от Дельта-функции). Первый кумулянт совпадает с первым моментом та=й! <1) и представляет собой среднее значение— важнейшую характеристику случайной величины.

Следующие два кумуляита совпадают с центральными, моментами второго н третьего порядков й = ((1 (1))а) йа= (($ — <Е>)а). (125) Величина й, = ( Е~ ) — ( Е ) ~ носит название 4 и бпе рс ни и обозначается следующим образом: РЕ= (Ез> — <Е)'. (1.26) (1.27) Не теряя показательных свойств дисперсии, среднеквадратичное отклонение обладает тем преимуществом, что имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.

Оно показывает порядок величины случайных отклонений ат среднего значения Š— (Е > я(Е). (1.28) Не останавливаясь пока на значении более высоких кумулянтов, отметим, что отношения 4 л тв аз ~3' (1.29) называются соответственно к о э ф ф и ц и е н т а м и а симметрии и эксцесса. По мере увеличения порядка п уменьшается физическая значимость кумулянта й„ 2. Корреляции между случайными величинами Пусть имеется несколько (г) случайных величин Еь ., Е,. Это значит, что в результате каждого опыта мы получаем одновременно г конкретных случайных значений Еь..., Е,. Указанные случайные величины полно- 13 Дисперсия тоже очень важная характеристика случайной величины. Чем она меньше, тем точнее мы знаем случайную величину.

Вероятность отклонений величины от среднего значения <Е), которь|е по модулю превышают любое фиксированное значение е>0, стремится к нулю, если стремится к нулю РЕ, Поэтому при достаточно малой дисперсии можно быть уверенным, что Е мало отличается от < Е ). Часто в~место дисперсии оперируют со среднеквадратичным отклонением, которое мы будем обозначать о(Е). Оно представляет собой корень квадратный из дисперсии ! я ('Е) = [ ( Е" ) — ( Е ) ~1 ~ . (1.31) Полагая )'=1, получаем условие нормировки )...

) тв (Е„..., Е,) Ы Е,... пЕ, = 1. (1.32) Разобьем случайные величины Е,,..., Е, на две группы: Е„..., Еа и Ед+„..., Е,— и рассмотрим, дает ли нам какую-либо информацию о Е,,..., Еа знание конкретных реализаций случайных величин Е„+„..., Е,. Пусть, например, имеются две случайные величинй Еь Ем описываемые плотностью распределення ш(Еь Ез). Если мы не знаем конкретной реализации величины то случайная величина Е~ описывается плотностью рас- пределения т" (Е~) = з тв (Ео Ег) с(Ез. (1.33) Узнав реализацию случайной величины $з, т. е, получив о ней полную информацию, мы можем получить также некоторую информацию о другой случайной величине Еь Конечно, знание Е, после этого в общем случае не будет полным, поэтому Е, будет не детерминированной, а по-прежнему случайной величиной.

Однако теперь $~ будет описываться уже другой плотностью рас- пределения тв(Е,/Ез)= . ' ", ~~то(Е„Е,)й, =та(Ез)), (1.34) ) и(Еь Е,) КЕ, которая содержит больше (по крайней мере, не меньше) информации о Еь чем распределение (33). Выражение (34) называется условной плотностью распределения для $~ при заданной, величине ~ь Интег- 14 стью характеризуются г-мерной плотностью распреде* ления (я,, (х„..., х,) = ( 3(Е, — х,)...Е (Е, — х,) ) (1,30) (или, короче, то(Ео..., Е,)), являющейся функцией г переменных. Из такого определения вытекает, что среднее от любой функции ~(Ео..., Е,) может быть вычислено путем интегрирования с весом тв(Е„..., Е,) <У(Е„"., Е,) ) =~У(Е„"., Е,)~4 Хи(Еь..., Е,) Ж,...Ж„.

рал в знаменателе правой части (34) поставлен для тогб, чтобы выполнялось условие нормировки (1,~1,,)й,=1. (1.35) На сколько именно увелнчплась информация о $, в результате того, что мы узнали реализацию "-,, зависит от выбранного конкретного примера, В некоторых случаях информация о $~ вообще не прибавляется, какой бы ни оказалась ~ь Это значит, что (" ~ 1.) = (1,). (1.36) Учитывая (33), (34), получаем, что,в этом случае ш($ь $2) распадается на произведение одномерных распределений ю(Ц~) и ш(Ка): и(1ь 1,) =то(1,) тв(Е ). (1.37) Такие случайные величины называются независимыми.

В противоположном крайнем случае знание величины $з полностью определяет другую случайную величину $ь являющуюся известной функцией от $2 (5~ = =~($р)). Подобные величины можно назвать тождественно связанными. Их плотность распределения содержит дельта-функцию (1» 1 ) = й 6 —.1 6 )) 6 ). (1.38) Между описанными крайними случаями, разумеется, имеется большое число промежуточных случаев. Сказанное выше относительно двух случайных величин непосредственно обобщается на случай многих случайных величин. Знание реализации некоторых случайных величин (например, 1„+„..., 1,) из 1,,..., 1„увеличивает (по крайней мере не уменьшает) информацию об остальных случайных величинах 1„..., 1„. Через исходную плотность распределения таД,..., 1„) может быть выражена условная плотность распределения Если увеличение информации не происходит, то случайные величины 1„..., 1а статистически не связаны с 1а„„..., 1„(независимы от них).