И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов, страница 7

Безгранично делнмые распределения играют важную роль в предельных теоремах теории вероятностей и в теории случайных процессов. С одной стороны, только безгранично делимые распределения могут быть предельными распределениями сумм бесконечно малых независимых слагаемых. С другой стороны, конечиомерные распределения стохастически непрерывных процессов с независимыми приращениями являются безгранично делимыми. Найдем общий вид характеристической функции ф(и) безгранично делимого распределения. Ее также называют безгранично делимой характеристической функцией.

Из определения следует, что для любого и найдется характеристическая функция ф„(и) такая, что 1р (и) = [ф„(и)1". (7) Условимся считать, что функция агяф(и) определена однозначно с помощью условий: 1) агаф(0)= 0; 2) агпф(и) является непрерывной функцией от и ( — со ( и ( оь), В этом случае можно однозначно определить |п ф(и) и [ф(и)) ", положив 1 [1р(и))" = е" .

При этом 1 Игл и (1р„(и) — 1) = Игл и ~ [ф (и)) " — 1) =! п ф (и). (8) Т е о р е м а 1. Пусть ф(й, и), й е= Н, — семейство характеристических функций, Н вЂ” монотонно убывающая последовательность положительных чисел, сходящихся к О, и предел д(и) = 1цп существует равномерно в произвольной сфере 1и~( )ч, У ) О. Тогда в (Я", 8") существуют конечная лера П(В), П [0) = О, не- отрицательно определенный оператор Ь, отобража1ощий Я" в Ял, и вектор а такие, что л(и) =1'(а, и) — — (Ьи, и)+ 1 + ~~е' " '1 — 1 — '+"~Е1,~ 1~1, П(с(а).

(10) лл случлннын пгопессы в шигоком смысля (гл 1 Доказательство. Пусть С)л( ) — распределение, соответствую. щее характеристической функции р(Ь, и). Положим Пл(В) = — „~ „г!1,, С)л(с(г), В ы 2)". Ниже будет показано, что семейство мер (Пл( ), й ен Н) слабо компактно.

Выберем последовательность Ь„~ 0 такую, что П* слабо сходятся к некоторой мере П' на 8". Далее, (е"" ю — 1) . Плуг) = из =Ил(и) — — Вл(и)+ ~('(и, г)Пл(дг), (!!) 1 ил где Ал(и)= ~ 1'), Пл(аг), Вл(и)= ~ !' !., Пл(а(г), Г (и,г) Г(и )' ии Ф ' 1(и, г) 1 (и, г]' ~ 1+(г1' 1+121~ 2 1+ 121~ ( 12 )л Если считать, что ("(и, О) = О, то )(и, г) будет непрерывной и ограниченной функцией. Позтому Ит ~((и, г)Пл„(Ыг)= ~)(и, г)П'(Ыг). ил из Так как существует предел левой части равенства (11) при Ь = й„, и -+ со, то существуют пределы Вт Ал„(и) = а (и), )нп Вл„(и) = В (и), причем а(и) является линейной функций, а В(и) — положи. тельно определенной квадратической формой, т.

е. а(и) =(а, и)' н В (и) = (З'и, и), где Ь' — неотрицательно определенный сим- метрический оператор. Переходя в соотношении (!1) к пределу по последовательности й„, получим л(и) = ! (а, и) — 2 (о и, и) + $ ( (и, г) П (Маг). (12) ФФ Пусть П(А) = П'(А — (0)) ((О) — множество, состоищее яз одной точки 0). В интеграле в правой части равенстна (!2) меру П'( ) можно заменить мерой П( ). С другой стороны, ин- теграл — — П фг) 1 Г (и,г)' )г!г из ч з! пвоцвссы с пвзависнмымн пвивлщвниями 37 суп!ествует н представляет собой некоторую квадратическую иеотрицательно определенную форму (Ь"и, и). Нетрудно заме- тить, что (Ь'и, и) )(Ь"и, и). Поэтому Ь = Ь' — Ь" неотрнца- тельно определенный симметрический оператор. Таким обра- зом, й(и)=Е(п, и) — ~ (Ьи, и)+ 1 ()(и, г) — ~ >' р ) П(пг).

Я яа Перейдем к доказательству слабой компактности семейства (Пм Ь ~ Щ Нужно показать, что а) Па(Я') ~(Л; б) Итп 1ппП„(К„) =-О, и- ь,о где К„ обозначает замкнутый куб Км — — (г = (г', ..., г~): тах)г~ ~ а У~, ! а К„=Я~'~Ка. Пусть ~ и) ( Л~ь У~ произвольно. Из условий теоремы и (11) следует, что для любого Ь ) О найдется такое Ь, = Ь,(Мь 6), что для любого с .'~ Π— Кеа( )+Ь.=э 1 !( ' ) П„(аг), Ь(Ь„ к, и прн с>! — мед(и)+ Ь.=э ~ (1 — соз(и, г)) П„(Иг). Кд Проинтегрируем эти неравенства по и ен Кр н разделим на обьем Кр.

Получим 5!П вг — (йр) ~ 1йей(и)ди+Ь) ~ — (1 — Д марг ~П„(гуг) (13) 12! \~ рг Р и Рр) (~ ~()~ ~~ ((' П~)~" ~~*~ в4) к а к с Воспользуемся тем, что — >! — — для всех г ) О и них г2 Ш т 1 — Д (1 — аь):-:~ аа — ~„пьат для всех аз~(0,1!. Получим ь-! ь-~ ь ~~7 38 СЛУЧАИНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ (гл. г Полагая р = —,, из (13) будем иметь з сею ' и (к)<ьс '(ь — »р) 1» с()с 1 сь (ю, ь).

((ы Кс т"ь 5)п (3» Замечая далее, что П А ~ — при гИК„из нера» 1 5-1 венства (14) получим при рс > 1 п.(к»с~(ь — »р) '1» с()с 1 сь (ю, ь,). (1ы к, Таким образом, ПА(Я") = Пл(К»)+ Пь(К») = Ь, где константа Ь не зависит от й, ть ~(0, йс). Заметим теперь, что в силу условий теоремы функция д(и) непрерывна и д(0) = О. Позтому для любого 6: 0 можно найти такое достаточно малое р), чтобы ! (юр) ' 1» с()с ~<ь. кр, В силу неравенства (1б) при достаточно большом с ПА(К,) ( 26 для всех й ен(0, йс). Компактность семейства мер (Пм и еи ен Н) доказана.

й Из доказанной теоремы н формулы (10) непосредственно вытекает Т ео р е м а 2. Характеристическая функция а)(и) безгранично делимого распределения в Яс имеет следующий вид; (р (и) = ехр(у(и)), еде д(и) дается формулой (!0). Приведем другой вариант формулы (10). Пусть с ) О. Так как интегралы (3,— сфера радиуса с 0 с центром в начале координат) ~(и, г)П(дг), ~ — ', П(аг) зс зс конечны, то (е((», ) 1 1(»'с),) П(дг)= 1 — — '71 я» =- $ (е'(" ') — 1 — 1(и, г))П(йг)+ $ (еь(» *) — 1) П(йг)+1(и, а'), зс зс аз! ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ где а'= ~ гП(1(г) — ~ —, П(е(г), П(А) = ~ —, П(1(г). зс зс А Если положить а, = а+ а', то для д(и) получаем представление с (и) =1(а„и) — —, (Ьи, и)+ 1 -1- $ (е! 1с '1 — 1 — 1(и, г)) П(1(г)+ $ (е11с, с> — 1) П(<(г).

(!7) Мер» П(А), в отличие от меры П(Л), вообще говоря, уже не является конечной, но П(5,) ( со для любого с Р О и П(О) = О. С другой стороны, как это будет показано в дальнейшем, мера П(Л) имеет более непосредственный теоретико-вероятностный смысл, чем мера П(Л). Предположим, что распределения ОА( ), соответствующие характеристическим функциям й1(й, и), обладают конечными моментами второго порядка. Вместо мер П„(В) введем конечные меры а (В)= ! ') ! РС(„(г(г). в В силу условий теоремы для любых У! ) О, 6 О можно указать такое й, = Ье(11(1, б), чтобы прн гс ~ (О, ас) Ь) ~ 1 — сьс(мг) В яе для всех и, !и(( У1.

Поэтому можно повторить все рассуждения, приведенные при доказательстве теоремы 1, и получать слабую компактность семейства мер 6А(.). Из соотношения =1Ал (и) — 2 ВА (и) + ~ ! (и, г) ОА(а1г), яз где !' (и, г) = е! !с '! — 1 — 1(и, г) + — (и, г)~~!— 2 ' /!гр' СЛУЧАЙПЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ 1гл. ! так же как при доказательстве теоремы 1, получим, что 1 Г !, 1 д(и) = !(а, и) — — (Ьи, и)+ ~ 1е'!и *' — 1 — !(и,г)) —,6(йг), (18) ял где 6( ) — конечная в Яи мера и 0 (О) = О. Мы получили следующее дополнение к теореме 1.

Теорем а 3. Если дополнительно к условиям теоремы 1 распределения С)А(.) обладают конечнь!ми моментами второго порядка, то для функции у(и) имеет место представление (18). Применим теоремы 1 и 3 к однородным стохастическн непрерывным процессам с независимыми приращениями. Теорема 4. Пусть !р(1, и) — хариктеристическая функция вектора $(в+1) — С(з), з» О, ! > О, где й(1) — однородный стохастически непрерывный процесс с независимь!ми приращениями со значениями в Яи.

Тогда !р(1, и) =ехр(1д(и)), (19) где п(и) дается формулой (10) (или (17)). Если процесс Ц(1) обладает конечными моментами второго порядка, то функция а(и) представима по формуле (18). Доказательство. Так как 1!р (1, и) — !р(з, и) ) ( М ) е'1" ! и) !<о) — 1 ), то из стохастической непрерывности процесса $(!) вытекает не- прерывность функции !р(1, и) по й С другой стороны, в силу однородности процесса е(1) и независимости его приращений ср (1! + (м и) = М ехр (! (и, е (1! + 1г) — е (1!)) + ! (и, е (1!) — е (0))) = = Мехр(!(и, 5(1е) — 5(0))) М ехр(1(и, Э(Х!) — й(0))) = =<р(1„и) <р((ы и), Но единственное непрерывное решение уравнения 7(1+ в) = = 1(1)1(з) (1.= О, з ) 0) имеет вид !(1) = е '.

Таким образом, р(1,и)= е'е1и). При этом д(и)=1пп ' . Отсюда, в силу ф(1, и) — 1 ИО теорем 1 и 3, вытекает утверждение теоремы. йй Укажем некоторые частные случаи формулы (19), прини- мая для д(и) выражение (17). а) Ь=О,П( ° )=— О. В этом случае <р(1, и) = еаы ">, что соответствует характе- ристической функции вырожденного распределения, сосредото- ченного в точке Га. Таким образом, $(1) = $(0)+ а1 и точка ЦГ) находится в равномерном движении со скоростью а. б) П()=0, Ч з1 пгоцвссы с пвзлвисимыми пенгхщениями 41 В атом случае приращение $(1+в) — $(з) имеет нормальное распределение со средним а1 и корреляционной матрицей Ьй При й(0)= 0 процесс $(1) является гауссовым, т. е.

процессом броуновского движения. в) а = О, Ь = О, меРа П сосРедоточена в точке гм )зе( ~ с и П(зо) = Ч. В атом случае ~р(1, и) =ехр(ц((еый 'е — 1 — 1(и, е,))), Легко проверить, что приращение $(Г) можно записать в виде (иО) = О) з(1)=ее( Р) — Ф) где т(1) — однородный пуассонов процесс с параметром Ь(т(1) = ай г) Пусть Ь = О, а мера П такова, что П(5,) ( ео. Формулу (!7) можно в атом случае записать в виде д(и) =1(а, и)+ д ~ (е' '" "— 1) П,(би), где Пз — вероятностная мера на 6е (д = П(Я")).

Нетрудно истолковать формулу для ~р(1, и) в атом случае. Имеем й "'=""'""" ~(""'""'1 1,„1)й л-О яе Это выражение представляет собою характеристическую функцию суммы а1+$~+...+$,оь где $ь .... $„, ...— независимые и одинаково распределенные векторы в Я" с распределением Пз( ),т(1) — ие зависящий от $ь..., $, ...

пуассонов процесс с параметром д. Построенный таким образом процесс $(1) называют обобщенным пуассоновым процессом. д) Характеристическую функцию одномерного однородного процесса с независимыми приращениями можно записать по формуле Хнпчина и, =„,Ий,.~((,*- '"* ~'*' ~й)), —,) где у — вещественное число, 0 — неубывающая ограниченная ~йк 1их ч 1+х' на ( — се, со) функция, выражение ~е' — 1- — ~ !+х'1 к' при к = 0 определено по непрерывности н равно — — и'. 2 !Гл 1 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ 42 Для того чтобы получить представление характеристической функции произвольного стохастически непрерынного процесса с независимымн приращениями, воспользуемся следующей известной теоремой А.