И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов, страница 3

Необходимость этих условий обосновывается следующими соотношениями: ое е а а э (хох, ..., хл, +оо, ..., +оо)= >' м ''' л' л+л '' л+р =Р(Ц(0,) < х,, ~(ел) < х„..., 1(е„) <хл, й(е„„) < -, ..., ~ (е„„) < -) = = Р Й (О,) < хп о (0~) < хм ..., В (9л) < хл) = ~8,0,...,9 и 2» ''' х > ОПРЕДЕЛЕНИЯ 1з 5 я Вышесказанное приводит к следующему определеншо. О и р е д е л е н и е. Случайной функцией В(0), заданной на мноясестве 6 (О е= 6) и принимающей действительные значения, называют семейство распределений' (2), удовлетворяющее условиям согласованности (3), (4).

Набор функций Р з з (х1, х„..., х„) называется конечномерными распределениями случайной функции. Приведенное выше определение случайной функции привлекает своей элементарностью и достаточно в тех случаях, когда нас интересуют значения случайных величин 5(0) на конечном множестве значений аргумента О. С другой стороны, существенный недостаток этого определения состоит в том, что оно не дает возможности рассматривать случайную функцию в целом, т.е. рассматривать одновременно совокупность всех ее значений.

Между тем во многих экспериментах наблюдаемая выборочная функция записывается с помощью надлежащего прибора в виде графика некоторой кривой. Приведенное же определение случайной функции не только не дает возможности строить график этой функции, но даже не дает возможности ставить вопросы о таких функциональнь1х свойствах функций $(О), как их непрерывность, дифференцируемость и т.

п. Непо. средственно нельзя ставить также вопрос о вероятности собития, состоящего в том, что для всех 0 ен О выполняется неравенство а < е(0) < Ь, а < Ь. Другие, более гибкие определения случайной функции возникают, еслл использовать акс»оматпческий подход к теории вероятностей.

Каждая теоретико-вероятностная схема описывает результаты некоторого эксперимента со случайными исходами. Если результат эксперимента описывается одним числом или конечной последовательностью чисел, то говорят, что наблюдается случайная величина или случайный вектор. Если же результат эксперимента описывается некоторой функциеи, зо мы имеем случайную функцию. Таким образом, случайная ф„нкцня задается произвольной теоретико-вероятностной схемой~ описывающей эксперименты, результатами которых слух:ат случайные функции. Более точный разбор этого определения будет дан в четвертой главе. Определение случайной функции, принятое в настоящем параграфе, условимся называть определением случайной функции в широком смысле До сих пор речь шла об одной случайной функции. При решении многих задач приходится иметь дело с несколькими различными случайными функциями.

Для того чтобы над ними можно было производить математические операции, недостаточно, чтобы каждая из этих функций была задана в отдельности. Вместо того чтобы говорить о последовательности функций 14 случлпные пьопессы в шигоуом смысла "' 1гл. ~ $1(0), аз(0), ..., ь (О), проще говорить об одной векторной функции ~(0), компонентами которой служат случайные функции Ь(О) Ь(0), $„(8). Тогда предыдущее определение почти не нуждается в изменениях. Роль распределения последовательности случайных величин (!) играет совместная функция распределения последовательности векторов ь(О~), ь(Оз), ... ..., ь(0„), т.

е. функция пт переменных .~ь ь ь (хо, хм, ..., хпт) = =Р((ч(0,)<хп,ь (8,)<.„, ..., 8„(8 )<х„„), В дальнейшем множество ь) будет главным образом множеством действительных чисел и переменная О интерпретируется как время й В этом случае множество Гд будем обозначать буквой У и понимать под этим конечный илн бесконечный промежуток (замкиутый, открытый или полуоткрытый). Рассматривают также случаи, когда У состоит из всех неотрицательных или из всех действительных целых чисел. Тогда мы имеем последовательность случайных величин (векторов) ~(й) (й = =8,1,2,, или й = 8, -ь1, ->2, ...) и яазываем такой про« цесс случайным процессом с дискретным временем или случайной последовательностью.

Процессы с дискретным временем играют важную роль в общей теории случайных процессов. Вопервых, имеется много теоретико-вероятностных задач, в которых время, по существу, входит дискретно. Во-вторых, изучение процессов с дискретным временем в некоторых отношениях требует более простых средств и в то же время в ряде случаев такими процессами можно аппроксимировать процессы с непрерывным временем. В настоящем параграфе мы ограничимся преимущественно случайными функциями, принимаюгцими действительные значения. Переход к векторному случаю вызывает только некоторые технические усложнения. Конечномерные функции распределения однозначно определяют семейство мер д ь (В), п=1, 2, ..., 8 спи, где  — борелевское множество в ьс".

При этом значением ь (В) дает вероятность того, что измерение в некотором эксперименте величин Ц81), ЦОз), ..., $(0,) даст последовательность, попадающую во множество В: д, „,, (В) = Р ((ЦО,), ..., Ц0„11 В). Меру ча а (В) называют распределением последовательности 5(0~),..., з(Ол). Явные выражения для конечномерных функций распределения случайного процесса часто бывают сложными и неудоб. опеедалвння еп ными для применений. Поэтому, в ряде случаев предпочитают задавать конечномерные распределения их плотностями или характеристическими функциями. Если ) в (х„...> х ) — плотность распределения функции распределения Р (х,, ..., х„), то л, Нв,...,е (х~ '''> хл) = ~ ° ° ° ~ ~е,...,е (у1 ' ул)>(у! .

>1ул' Отсюда, в частности, вытекает формула (' "'")= > ~ )ер...,вл,е„+р,...е„+ (х~ '' хл>у~ ур)~(у~ ~ур (6) которую можно рассматривать как эквивалент условия согласованности (4) конечномерных распределений. Меры д в (В) связаны с плотностями соотношением Чар ...,е„(В)= ~ ' ' ~ 1в„...,е„(Уи '' Ул) Ф~ ~(Ул в Характеристическая функция конечномерного распределения последовательности (1) определяется формулой л .1=и *р(> г.

>>>,>,), где М вЂ” символ математического ожидания, иь ..., и„— вещественные числа. Если существуют плотности конечномерных распределений, то ч>в>, ..., е„(и~ . " ) Ф ~,кли = ~ ... ~)е ' )е ... в (х„..., хл)сХх,... с(хл, (6) л т. е. характеристическая функция является преобразованием Фурье плотности распределения. Возможность задания конечномерных распределений с помощью их характеристических функций связана с тем, что последние однозначно определяют функции распределения. Например, если существуют плотности конечномерных распреде. слтчлнныв птоцессы в шивоком смысля !гл. ! лений и оии удовлетворяют некоторым аналитическим условиям, подробно рассматриваемым в теории интеграла Фурье, то плотность 1 з (х„..., х„) можно восстановить по хэРактеРистнческим функциям с помощью формулы Фурье: .

(Оо О,, ..., О,)=МР(О,))"~ЦО,Д" ...РВ(ОД' УхЪО (Уг=!,2, ..., з), если математическое ожидание в правой части равенства имеет сл!ысл при всех О! ~ й, 1 = 1, 2..., з. Величина д = !! + у«+' +... +1, называется порядком моментной функции. О п р е д е л е н и е. Случайная Функция В (9), О ен 9, принадлеясит классу Ы'р(9) (В(О)~ 2'р(6)), если М!$(О) !т ( оо для любого В ен 8.

Легко заметить, что если $(0) ~ .У„(0), то моментные функции порядка.д конечны для всех а =-- р. Действительно, из неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим: а, -~ рхаги а э0, Е «, х! а /~! р,~)0, 2". Р«=1э ь-! Подробнее о характеристических функциях см., например, В. Феллер (2) или П.

Л. Хеннекен и Л. Тортра (1). 1(орреляционные функции. Исчерпывающую характеристику случайной функции в широком смысле дает семейство совместных распределений (2). Однако во многих случаях представляет интерес более сжатая характеристика распределений, отражающая некоторые важные свойства случаяной функции. Кроме того, решение многих теооетико-вероятностных задач зависит только от небольшого числа параметров, характеризую!цих входящие в задачу распределения. Наиболее важными числовыми характеристиками распределений являются их моменты. Б теорпп случайных функций роль моментов распределений играют моментные функции. О и р вдел е н не. Моментныл!и функциятли случайной !Вункции а(0), 0 с!, называются Функции ОЛРеделения 5 и 1т следует 3 и Гз и П]еи(ее)]~= Ц]%(вь)! и <~~ ~ ]В(вз)]~, 1 4-1 Ь1 Воспользовавшись неравенством Иенсена М[(е) ( ) (Ме), имею ',::,; место для любой непрерывной выпуклой функции, получим 8 и и М П ! $ (91)1 <М ~х~~~ ь ! иь(91) ! ~ ~~~ 'и ((4 ! ие(еь) ]~) Р, А-1 ь-! Ь 1 откуда следует доказываемое.

Если известны характеристические функции конечномерных распределений, то моментные фуншнп1 с целочисленными индексамя могут быть найдены с помощью дифференцирования. действительно, если З(В) ее 2'Р(6), то эеез з (ие ..., и ) 1и ...и 0 ! ''' 5 при д ( р (д = )1+]з+... +(,). Доказательство этой формулы вытекает из возможности дифференцирования по иь ... 1 ~ иЗ З (ЕЗ) и, СООтНОШЕНИя 1р Е (и„..., ии) = МЕ ' ПОд знаком математического ожидания.

В ряде случаев приходится пользоваться обратным утверждением, но последнес имеет место не во всех случаях. Но оно справедливо для моментов с четными индексами. Кроме моментных функций, часто рассматривают центральные моментные функции т,с, (Вп ..., е,)= = М([К(9,) — и, (9,)] '[Ц(вз) — т,(0,)] '... [К(9,) — т,(0,)] '), (8) которые являются моментными функциями центрированной случайной функции $1 (9) = е(0) — л11 (О), имеющей при любом 9 ен 6 математическое ожидание, равное О. Среди моментных функций особое значение имеют функции первых двух порядков: т (9) = и1 (О) = Ма (О), (9) Л (В, в ) =, (Е, В ) = М [й (В ) — (В )] [з (9,) — гл (Ез)].

((В) слхчхпныв пгоцвссы в шигоком смысля 1гл. 2 18 называют коэффициентом корреляции случайных величин $(О~) и 8(02). Если ~(0~) и;(02) независимы, то коэффициент корреляции равен О. Обратное, вообще говоря, неверно. Все же в важном частном случае, когда случайные величины $(01) и $(02) имеют совместное нормальное распределение, из равенства 0 коэффициента корреляции или, что то же самое, корреляционной функции 2((Оь 02) следует, что величины $(0,) и 5(02) независимы.