И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов, страница 5

Доказательство. а) Необходимость. Пусть характеристическая функция с!с(и) некоторого случайного вектора задается формулой (!). Дифференцируя ее по сс, и затем по и» и полагая и = О, видим, что распределение обладает конечными моментами и СЛКЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЯ [ГЛ. ! независимых соотношений и, следовательно, его распределение сосредоточено в г.мерной гиперплоскости, задаваемой уравнениями Х(х1 ~)о~ — — О, й=г+1, ..., ! ! б) Достаточность. Предположим сначала, что 1с — положительно определенная симметрическая матрица, Функция 1 ф(и)=ехр(1(т,и) — е(Ри, и)~ абсолютно ннтегрнруема и дифференцируема.

Следовательно, к ней применима интегральная формула Фурье: ф(и) = ~ ... ~ 1 (х) е'1" "1 дх, ... дх„, Интегралы в правых частях написанных формул являются л-мерными. Пусть С вЂ” ортогональная матрица, приводящая Я к диаго. нальному виду, так что С')сС = В, где О =(Х;Ьм), й й = = 1, ..., и; Х; ~ О, С' — матрица, сопряженная с С. Так.как С вещественна и ортогональна, С' совпадает с транспонированной и с матрицей, обратной к С, С" = С' = С-'.

Перейдем от переменных интегрирования и„к переменным од с помощью соотношений и = Со или о = С'и, где о =(оь ом ..., о ). Так как при ортогональном преобразовании элемент объема не меняется, то У(х) = )„) ... ~ ехр) — ((х — т, Со) — 2()сСО,СО)~гУО1 ... гЬ . Г Г г ! Имеем ЯСО, Со) =(С")сСО, о) = ~„Х о', ь-1 (х — т, Со) =(С'(х — т), о) = ~ х" оы ь где х' — /г-я компонента вектора х' = С'(х — т), Таким ь гйхссовы слэчйиныи этнкцни й г! образом, 1(х) = О 5 И вЂ” )ехр — (й х*о — — р Лог и!о ...!2о = (2и)" ) ''' 2 ~,2, й й 2,Р, й й) !'' й= й-! й-! й = Ц вЂ” л! ехР~ — гхйой — — 2»йогй ~ !(ой = 1 Г г й-! ! =Ц=е й ! й =(2и) ' ~»Ц Ай~ е й-! » Далее, ЦХ»=Л, где Ь вЂ” определитель матрицы )с, й-! (О х", х") = (»! !С" (х — т), С" (х — т)) = =(СО 'С*(х — т), (х — т)) = ((С.0С") '(х — т), (х — т)) = = (Л (х — т), (х — т)) где 1»' ' — матрица, обратная к )с.

Окончательно получаем ) (х) = „ехр( — — ()с (х — т), (х — и))) = л 1 Ь (х! — т )(хй — т ) ехр „l(2и1»,! ~ 2 Л~ Л л й=! (6) где Лй! — алгебраические дополнения элементов матрицы )с. Из (6) следует 1(х)) О, а из (5) ~ !'(х)!(х=»р(О)=1. Таким образом, функцию 1(х) можно рассматривать как и-мерную плотность распределения, а ф(и) является ее характеристической функцией. Переходя к обще лу случаю, предположим, что матрица Й имеет ранг г (г ( и) и С вЂ” ортогональное преобразование, приводящее ее к диагональному виду, С"-ЛС = 0„, где 12„— диагональная матрица, диагональные элеме!пы которой Л» = О при й = г+ 1, ..., и и 2,» ) О при Й = 1, 2, ..., г.

Пусть Х! Ху прн /=1,2, ..., г; л,;'=е при 1' = г+ 1, ..., и, Тогда )с, = = СЙ,С* — положительно определенная матрица (й, — матрица с элементами Х!б!й) и !р, (и) = ехр ( 1(уи, и) — 2 (Л,и, и) ~ ! СЛУЧАЙНЫЕ ПРОПЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ !Гл. 1 является характеристической функцией еекоторого распределения. При е- 0 функция /р,(и) равномерно стремится к /р(и), и поэтому /р(и) также будет характеристической функцией некоторого распределения. Как было выяснено ранее, это распределение сосредоточено в г-мерной гиперплоскости и поэтому не имеет плотности.

Такое распределение называют несобственным гауссовым распределением. Я С л е д с т в и е !. В выражении ( () для характеристической функции гауссова распределения т =(т/, тм ..., т„) есть вектор математического ожидания, а Д вЂ” корреляционная матрица: т = М», г/А = М [(»/ — и/) (кь — т»)). сыто следствие непосредственно вытекает из формул (2) и (3). С л е д с т в и е 2.

Если корреляционная матрица к гауссова случайного вектора С невь/рождена, то существует и-мерная плотность распределения /'(х), определяемое форл/улой (6). Следствие 3, Совместное распределение любой группы компонент гауссоеа случайного вектора является гауссовым. Теорема 2, Если с,гучайный вектор $ =($„С», ..., с„) имеет гауссово распределение, случайные векторы К' =($,, ...

..., $„), »" = (с„+/, ..., $„) (г ( п) некоррелированы, то векторе/ " и ~" независимл/. Доказательство. Из иекоррелированности $' и 5" вытекает, что М~Д/ — М'/й/)Ь/=О, '= /, ...,, !=г+ (, ..., Поэтому ч/(и) = — ехр (/'(т', и') + /(т", и")— Г ь ! х ! х 2 ~ г/Аи/иь 2 ~ г/»и/и» /,» / /, »-г-~-/ где т'=(т„т», ..., т,), т"=(т,+/, ..., т„), и'=(и„и», ..., и,), и"=(и,+„..., и„), Предыдушую формулу можно переписать в виде ч,(и) Ме//чч и!ч-/ /ч", !"! й/(е//мак! Ме//ы, ! / <р~(и~), ~г(ин) где /р'(и') и /р" (и") являются характеристическими функциями векторов й', $". Это соотношение доказывает независимость я' и в".

ГАУССОВЫ СЛУЧАИНЫЕ ФУНКЕ!ИИ Пусть А = ~(а,х !! (1 = 1,, й, й = 1, ..., л) — произво.и.— ная прямоугольная матрица и Ч = А$, т. е. Ч=(Ч!... ЧА), Чс= Ха!АВА, 1=1,, й. А-! Вектор Ч является линейным преобразованием вектора К. Теорема 3. ссри линейном преобразовании случайных векторов гауссовы распределения переходят в гауссовы, Доказательство.

Пусть ср (1с, ..., 1„) обозначает характеристическую функцию вектора Ч. Тогда т. е. Ч имеет гауссово распределение с математическим ожида- нием Ат и с дисперснонной матрицей Яч = АДА'. ° Приведем еще некоторые часто используемые формулы для гауссовых распределений. Пу~~~ $ =($с,, $„), Ч =(Чс, ..., Ч„) — два случайных вектора, имеющих совместное гауссово распределение.

Найдем условное распределение вектора с при заданном векторе Ч. Не умаляя общности, можно считать, что корреляционная матрица И22 вектора Ч невырождена. Действительно, если бы матрица 022 вырождассась, то это бы означало, что некоторые компо- ненты вектора Ч являются линейными комбинациями других, и их можно было бы исключить, понизив размерность вектора Ч. Пусть и! = Мс$, пс2 = МЧ, !Асс! — корреляционная матрица вектора 5, Рсз — взаимная корреляционная матрица векторов $и Ч! Я !2 = М (в — сп ) (ч — и ) .

Заметим, что для любой неслучайной матрицы А и векторов йиЧ М(А$, ч) = Зр АД', где К вЂ” матрица с элементами Фп —— М52Чь Ьр  — след мат- рицы В, ЯрВ=2,(сп. При этом, ЯрАВ = БрВА для любых с матриц А и В. Возвращаясь к поставленной задаче, положим в =си! + Йс2сс22 (Ч сп2). Легко проверить, что для любой матрицы А М(А — Ь, Ч вЂ”,)=9.

(8) (9) т~ 2'ч-~ сР„(и,, и)=МехР ~ с,т и!Ч!У =МехР~ ! 7 1хт„сс!асА $2 ! ! А=! ! 1 = ехр ( !'(и, Асп) — — (АУГА'и, и)~, (с) 28 СЛУЧАПНЫЕ ПРОПЕССЫ В ЩИРОКОМ СМЫСЛЕ [ГЛ. Г Действительно, М(АЙ вЂ” $), Ч вЂ” тг) =ВРМ12 — Врллп)(22'~ =0. Равенство (9) означает, что любая компонента вектора $ — с некоррелирована с любои компонентой вектора Ч вЂ” пгг н, сле- довательно, эти векторы независимы. Таким образом, 5 =1+ гь = 1+ Гп~ + Р12Ю (Ч вЂ” пгг), (10) где Ь и $ — гауссовы случайные векторы, Ь не завнсит от 21. При этом МЬ=т, — пг, =О, МГ=М($ — $)(~ — ~)*= = м((з — т1)Й вЂ” т~) — Й вЂ” Гп~)(ч — пгг) )122 лов — )г12)ггг (ч — пгг) Й ж) + уингз (ч пгг)(ч — пгг) гггг р4 или, так как )А'"„= )г,„= М (Ч вЂ” гпг) (3 — т,)" и матрица ггг симметрична, Мьь* = )АН вЂ” )Г121222'Ргь Из формулы (1О) вытекает, что условное распределение век.

тора а при заданном векторе Ч является гауссовым с условным средним МЙ~Ч) ь=т +Л пг (Ч пгг) (11) и условной корреляционной матрицей М (Й ь) Й ь) ! 21) Яп Я12Я22 Ягь (12) Отметим следующее важное обстоятельство: матрица условных корреляций вектора 5 при заданном Ч неслучайна и, в частности, не зависит от значения вектора 21. Следующее утверждение очевидно, но его полезно иметь в виду. Теорем а 4, Пусть $<"> (а = 1, 2, ..., Г, ...) — последовательность и-мерньлх векторов, имеюи(их гауссовы распределения с параметрами (пгич, йчю). Последовательность распределений векторов Кьг> (а = 1, 2, ..., Г) слабо сходится (сходится в основном) к некоторому предельному распределению тогда и только тогда, когда (13) В этом случае предельное распределение также является гаус- совым с параметрами (пг, )г).

глтссовы слтчлиныв езикции Перейдем теперь к случайным функциям. Векторная з-мерная случайная функция В(0) = Д~(8), ..., $„(0)) называется гауссовой, если совместное распределение всех компонент случайных векторов является гауссовым. Корреляционная матрица )с совместного распределения последовательности случайных векторов (!4) имеет размер за Х зл и может быть разбита на квадратные блоки размера з х,' з следующим образом: 8(Е„Е,) 8(В„В,) ... Л(Еь О„) 8(В„В,) 8(В„Е,) ...

Л(В,, 8„1 л (е„, е,) л (в„, е,) ... л (е„, е„) где 1т(0ь 8з) — корреляционная матрица функции с(9). Матрица 1с вещественная и неотрицательно определенная. Очевидно н обратное предложение. А именно, каковы бы ни были вещественные вектор-функция т(0) и иеотрицательио определенная матричная функция )с(9ь йз), 0; ~ О (1= 1, 2), существует г-мерпая гауссова случайная функция (в широком смысле), для которой гл(0) есть вектор математического ожидания, а Р(0ь8з) — корреляционная матрица. Моменты гауссовой случайной функции могут быть получены из разложения характеристической функции.

Ограничиваясь случаем центральных моментов, положим т(0) = О. Тогда 1 — — (Рп, и)+ —,, Яи, и)' — ... + ( — 1)" — „, Я~, и)" + Отсюда для произвольной моментной функции нечетного порядка получим гл, ~ (8„..., 9,)=0, если ~, 1 =2л+1. ь-1 Для центральных моментных функций четного порядка е2л Фгг..., у, (8о ..., 8,)=, — „,, ((си,и)", ) 1ь=2и. (15) ь-1 слгчхиные пеоцессы в 1пигоком смысле пл. ! зо Например, для моментных функций четвертого порядка имеем следующие формулы: т4 (0) = Вй~ (8, 0), тм (Вп Оз) = ОН (Оп 0~) Я (Оп О ), ~п(0„0,, О,)=Л(Оп 0,)й(Ом О,)+ж(Оп 0,)Л(О„О,), тпп (Оп Ооо Оо, 04) = =Л(Оп 0,) 2(О„О,)+2(Оп Оо)Л(0,, О„)+г(Оп 0,)Л(Оо, Оо).