И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов, страница 2

3. Следующая задача тесно связана с предыдущей. Она заключается в отыскании для различных классов случайных процессов аналитического аппарата, дающего возможность вычислять вероятностные характеристики случайных процессов. Для простейших вероятностных характеристик такой аппарат создан и использует, как правило, или теорию дифференциальных уравнений (обыкиовенных и с частными производными), а также ннтегро-дифференциальные уравнения (в случае марковских процессов и процессов с независимыми приращениями), или теорию интегральных уравнений с симметрическими ядрами (в случае гауссовых процессов), или преобразования Фурье и теорию функций комплексного переменяого (для процессов с независимыми приращениями и стационарных процессов).

4. Следует выделить задачу, сыгравшую важную роль в формировании некоторых разделов теории случайных процессов и имеющую важное практическое значение. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ В общем виде задача заключается в наилучшем определении значения некоторого функционала от процесса по значениям других функционалов от этого же процесса.

Примером может служить частная задача предсказания: наблюдая процесс в течение определенного промежутка времени, определить значение процесса в некоторый момент времени, не принадлежащий этому промежутку. 5. Важный класс задач теории случайных процессов — изучение различных преобразований случайных процессов. Эти преобразования используются для того, чтобы с их помощью изучать сложные процессы сведением к более простым. К изучению преобразований случайных процессов можно также отнести теорию дифференциальных и интегральных уравнений, в которые входят случайные процессы. Этот класс задач включает в себя н предельные теоремы для случайных процессов, так как операция предельного перехода является некоторым преобразо. ванием.

Основными областями применения теории случайных процессов в настоящее время являются радио- и электротехника, где применяются главным образом стационарные в широком смысле и гауссовы процессы, кибернетика (в частности, теория информации), использующая стационарные в узком смысле и марковские процессы. В математической экономике, математической биологии применяются различного рода марковские процессы, в молекулярной теории газов используется процесс броуновского движения, в теории каскадов космических частиц находят себе применения марковские процессы и процессы с независимыми приращениями.

Вообще в последнее время методы теории случайных процессов находят все новые области применения, и сейчас, пожалуй, ни одна из естественных наук не избежала хотя бы в малой степени влияния этой теории. Охарактеризуем кратко особенности содержания настоящей книги. В книге выделена глава (первая), посвященная случайным процессам в широком смысле.

Так мы назвали ту часть теории случайных процессов, которая имеет дело лишь с распределениями конечных наборов значений случайного процесса. из пввдисловия к пяявомх издлнию Эта часть очень близка к элементарной теории вероятностей, ие требует для изложения сложных математических понятий и часто бывает достаточна для приложений. Далее рассматриваются общие вопросы теории случайных функций и затем коикретиые классы случайных процессов и частные вопросы теории. Из случайных процессов широко осве. щепы процессы с независимыми приращениями (им посвящена одна глава) и процессы Маркова (им посвящены две главы).

Стационарные процессы рассматриваются частично в первой главе, частичио в пятой главе, посвященной ливейиым преобразованиям случайных процессов. В этой же главе рассмотрена задача линейного прогнозирования. Целая глава уделена предельным теоремам для случайных процессов, причем в этой главе основное внимание уделяется процессам с независимыми приращениями и марковским процессам. Большинство построений проводится для того случая, когда случайный процесс принимает значения из конечномерного евклидова пространства, в некоторых случаях рассматриваются комплекснозначные одномерные и многомерные процессы, а также процессы со значениями из полного метрического пространства.

Поэтому предполагается, что читатель владеет основными понятиями линейной алгебры (это особо важно при изучении гауссовых процессов) и теории гильбертовых пространств, используемых при рассмотрении линейных преобразований случайных процессов, а также некоторыми сведениями из функционального анализа (полное метрическое пространство, ком. пакты). Мы ие ставили своей целью давать полную библиографию работ по теории случайных процессов, а в списке литературы, кроме книг, на которые имеются ссылки в тексте, привели лишь основные книги по теории случайных процессов и теории вероятностей, имеющиеся иа русском языке, а также статьи, в которых впервые появлялись фундаментальные результаты в данной области.

Книга делится на главы, главы — иа параграфы. Основные формулы, а также теоремы, леммы имеют нумерацию внутри каждого параграфа. При ссылках внутри одного параграфа ?!3 ПРВДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДА?!И!О указывается лишь номер теоремы илп формулы, при ссылках внутри одной главы к этому номеру добавляется еще номер параграфа, при ссылках на результаты других глав добавляется еще и номер главы. Авторы выражают свою признательность сотрудникам, аспирантам и студентам кафедры теории вероятностей и математиВеской статистики Киевского государственного университета за помощь в работе над книгой.

Авторы г,иев, 21 октября 1963 г. ИРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ И. О. Гихмаи, А. В. Скороход Киев-доиеци, февраль 1976 и. Во втором издании общий план и целевая установка книги сохранились. Все же книга подверглась значительной переработке. Исключена глава, посвященная теории меры, и некото. рые параграфы других глав. В 5 ! второй главы без доказательств сформулированы на языке теории вероятностей те ре. зультаты теории меры и интеграла, которые в дальнейшем счи.

таются известными и постоянно используются без дополнительных ссылок. Введена новая глава — «Случайные последова. тельиостн», куда вошел новый материал: мартингалы, теория восстановления, цепи Маркова. Расширена первая глава, посвященная процессам в широком смысле. Добавлены новые пара. графы, в которых рассматриваются случайные блуждания, обобщенный процесс Пуассона, вопросы абсолютной непрерывности мер, порождаемых диффузионными процессами.

Внесены и другие изменения. ГЛАВА 1 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ $1. Определения Течение случайного процесса, так же как н детерминированного, описывается некоторой функцией в(0) (принимающей действительные, комплексные или векторные значения), где О— аргумент функции со значениями из множества 9. Функцию 5(0), наблюдаемую в некотором опыте, осуществляя определенный комплекс условий У, называют выборочной 4ункиией или реализацией случайного процесса. Если О фиксировано, то значение х(0) является случайным. Для того чтобы иметь возможность применять математические методы к исследуемому кругу вопросов, естественно предположить, что $(0) является случайной величиной (или случайным вектором) в теоретико-вероятностном смысле.

Следовательно, случайный процесс является семейством случайных величин В(0), зависящих от параметра О, пробегающего некоторое множество значений О. Если множество 8 произвольно, то вместо термина «случайный процесс» удобнее пользоваться термином «случайная функция», оставляя название «случайный процесс» для тех случаев, когда параметр 0 интерпретируется как время.

Когда аргумент случайной функции является пространственной переменной, эту функцию называют еще случайным волен. Данное определение случайной функции нуждается в уточнении. Ради простоты будем говорить о случайной функции, принимающей действительные значения. Прежде всего надо выяснить, какой смысл вкладывается в термин «семейство случайных величин, зависящих от параметра О». Напомним, что в соответствии с принципами теории вероятностей конечная последовательность случайных величин 3ь $м..., $„полностью характеризуется их совместной функцией распределения р(х~ хм,, х»)=РЯ~ (х~ »»»(хз ...>»»»(х»). При переходе к теоретико-вероятностному описанию случайной слрчлнные процессы в широком смысле англ, т (3) (4) Ра а а ~х1>-х„..., хл)= =Р(Ц(О,) <хп В(0,) <х,, ..., й(Ел) <хл)= -Р(л(Е,) <х,,й(0,) <х,, ..., 2(О,) <х,)= 0,9....,0 х е' 8' '''' ~л) >>' л сл > л функции возникает вопрос: как описать взаимные связи оесконечного числа случайных величин — значений случайной функции? Проще всего считать случайную функцию 5(0) заданной, если определены всевозможные теоретика-вероятностные соот- ношения между любым конечным набором значений случайных величии ;-(О,), Ц(9,), ..., Ц(ол), О,~О, 1=1,2, ..., и; п=1,2, ..., т.

е. если даны соответствующие функции распределения. С этой точки зрения случайная функция Ц(0), 9 ен й, определяется се- мейством распределений Г „~ (хн хгп ..., хл), О,~О, (2) 1=1,2, ..., и; п=!,2, ..., и каждая функция г" (х„х„...> хл) интерпретируется как совместная функция распределения последовательности случайных величин (1). Разумеется, для того чтобы такая интерпретация была воз- можной, семейство распределений (2) не может быть совер- шеняо поонзвольным. Оно должно удовлетворять следующим очевидным условиям, которые называют условиями согласован- ности семейства распределений (2); Ра а э л е (хпх= ..., х, +оо,..., +оо)= >' > '"" л' л+>' "" л+р (х~> хз> ..., х ), .ге а а ~х~ х2> хл) >'а а а (х~ > х>' > > х> )> где (ь 1тл ..., 1 — любая перестановка индексов 1, 2, ..., п.