И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов, страница 10

Тогда соотношения (14) автоматически выполняются. Пусть т1(1) = Е тьрц(8, 1), 1 > з. х Тогда (12 (1( 1,) т2(1,) ~ 1о, ~ -2 ~ ть(1)а81(1). ьмк х Таким образом, дт (8) = ~~, ть (1) ац (1) 1 > ' ьмх (18) В частности, дри(8, 1) = ~ Ры(з, 1) ац(1), 1> з ьял В случае конечного числа состояний уравнения (17) или (19) представляют собою систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, имеющих при весьма широких СЛУЧАЙНЫВ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ (гл. 1 предположениях о функции аь;(з) единственное решение, удов- летворяющее начальным условиям рьц(з, з) = бьь Таким обра- зом, в этом случае каждая из систем уравнений Колмогорова однозначно определяет вероятности перехода.

Скачкообразные процессы в широком смысле. Можно ожи- дать, что в достаточно регулярных случаях марковский про. цесс со счетным числом состояний является моделью процесса следующего рода: в течение некоторого случайного промежутка времени движущаяся точка находится в начальном состоянии, после чего с определенными вероятностями переходит в новое состояние, где она проводит случайный промежуток времени, после которого переходит в другое состояние, и т.

д. Подобного рода процессы можно рассматривать н в произвольном фаза. вом пространстве, Их называют скачкообразными марковскими процессами. Рассмотрим марковский процесс в широком смысле в фаза. вом пространстве (Х, 6) с вероятностью перехода Р(з, х, (, В), з ((, (з, ()еи! Х !. Будем считать, что о-алгебра 6 содержит одноточечные подмножества Х. Определен не.

Марковский процесс в широком смысле называется скачкообразным, если для произвольных (з, х, В)еи е= ! Х Х ч', 6 существует предел Р (и х, (, В) — Х (В, х) (20) и при фиксированных (з, х) а(з, х, В) являются конечным за- рядом на 6. Скачкообразный марковский процесс в широком смысле бу. дем называть регулярным, сслн сходимость в формуле (20) равномерна по (з, х, В) ен (О, !) К Х)т, 6 и функция а(з, х„В) при фиксированных (х, В) непрерывна по з еи (О, (] равномерно относительно (х, В), где ! — любое число из !. Отметим, что функция а(з, х, В) обладает следующими свой« ствамн: а(з, х, Х) =О, а(з х В)=(цп ' ' ' )О, если хЙВ, Р (я, х, б В) ! — з а(з, х, (х))= — а(з, х, Х~,(х))=!!т ',' ', --О, Р(к х, б (х)) — ! где (х) — множество, состоящее из одной точки х. Эти соотно щения можно обьединить в одной формуле, положив а(з, х, В) = — а(з, х))((В, х)+а(з, х, В), где а(з, х) = — а(з, х, (х)), а(з, х, В) = а(з, х, В 'ч (х)), е 4) МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ причем а(з, х, В) является конечной мерой на 6 и а(з, х, (х)) = О.

Для регулярного скачкообразного процесса то обстоятельство, что а(з, х, В) является конечным зарядом на 6, вытекает из требования равномерной сходимости в соотношении (20). Действительно, из определения функции а(з, х, В) непосредственно следует, что Она является неотрицательной аддитивной функцией множеств на 6. Пусть теперь В„с: В„+и В„~ 6, В = Д Ви и хИВ. Тогда и 1 а(з, х, В)=ВШ ' ' ' =1пп!(ш Р(х, х, й В) .. Р(х, х, д В) — И. - ! — и =!Цп !Пп ", ' ' " =1!ш а(з, х, Ви), Р(х, х, й Ви) и+ 1Ри и-и причем изменение порядка предельного перехода возможна в силу предполагаемой равномерной сходимости относительно В а=6 в соотношении (20). Таким образом, счетная аддитив- ность функции а(з, х, В) доказана. Отметим еще следующее свойство регулярного скачкообраз- ного процесса: для каждого ( е= 1 найдется такая постоянная К, что (а (з, х, В) 1( К для всех (з, х, В) ен (О, () Х Х Х 6.

В оставшейся части настоящего пункта рассматриваются только регулярные скачкообразные процессы в широком смысле. Положим при а(1, х) ) О, П((, х, В)= [ т,(В, х) при а(1, х)=0. При фиксированных (1, х) П((, х, В) является вероятностной мерой на 6. Легко указать для нее теоретико-вероятностную интерпретацию.

Из (20) следует Р(1, х, 1+ Л1, (х)) =1 — (а(Ф, х)+ е) Л(, где е- 0 при Л(- О. Таким образом, с точностью до беско- нечно малых высшего порядка малости а((, х)Л( есть вероят- носта того, что движущаяся точка, находящаяся в момент вре- мени 1 в состоянии х, в момент времени 1+ Л1 уже не будет в нем. Далее, при а (1, х) Ф О Р (б х, (+ вй В', (х)) (,, ) Р(кх ~+дйХ",(~1) так что П(1, х, В) можно рассматривать как условную вероятность системе, находяшейся в момент времени 1 в состоянии х слгчаинься пеоцессы в шигоком смысля 1гл, с и в этот же момент времени покидающей это состояние, ока.

заться в результате скачка во множестве В. Эта интерпретация функции П(1, х, В) будет доказана в дальнейшем (см. $ 1 гл. ЧП). Соотношение (20) можно переписать в виде Р (з, х, 1, В) = (1 — а(з, х)) (Ф вЂ” г) т,(В, х) + +(а(з, х, В)+г(г, х, 1, В))(à — з), (21) где г(в, х, 1, В) — некоторая функция, равномерно по (г, х, В), з ~ (О, 1), стремяшаяся к 0 при 1 ) з. Из последнего соотношения, в частности, следует, что для любого и ен У ! Р (в, х, Г, В) — )1 (В, х) ! < Кс (1 — з), (22) где Кс — некоторая постоянная, не зависящая от (з, х, Г, В)ен ен(0, и) Х ХХ(0, и) Х 6. Перейдем к выводу уравнений Колмогорова для скачкооб- разных процессов.

Начнем с вывода второго уравнения. Пусть з фиксировано, 1 - з, т — произвольная вероятност- ная мера иа 8 ит,(В) = Тыт(В), где Т;, — оператор, введенный ранее. Если 6з ) 1, ) з, то тс,(В) — ть (В) = Я тс,(с(х) (Р((„х, У„В) — )с(В, х)), х откуда, в силу неравенства (22), ацр! сис,(В) — тс,(В) 1~ (Кс (сс — 1с).

в Далее, из (2!) следует, что тс,(В) — тс,(В)=(гс — сс) $ (а(сс, х, В)+г(сс, х, ГыВ))тс,(ссх). (23) х Пусть теперь 1з ~ Г, сс 1'1. Тогда ~ сас,(сс) — «сс, (В) ацр '*, ' — ~а(1, х, В)тс(с(х)1~ ~зцр)г(1„х, 1„В)1+ с,— с, сх, вс + зцр ~ ~ (а(Фс, х, В) — а(Г, х, В)) тс,(с(х) + ач Вс ~~~ + ацр ~ а(1, х, В)(тс,(с(х) — тс(с(х)) <х, вс ~ас+ е,+ Кзцр! тс,(В) — тс(В) 1, в млвковскиз пвоцвссы в шивоком смысла где з(= зцр)г(х(, х, (ь В)(-»О при 1('("х, хз ) С, (х, в( ге= зпр(а(((, х, В) — а((, х, В)! — »О при (х, В( Из (23) вытекает также, что зпр~ т(, (В) — т,(В) )-»О при (( ( г.

в Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 2. Функции Т,',т (В) аргумента ( в случае регулярного скачкообразного процесса при г' > з дифференцируемь(, и (24) где А,т (В) = )а ((, у, В) т (ду) = — )а ((, у) т(ду) + ~ а ((, у, В) т(ду). х в х Формулу (24) можно записать еще следующим обривал(: х(в( (В) = — ~ а((, у)т((бу)+ ~ а((, у, В) т((бу).

(25) з х Положив т(В) = т(В, х), получим т,(В) = Р(з, х, (, В), и из теоремы 2 вытекает следующее С л е д с т в и е. Вероятности перехода Р (з, х, (, В) регулярного скачкообразного процесса дифференцируемы по ( при ( ) )з,и гР(их, и в) ш = — ~ а (г, у) Р (з, х, (, с(у) + ~ а (г', у, В) Р (з, х, (, ((у). (26) з х Из соотношения (20) вытекает следующее начальное условие для дифференциальных уравнений (26) и (26): И(пт((В)=т(В), 1(шР(з, х, г, В)=т,(В, х), (27) (( х ((х Если уравнение (26) при соответствующем начальном условии имеет единственное решение, то, решая зто уравнение, найдем вероятности перехода рассматриваемого процесса.

Перейдем к выводу первого уравнения Колмогорова. Пусть 1 фиксировано, 7(х)~ Я(6), ((7(!= зпр) 7(х) ) и х 7 (х) = Т М (х) = $ ) (у) Р (з, х, !, бу), з ( г. за слзчлнныс пеопвссы в шиеоком смысла (гл. ( и граничному условию !(т [,(х) = [((х). гг( Уравнение (29) является первым уравнением Колмогорова для регулярных скачкообразных процессов, а оператор А„вве. денный ранее, в данном случае имеет вид (30) А,)(х) =а(з, х)[ — 7(х)+ ~ г(у)П(з, х, ((у)1. Положим з, < з к. з, < г. Тогда ~, (х) — [, (х) = ~ [), (х) — ), (уЦР(з,, х, з„ду) = =(зг з,) ~ [(', (х) — (', (уЦ(а[в(, х, ду) + г(з(, х, з„((у)), Иэ этого соотношения следует, что зпр [ (, (х) — ), (х) [ ( 2 [! [( [[[з, — з) ! [К + 2 знр [ г [з и х, В„В) [1. Х и, В( Далее, учитывая, что а(з, х, Х) = О, получим неравенство [[ " " + ~(,(у)а(з, х, с(у)~~( <[[~ [(,(у) — [, (уЦа(з, х, ду) [+ + Ц ~ (, (у)[а (з, х, ((у) — а (з„ х, ((у)[~[ + ((г +![5 [((„(х) — ((, (уЦг(з(, х, з,„с(у)~г[! (28) Правая часть неравенства в силу (28) ие превосходит 2[[~ [! (з, — з) [К + 2 зцр [ г (з„х, В„В) [[ + (х, В) + [[(' ![2 зпр [ а (з, х, В) — а (з„х, В) [+ 2 ![ [ [! 2 зцр [ г (з„х, зм В) [.

(м В) (х, В( Из предположения регулярности скачкообразного процесса еле. дует, что полученное выражение стремится к О при з, Т з; зг ~ з. Тем самым доказана Т ео р е(л а 3. Для регулярного скачкообразного в широком смысле процесса функция (,(х) = Т,.()'(х), з ( г, дифференцируемо яо з (равнол(ерно но х), удовлетворяет уравнению — = — ) !', (у) а (з, х, ду) = д(,(х) =а(з, х)[(,(х) — ~~,(у)П(з, х, ду)~, з <г, (29) МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ В Н1ИРОКОМ СМЫСЛЕ 59 С л е д с т в и е.

Вероятности перехода Р(з, х, 1, В) регулярного скачкообразного процесса дифференцируемы по з, з ( 1, удовлетворяют уравнению =а(з, х) ~Р(з, х, 1, В) — ~ Р(з, у, 1, В)П(з, х, ду)~ (31) и граничному условию !пп Р(г, х, 1, В) =х(В, х). а+С Покажем теперь, что при определенных условиях функции а(1, х) и а(1, х, В) однозначно определяют регулярный скачкообразный марковский процесс в широком смысле.